2023-2024学年新疆阿勒泰地区高一下学期期末联考数学试题（含解析）

2023-2024学年新疆阿勒泰地区高一下学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第二象限
2.已知向量满足，向量与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.若一组数据为，，，，，，，，，，则这组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量的夹角为则单位向量在上的投影为 ．
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则等于( )
A. B. C. D.
6.甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是和，飞行目标被雷达发现的概率为( )
A. B. C. D.
7.在中，，则( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，复数，则( )
A. 与互为共轭复数 B.
C. 为纯虚数 D.
10.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 ．
A. 若平面，垂直同一个平面，则
B. 若且，则
C. 若平面，不平行，则在平面内不存在平行于平面的直线
D. 若，且，则与所成的角和与所成的角相等
11.对于事件和事件，，，则下列说法正确的是( )
A. 若与互斥，则 B. 若与互斥，则
C. 若，则 D. 若与相互独立，则
12.在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是( )
A. ：：：： B. 是锐角三角形
C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 内切圆半径为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某校选修轮滑课程的学生中，一年级有人，二年级有人，三年级有人现用分层随机抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在一年级的学生中抽取了人，则这个样本中共有 人
14.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 ．
15.甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打发子弹，命中环数如下：则两人射击成绩的稳定程度强的是 填甲或者乙
甲
乙
16.如图是正方体的平面展开图：
在这个正方体中，
平面；
平面；
平面平面；
平面平面．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知平面向量．
若，求；
若，求向量与的夹角．
18.本小题分
已知是复数，为实数，为纯虚数为虚数单位．
求复数和；
复数在复平面对应的点在直线上，求实数的值．
19.本小题分
已知的内角的对边分别是，且．
求；
若，求的面积．
20.本小题分
年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将地区个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在以上含的有人．
口罩使用数量
频率

求的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；只画图，不要过程
根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的分位数和中位数；四舍五入，精确到
根据频率分布直方图估计地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．每组数据用每组中点值代替
21.本小题分
一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的个球，其中有个红球，编号分别为，，，有个黑球，编号分别为，，从中一次摸取个球，取后不放回，连续取两次．
试写出该试验的样本空间
设事件“第一次摸到红球”，事件“第二次摸到黑球”，求事件和事件发生的概率．
22.本小题分
如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点．
求证：直线平面
求二面角的余弦值．
答案解析
1.
【解析】解：，的虚部为，，为纯虚数，在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
2.
【解析】解：因为，向量与的夹角为所以，
所以．
故选：．
3.
【解析】解：由题意知：共有个数据，则，这组数据的分位数为．
故选：．
4.
【解析】解：单位向量在上的投影为
故选：
5.
【解析】解：，，，
，
．
故选：．
6.
【解析】解：由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为 、 ，
所以飞行目标被雷达发现的 概率为 ．
故选：
7.
【解析】解：，，
，．
故选：．
8.
【解析】解：分别取的中点，连接，
由正方体的性质知：，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以异面直线与所成的角或其补角即为与所成的角或其补角，
即为，设正方体的棱长为，
，，
所以，
所以异面直线与所成的角为．
故选：．
9.
【解析】解：对于，因为的共轭复数为，所以与不互为共轭复数，所以不正确；
对于，因为，所以 B正确；
对于，因为，为实数，所以不正确；
对于，因为，所以，所以 D正确．
故选：
10.
【解析】解：若平面，垂直同一个平面，与可能相交，故 A错误；
由线面的位置关系可知，若且，则，故 B正确；
当平面相交时，在平面内平行于交线的直线与平行，故 C错误；
因为两条平行直线与同一平面所成角相等，若两平面平行，
则两条平行直线与两个平行平面所成角相等，故D正确；
故选：
11.
【解析】解：对于，若与互斥，则，A错误；
对于，若与互斥，则，B正确
对于，若，则 ，C错误
对于，若与相互独立，则， D正确
故选：．
12.
【解析】解：因为，，，
由正弦定理可得：：：：：：：，故A正确；
可知为最大边，则为最大角，
由余弦定理可得，
又，可得为钝角，即的形状是钝角三角形．故B错误；
对于，角是最小角，由，
由，故，故C错误；
由，又，，，
设内切圆半径为，，，故D错误．
故选BCD．
13.
【解析】解：选修轮滑课程的学生中，一年级有人，从中抽取了人，
人中共抽取了人，
这个样本中共有人，
故答案为．
14.
【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，底面周长为，
侧面展开图为半圆，，即，
，
，圆锥的高，
则．
故答案为．
15.甲
【解析】解：甲的射击成绩的平均数为，乙的射击成绩的平均数为，
而甲的射击成绩的方差为，
乙的射击成绩的方差为，
因为，所以甲稳定性强．
故答案为：甲．
16.
【解析】解：以为下底面还原正方体，如图所示：
，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面，
同理可证平面，
故正确
，，
，，，，
所以平面，平面，
又，、在平面内，
平面平面，
同理可证平面平面，
故正确．
17.解：因为，
所以
即，
即，
即，
所以，
所以；
由题意可得
又因，所以，
解得，
所以
所以
即
又因为，
所以．
【解析】利用平面向量数量积公式及模长公式计算即可；
根据平面向量共线的充要条件及夹角的坐标表示计算即可．
18.解：设复数，，由是实数，则，
即，所以，
因为为纯虚数，所以且，解得，
所以，．
由知，
在复平面上对应的点为，
又已知在复平面上对应的点在直线上，则有：，
解得：．
【解析】用待定系数法可先设复数，然后进行复数运算，根据条件即可求出结果；
利用可化简原式，再进行复数除法运算，得到复数复平面上对应的点的坐标，再代入直线，即可求出的值．
19.解：根据正弦定理，
，因为，所以，因此有，
因为，所以；
由余弦定理可知：
，解得，
舍去，因此的面积为．
【解析】根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值进行求解即可；
根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可．
20.解：由每周的口罩使用个数在以上含的有人得：，解得：，
，
则频率分布直方图如下：

，，
分位数位于，设其为，
则，解得：，即估计分位数为个；
，，
中位数位于，设其为，
则，解得：，即估计中位数为个
由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：个，
方差为，
则所求平均数估计为个，方差估计为．
【解析】根据频数与频率关系可构造方程求得，由此可补全频率分布直方图；
由频率分布直方图估计百分位数和中位数的方法直接求解即可；
由频率分布直方图估计平均数和方差的方法直接求解即可．
21.解：试验从中一次摸取个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为：
，，，，，，，，；
由可知样本空间中基本事件总数为，
符合事件“第一次摸到红球”的样本空间为：
共个基本事件，
符合事件“第二次摸到黑球”的样本空间为：
共个基本事件，
故，
则事件和事件发生的概率分别为，．
【解析】根据已知条件，结合列举法，即可求解
结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
22.解：证明：连接交于点，连接，如图，
则为的中点，
由于是的中点，故，
平面，平面，
所以平面；
连接，，
因为，是的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，所以，
由底面是菱形，得，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
则为二面角的平面角，
，，，
由余弦定理可知
，
二面角的余弦值为．
【解析】连接 交 于点 ，连接 ，根据线面平行的判定定理求解；
连接 ， ，可证明 为二面角 的平面角，利用余弦定理求解余弦值即可．
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