吉林省“BEST 合作体”2023-2024 学年度下学期期末考试 7．如图，棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为线段 AB1的中点，M、N 分别为体
AC BC
高一数学试题 对角线 1和棱 1 1上任意一点，则 2PM 2MN的最小值为（）
A 2． B． 2
2
本试卷分客观题和主观题两部分，共 19 题，共 150 分，共 2 页。考试时间为 120 分钟。考试 B．C． 3 D．2
结束后，只交答题卡。
8．已知四棱锥 P-ABCD的顶点都在球 O的球面上，底面 ABCD是
第Ⅰ卷 客观题
矩形，平面 PAD⊥底面 ABCD，△ 为正三角形，AB＝2AD＝4，则球 O的表面积为（）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
32 64
个选项是符合题目要求的。 A． π B．32π C．64π D． π
3 3
1.设复数 z 1 2i，则（）
2 2 2
A． z 2z 3 B 2． z 2z 4 C． z 2z 5 D． z 2z 6 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
2．某单位有职工 160 人，其中业务员有 104 人，管理人员 32 人，后勤服务人员 24 人，现用分层 题目要求（全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分）。
抽样法从中抽取一个容量为 20 的样本，则抽取管理人员（） 9. 下列说法正确的是（）
A．3人 B．4人 C．7人 D．12人 A. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10的第60百分位数是6
3．正方体 ABCD A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为 N，则异面直线B1M与CN 所 B. 已知一组数据2, 3, 5, x, 8的平均数为5, 则这组数据的方差是5.2
成角的大小为（）
C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大
A．0 B．45 C．60 D．90
4．在△ABC A D. 若 , , ···, 的标准差为2, 则3 + 1, 3 + 1....... 3 + 1的标准差中，已知角 、B、C的对边分别为 a、b、c，且满足 a2=b2+bc+c2，则角 A为( ) 1 2 10 1 2 10
A B C 2
2 是6
． 3 ．6 ． D． 或3 3 3 10．如图，在平面四边形 ABCD中， ⊥ ， AC 2AB， AD 3，
→ → →
5．如图，边长为 2的等边三角形 ABC的外接圆为圆 O, P 为圆 O上任一点，若 = + 。 BD 2 6，则 CD的值可能为（）
则 2 + 2 的最大值为（）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
A.8 B .2 C. 4 D. 1 11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，点 E，F，G，M分别是 BC， AA1，C1D3 3 1，
BB1的中点．则下列说法正确的是（）
6．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛,约定赛制如下: A．直线GF ， EC1是异面直线
(1) 累计负两场者被淘汰；(2)比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空；(3)每场比赛的胜者与
B．直线 EG 与平面 ABCD所成角的正切值为 2 2
轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰；(4)当一人被淘汰后,剩余两人继续比
赛, DMC直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束。经抽签甲、乙首先比赛,丙首轮轮空,设每场比 C．平面 1截正方体所得截面的面积为 18
1
赛双方获胜概率都为 ，则丙最终获胜的概率为（）
2 D．三棱锥D1 AMC
16
1的体积为
5 7 1 3 3A． B． C． D．
16 16 2 8
吉林省“BEST 合作体”期末考试 高一数学试题 第 1页 共 2 页
{#{QQABLYAUogAIAJBAAAhCQQGoCkKQkAECAYgGhEAEoAIAgQNABAA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分(12题5分，其中第一空2分，第二空3分) (1) 求 a，b 的值(4 分);
12．为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.在 (2) 估计这 100 名候选者面试成绩的平均数和 50％分位数(精确到 0.1) (5 分);
了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算 (3) 在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2人，
求选出的两人来自同一组的概率(6 分)。
得样本的平均数为5，方差为9:乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方
17．甲、乙两位同学参加某高校的入学面试。入学面试中有 3道难度相当的题目，已知甲答
差为16.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，则合在一起后的样本
3 1
对每道题目的概率都是 。乙答对每道题目的概率都是 。若每位面试者共有三次机会，一旦
5 2
平均数为________，方差为__________(精确到0.1)
某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止。假设对抽到的不同题目
13．在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E、F分别是棱 BC，CC1的中点，P是侧面四 能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响。
边形 BCC B ( (1)求甲第二次答题通过面试的概率(4 分)；1 1内 不含边界)一点，若 A1P / /平面 AEF，则线段 A1P长度的取值范围是 .
(2)求乙最终通过面试的概率(5 分)；
14．如图，等腰直角三角形 ABC中，AC BC，AB=4，D是边 AC
(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率(6 分)。
上一动点(不包括端点)。将 ABD沿 BD折起，使得二面角A1-BD-C 18．在 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 点 O 是 的外心，
为直二面角，则三棱锥A1-BCD的外接球体积的取值范围是 ．
→ → → →
cos( ) = · + ·
3 → →| | | |
(1)求角 A(7 分);
第Ⅱ卷 主观题
(2)若 外接圆的周长为 4 3 。求 周长的取值范围(10 分)。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．在四棱锥 中， ⊥平 ABCD, ∥ ， ⊥ ， = =
1 ，∠ =
15．已知单位向量 , 的夹角为 . 2
3
45 ，E 是 PA 的中点，G在线段 AB 上，且满足 CG⊥BD.
(1)若 + 与 垂直,求实数 的值(6分);
(2)若向量 满足( )·( ) = 0,求|2 |的最大值(7分).
16．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩并分成五
组:第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75.85)，第五组[85,95]，绘制成如
图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同。
（1）求证： ∥平面 PBC(5 分);
（2）求平面 GPC 与平面 PBC 夹角的余弦值(5 分).
3
（3)在线段 PA 上是否存在点 H, 使得 GH 与平面 PGC 所成角的正弦值是 ,若存在，求出 AH
3
的长；若不存在，请说明理由(7 分).
吉林省“BEST 合作体”期末考试 高一数学试题 第 2页 共 2 页
{#{QQABLYAUogAIAJBAAAhCQQGoCkKQkAECAYgGhEAEoAIAgQNABAA=}#}吉林省“BE$T合作体”2023-2024学年度下学期期末考试
高一数学试题答案及评分标准
一、单选
1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.D8.D
二、多选
9.BD 10.CD 11.ACD
三、填空
12.(1)5.4
(2)12.4
13.5
14.(得π，2)
四、解答题
15.(1)因为ka+b与a垂直，则(ka+b)·a=0,化简得ka2+a·b=0,即k×12+1×1×三=0，解得
k=号(6分)·
(2)设0A=a,OB=b,以0为原点，0A所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则a=(1,0),b=(（任爱)，设c=x,y),由(a-c)(b-c)=0,可得x-1,y)(x-2y-)=0,化简得，
(x-)+y-=即(x-)+(y-写)=11分).则c的最大值为ocr=
+()+
}=。所以训2c的最小值为V3+1(13分).
16.(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7所以(0.045+0.020+a)×10=0.7,解得a=0.005所以前
两组的频率之和为1-0.7=0.3即(a+b)×10=0.3,解得b=0.025(4分)：
(2)由(1)知，平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(7分)：前两组频
率之和为0.3，前三组频率之和为0.75所以中位数位于[65,75)组内，且65+5-03×10≈69.4，即50%
0.45
分位数为69.4(9分)：
(3)第四、五两组志愿者分别有20人、5人故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,c,d,
第五组志愿者人数为1，设为e,这5人选出2人，所有情况有
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种，其中选出的2人来自同一组的有
(a,b),(a,c.(a,0.,c).,d,(c,d山，共6种，所以选出的2人来自同一组的概率为品=号(15分)。
17、(1)设甲第二次答题通过面试为事件A,则P(④=(1-争×号=号(4分)。
(2)设乙最终通过面试为事件B,对立事件为乙最终没通过面试，
p(⑧)=(1-(1-2(1-为=日
P )=1-日=日(9分)。
(3)设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C,对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，
“p( =(1-净1-31-争×含=店
P(0)=1-=器(15分)
18.(1)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为ab,c,点0是△ABC的外心，
所以e=-co曾-+产化为aosc-=学明时+停
IABI 2 IACI
asinc =be (4
ABI ACI
2
分)
由正弦定理可得
sinAcosC V3sinAsinc sinB sinC sin(A+C)+sinC
sinAcosC V3sinAsinC inAcosC cosAsinC sinC
由sinC≠0化简得V3sinA=cosA+1,即sin(4-3=月
因为-
(2)因为4ABC外接圆的周长为4V3π。所以4ABC外接圆的直径为4V3
由正弦定理得品=4W3。则a=4W3×号=6
由余弦定理得36=b2+c2-2bcc0sA=(b+c)2-3bc。因为3bc=(b+c)2-36<3×()2
所以(b+c)2≤36。即b+c≤12。当且仅当b=c时，等号成立。又因为b+c>a=6。所以612,则1219.(1)由题意，设AD=1
2