(共26张PPT)
（湘教版）九年级
上
1.2.3 反比例函数的图象与性质
反比例函数
第一章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.
2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义.
3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.
4.会用反比例函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识.
新知导入
反比例函数具有哪些性质？
1.一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
2.当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大.
新知讲解
已知反比例函数y=的图象经过点P(2,4).
(1)求 k 的值并写出该函数的表达式；
(2)判断点 A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上；
(3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？
动脑筋
新知讲解
用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是什么？
设：所求的一次函数表达式为y=kx+b,其中k,b是待确定的常数，k≠0.
列：把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组.
解：解这个关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值.
写：把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式.
新知讲解
思考：要确定一个反比例函数y= 的表达式,需求什么？需要什么条件？
要确定一个反比例函数y=的表达式，只需求出比例系数k.如果已知一对自变量与函数的对应值,就可以由此求出比例系数,然后写出所求的反比例函数.
新知讲解
已知反比例函数 y=的图象经过点P(2,4).
(1)求 k 的值并写出该函数的表达式；
解：(1)因为反比例函数y=的图象经过点 P (2,4)，即点 P 的坐标满足这一函数表达式， 因而
4=，
解得k=8.
因此， 这个反比例函数的表达式为 y=.
新知讲解
(2)判断点 A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上；
解：(2)把点 A，B 的坐标分别代入 y=，可知点 A 的坐标满足函数表达式， 点 B 的坐标不满足函数表达式， 所以点 A 在这个函数的图象上， 点 B 不在这个函数的图象上.
新知讲解
(3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？
解：(3)因为 k > 0， 所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
典例精析
例2
图中是反比例函数 y=的图象.根据图象， 回答下列问题：
(1)k 的取值范围是k>0 还是k<0？ 说明理由；
(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.
典例精析
解：(1) 由图可知，反比例函数y=的图象的两支曲线分别位于第
一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小， 因此，k>0.
(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该图象上的两点，且-3<0，-2<0，所以点 A，B都位于第三象限. 又因为-3<-2， 由反比例函数图象的性质可知： y1>y2.
典例精析
例3
已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3,4).
试求出它们的表达式， 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．
解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y= k1x，y=， 其中k1，k2 为常数， 且均不为零.
由于这两个函数的图象交于点P(-3,4)，则点P(-3,4)是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个表达式.
典例精析
因此 4=k1×(-3)， 4= .
解得k1=-，k2=-12.
因此， 这两个函数的表达式分别为y=-x 和y= ，它们的图象如图所示.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ）
A．(-3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1)
2.已知反比例函数的图象经过点(1，3)，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A．y=- B．y= C．y= D．y=-
A
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.若反比例函数y=(k≠0)满足当x=a时,y=,则当y=-2时,x=( )
A.2 B.-2 C. D.-
4.若反比例函数的图象经过点，则关于的分式方程的解为( )
A． B． C． D．
D
B
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4
5.矩形的面积为定值，当长为8时，宽为6，则当长为12时，宽为 ________ .
6.已知y与x+1成反比例函数，且当x=1时，y=2，则当x=0时，y= ________ .
4
【综合拓展类作业】
课堂练习
已知B（2，n）是正比例函数y=2x图象上的点．
（1）求点B的坐标；
（2）若某个反比例函数图象经过点B，求这个反比例函数的解析式．
【答案】（1）解：把B（2，n）代入y=2x得：n=2×2=4，
∴B点坐标为（2，4）；
（2）解：设过B点的反比例函数解析式为y= ，
把B（2，4）代入有4= ，k=8．
∴所求的反比例函数解析式为y= ．
课堂总结
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？
设：所求的反比例函数表达式为y= (k为常数,k≠0),其中k是待确定的常数.
列：把一对已知的自变量与函数的对应值代入y=,得到关于k方程.
解：解这个关于k的方程,求出常数k的值.
写：把求得的k的值代入y=,就得到所求的反比例函数表达式.
板书设计
反比例函数的性质：
待定系数法求反比例函数解析式：
1.2.3反比例函数的图象与性质
习题讲解书写部分
1.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数的解析式为( )
A．I=
B．I=
C．I=
D．I=
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2. 一定质量的氧气的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数.当V=10时,ρ=1.43,则ρ与V的函数关系式是 .
ρ=
3.物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强p与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为： ．（填“”，“”或“”）
>
1 2 3
300
【综合拓展类作业】
作业布置
已知：，与x成反比例，与成正比例，且时，；当时，，求：y关于x的函数表达式．
【答案】解：∵与成反比例，与成正比例，
∴设，，
∵，
∴，
∵当时，；
当时，，
【综合拓展类作业】
作业布置
已知：，与x成反比例，与成正比例，且时，；当时，，求：y关于x的函数表达式．
【答案】续：
∴，
解得：，
∴．
25
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。3.能用反比例函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第一章《反比例函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”.本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、图象、性质及应用.反比例函数是初中数学中的重要内容，是学生在学习了变量之间的关系、一次函数等基础知识后进一步深入学习的内容。反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。且反比例函数在日常生活和生产中也有着许多直接应用，有利于学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，有利于学生增强几何直观，在教材中有着重要的地位.
学情分析 九年级学生在前面的学习过程中，已经对函数的概念、函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，并学习了正比例函数、一次函数等基础知识。他们已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，特别是在抽象概括能力和对函数意义的理解上还存在一定的难度。虽然学生对函数的基本概念有一定的了解，能够初步理解变量之间的关系，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，能够进行简单的数学推理和计算。但是对反比例函数这种较为抽象的数学概念理解不深，特别是对反比例函数图像和性质的把握存在困难。在将实际问题抽象成数学问题并加以解决的过程中，部分学生存在困难。所以教师在设计教学时需设计提问，注重引导。
单元目标 （一）教学目标1.结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.2.掌握并会求反比例函数的表达式.3.会用描点法画反比例函数的图象.4.能根据反比例函数的图象和表达式(k≠0)探索并理解其性质.5.能用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：反比例函数教学难点：1.反比例函数的图象和性质2.综合运用反比例的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数11.2反比例函数的图象与性质31.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1反比例函数1.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念.2.确定反比例函数自变量的取值范围.3.会列简单实际问题中的反比例函数表达式.1.能够判断函数是否是反比例函数.2．会列简单实际问题中的反比例函数表达式.3．确定反比例函数自变量的取值范围.任务一：回顾反比例关系任务二：经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念任务三：了解反比例函数的一般形式，确定反比例函数自变量的取值范围.任务四：习题检测.1.2.1反比例函数的图象与性质1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质.2.掌握反比例函数的基本性质：增减性3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。1.能够用描点法绘制反比例函数的图象.2.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法.任务二：经历描点法绘制反比例函数图象的过程.任务三：通过函数图象探究反比例函数的性质.任务四：习题检测.1.2.2反比例函数的图象与性质1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法和反比例函数的增减性.任务二：通过函数图象进一步探究反比例函数的性质.任务三：掌握反比例函数的增减性.任务四：习题检测.1.2.3反比例函数的图象与性质1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义.3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.会用待定系数法求反比例函数的解析式任务一：回顾反比例函数的增减性.任务二：用待定系数法求反比例函数的解析式.任务三：灵活运用性质和待定系数法解题.任务四：习题检测.1.3反比例函数的应用1.学生能够掌握反比例函数的应用方法，能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.会综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.3. 通过实际问题引入、建立函数模型、求解与应用等过程，培养学生的数学思维和探究能力.1.能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.能够综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务一：回顾用待定系数法求反比例函数解析式任务二：根据实际问题建立反比例函数模型任务三：综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务四：习题检测
《反比例函数》单元教学设计
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分课时教学设计
第三课时《1.2.3反比例函数的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《1.2.3反比例函数的图象与性质》是“湘教版九年级数学（上）”第一章第二节第三课时的内容.本节课的主要内容是用求反比例函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式是初中数学函数部分的重要教学内容，它不仅是学生掌握反比例函数性质和应用的基础，也是培养学生数学思维和解题能力的重要环节。通过这一内容的学习，学生可以进一步理解函数的概念和性质，掌握待定系数法这一重要的数学方法，为后续学习更复杂的函数和方程打下基础。
学习者分析 学生知识基础：在学习待定系数法求反比例函数的解析式之前，学生已经掌握了反比例函数的定义和表达式、一次函数和正比例函数的相关知识以及待定系数法求其他类型函数解析式的基本方法。这些知识基础为学生学习新内容提供了必要的支撑。 学生学习能力：初中生的抽象思维能力逐渐增强，但具体形象思维仍占据重要地位。因此，在教学过程中需要注重直观演示和实例讲解，帮助学生理解抽象的概念和方法。同时，学生的自主学习能力逐渐提高，但还需要教师的引导和帮助。 学习困难与障碍：学生在学习待定系数法求反比例函数的解析式时可能会遇到以下困难和障碍：一是对反比例函数的图像和性质理解不够深入；二是对待定系数法的原理和应用不够熟悉；三是解题过程中容易出现计算错误或理解偏差。针对这些困难和障碍，教师需要采取相应的措施和策略来帮助学生克服。
教学目标 1.会用待定系数法求反比例函数的解析式. 2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义. 3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题. 4.会用反比例函数表达现实世界事物的简单规律，经历用数学的语言表达现实世界的过程，提升学习数学的兴趣，进一步发展应用意识.
教学重点 用待定系数法求反比例函数的解析式
教学难点 掌握求反比例函数的解析式的方法
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：反比例函数具有哪些性质？ 教师讲授：1.一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 2.当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大.学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 动脑筋： 已知反比例函数y=的图象经过点P(2,4). (1)求 k 的值并写出该函数的表达式； (2)判断点 A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上； (3)这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化？ 教师讲授： 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 设：所求的一次函数表达式为y=kx+b,其中k,b是待确定的常数，k≠0. 列：把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的二元一次方程组. 解：解这个关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值. 写：把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式. 思考：要确定一个反比例函数y= 的表达式,需求什么？需要什么条件？ 教师讲授：要确定一个反比例函数y=的表达式，只需求出比例系数k.如果已知一对自变量与函数的对应值,就可以由此求出比例系数,然后写出所求的反比例函数. 答案： 解：(1)因为反比例函数y=的图象经过点 P (2,4)，即点 P 的坐标满足这一函数表达式，因而4=， 解得k=8. 因此， 这个反比例函数的表达式为 y=. (2)把点A，B的坐标分别代入y=，可知点A的坐标满足函数表达式，点B的坐标不满足函数表达式，所以点A在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上. (3)因为k>0， 所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.学生活动2： 认真思考，合作交流 学生认真听讲，跟随教师回顾用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 学生联系用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤进行思考 学生认真听讲 学生认真听讲，了解如何利用待定系数法求反比例函数的解析式 学生认真听讲，巩固知识活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精析教师活动3： 例2 图中是反比例函数y=的图象.根据图象，回答下列问题： (1)k的取值范围是k>0 还是k<0？ 说明理由； (2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小. 解：(1) 由图可知，反比例函数y=的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小， 因此，k>0. (2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该图象上的两点，且-3<0，-2<0，所以点 A，B都位于第三象限. 又因为-3<-2， 由反比例函数图象的性质可知： y1>y2. 例3 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(-3,4).试求出它们的表达式， 并在同一坐标系内画出这两个函数的图象． 解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y= k1x，y=， 其中k1，k2 为常数， 且均不为零. 由于这两个函数的图象交于点P(-3,4)，则点P(-3,4)是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个表达式. 因此 4=k1×(-3)， 4= . 解得k1=-，k2=-12. 因此，这两个函数的表达式分别为y=-x 和y= ，它们的图象如图所示. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲，结合图象判断k的取值范围，巩固反比例函数的性质 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲，用待定系数法求反比例函数活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师提问：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是什么？ 教师讲授： 设：所求的反比例函数表达式为y= (k为常数,k≠0),其中k是待确定的常数. 列：把一对已知的自变量与函数的对应值代入y=,得到关于k方程. 解：解这个关于k的方程,求出常数k的值. 写：把求得的k的值代入y=,就得到所求的反比例函数表达式.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ） A．(-3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1) 2.已知反比例函数的图象经过点(1，3)，则这个反比例函数的解析式为（ ） A．y=- B．y= C．y= D．y=- 3.若反比例函数y=(k≠0)满足当x=a时,y=,则当y=-2时,x=( ) A.2 B.-2 C. D.- 4.若反比例函数的图象经过点，则关于的分式方程的解为( ) A． B． C． D． 选做题： 5.矩形的面积为定值，当长为8时，宽为6，则当长为12时，宽为________ . 6.已知y与x+1成反比例函数，且当x=1时，y=2，则当x=0时，y= ________ . 【综合拓展类作业】 已知B（2，n）是正比例函数y=2x图象上的点． （1）求点B的坐标； （2）若某个反比例函数图象经过点B，求这个反比例函数的解析式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数的解析式为( ) A．I= B．I= C．I= D．I= 2.一定质量的氧气的密度ρ(kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数.当V=10时,ρ=1.43,则ρ与V的函数关系式是 . 3.物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强p与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强与的大小关系为： ．（填“”，“”或“”） 【综合拓展类作业】 已知：，与x成反比例，与成正比例，且时，；当时，，求：y关于x的函数表达式．
教学反思 通过本节课的学习，大多数学生能够掌握待定系数法求反比例函数解析式的方法，并能够独立解决一些简单的实际问题。且学生的逻辑思维和问题解决能力得到了提升。动手学生的基础和能力存在差异，部分学生在理解和掌握待定系数法方面存在困难。这需要教师在后续的教学中针对不同层次的学生进行有针对性的辅导和帮助。
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