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第2章 轴对称图形 单元培优测试
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.37（较难）
一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2023秋 吴中区期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则是
A． B． C． D．
解：连接、，
，，是的平分线，
，直线垂直平分，
，
垂直平分，
，
，
，
，
由折叠得，
，
，
故选：．
2．（2分）（2022秋 靖江市校级期中）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
解：，
，
解得：，
当为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；
当为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7．
故选：．
3．（2分）（2023秋 天宁区校级月考）如图，在中，，平分，是中点，，，则的周长为 ．
A．28 B．18 C．24 D．29.5
解：，平分，，
，，
，
点为的中点，，
，
，
，
的周长．
故选：．
4．（2分）（2023秋 桐柏县期末）如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点，，则的长是
A．3． B．4 C．5 D．6
解：如图，连接．
，是的中点，
．
在中，
，是的中点，，
．
故选：．
5．（2分）（2023秋 丹阳市期中）如图，平分，于点，若，则到的距离是
A．4 B．5 C．6 D．7
解：是的平分线，于点，
点到边的距离等于．
故选：．
6．（2分）（2023秋 江都区月考）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第2次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第3次对折，使，两点重合后再打开，折痕为．已知，则纸条原长为 ．
A．18 B．16 C．14 D．12
解：根据翻折可知：，
，
，
，
，
，
解得．
答：纸条原长为．
故选：．
7．（2分）（2021 太仓市自主招生）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．
①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有 个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②正确；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，
在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故选：．
8．（2分）（2020春 崇川区校级期末）如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为
A． B． C． D．
解：如图所示，过作于，于，于，
平分，于，于，
，
又，，
，，
平分，
又于，于，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故选：．
9．（2分）（2020秋 工业园区月考）如图，四边形中，，，点，分别在，上，将沿翻折，得，若，，则的度数为
A． B． C． D．
解：，，
，，
由折叠可得：，
四边形中，，
四边形中，，
故选：．
10．（2分）（2018秋 京口区校级期末）如图中，，，，点是中点，将沿着直线翻折，得到，连接，则线段的长等于
A．8 B． C． D．10
解：如图，延长交于，过作于，
，，，
，
，为中线，
，，
，即，
由折叠可得，垂直平分，
，
又，，
，
，
，
（注：也可在与中用勾股定理，先得，进而得、的长．
故选：．
二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上）
11．（2分）（2018秋 淮安区校级期末）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为 6 ．
解：在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为6．
12．（2分）（2023秋 泗洪县期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为 ．
解：连接，，如图所示：
，是对角线的中点，
，，
，
，
过点作于点，
则点是线段的中点，
，
，
根据勾股定理，得，
线段的最小值为，
故答案为：．
13．（2分）（2022秋 广陵区校级月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的长为，则的周长等于 20 ．
解：是的垂直平分线，
，
，的长为，
的周长．
故答案为：20．
14．（2分）（2023秋 锡山区期中）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点时，剪出的等腰三角形的面积是 8或 ．
解：①如图时，是等腰直角三角形，
则；
②如图时，是等腰三角形，
在中，，，，
则，即，
解得，
则．
综上所述，剪出的等腰三角形的面积是8或．
故答案为：8或．
15．（2分）（2023秋 江都区期末）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是 12 ．
解：因为，所以，．
又因为是等腰三角形，所以三边长为5，5，2，2或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去）
所以周长为．
故填12．
16．（2分）（2023秋 玄武区期末）如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到△，直线与直线交于点．若△是等腰三角形，则的度数为 15或30或60 ．
解：设，
将沿翻折至△处，
，，，
，，
当，则，
，
，
当，则，
，
；
如图，
由折叠可知，，，，
显然此时为钝角，
若△是等腰三角形，则只能，即，
，
．
综上，的度数或或．
故答案为：15或30或60．
17．（2分）（2023秋 建湖县期末）如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若的面积为32，则的长为 16 ．
解：，是的中点，
，
，
，，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：16．
18．（2分）（2023秋 江都区校级月考）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 72 ．
解：如图，过作，交的延长线于，过作于，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
和，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：72．
19．（2分）（2022秋 泗洪县期中）如图，已知直线垂直于直线，点在直线上，且，点在直线上，在直线或直线上找一点（与、不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点能找到 6 个．
解：
（1）当是底边时，作的垂直平分线，分别与，线段的延长线相交，共两个交点，都符合题意；
（2）当是腰时①以圆心长为半径画圆交直线于两点，交线段延长线于一点（该点与前面的点重合），有两个交点符合题意；
②以圆心长为半径画圆交直线于两点（有一个点与前面的点重合），交线段延长线于一点，有两个交点符合题意，
因此这样的点能找到6个，使成为等腰三角形．
故答案为：6．
20．（2分）（2022春 海州区校级期末）如图，在四边形中，，、分别是，上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点，若有两个角相等，则 或50 ．
解：（1）当时，
设，则，
在四边形中，由内角和为得：
，
，
，
解得：，
（2）当时，此时不合题意舍去，
（3）当时，
同理有：，
，
，
解得：，
故答案为或50．
三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）
21．（6分）（2023秋 丹阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点的顶点、的坐标分别为、，先作关于轴对称的△，再把△向下平移4个单位长度得到△．
（1）请在图中正确作出平面直角坐标系；
（2）画出△和△．
解：（1）如图，
（2）如图，△和△为所作；
22．（6分）（2023秋 邗江区期末）已知，如图，，，分别是，的中点．
求证：①；②．
（1）证明：如图，连接、，
，是的中点，
，
；
（2）点是的中点，，
．
23．（8分）（2023秋 江都区期末）如图，在中，，．
①分别以点、为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与交于点，与交于点，连接；
②以点为圆心，任意长为半径作弧，分别与、交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点与这一点交于于点．
（1）通过以上作图，可以发现直线是 ，射线是 ；（在横线上填上合适的选项）
．的一条对称轴
．的角平分线
．的中线
．的角平分线
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
解：（1）通过以上作图，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线；
故选：，；
（2）解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
．
24．（8分）（2017秋 宜兴市校级月考）如图所示，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求的长．
解：将折叠，使点与的中点重合，折痕为，
，
设，则，
在中，，解得，
即的长为4．
25．（8分）（2018秋 海州区校级期中）在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点与重合，折痕为．
（1）如果，，可得的周长为 ；
（2）如果，可得的度数为 ；
操作二：如图2，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点与点重合，若，，请求出的长．
解：操作一：（1）翻折的性质可知：，
．
的周长．
故答案为：．
（2）设，则．
由翻折的性质可知：，
，
．
解得；．
．
．
故答案为：．
操作二：在中，．
由翻折的性质可知：，．
，
．
．
在中，．
．
．
26．（8分）（2023秋 盱眙县期中）如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求线段的长．
解：（1），
理由如下：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，设，则，，
，
，
，
解得：，
则．
27．（8分）（2023秋 铜山区期中）如图，中，，两条角平分线、相交于点．
（1）与相等吗？请说明你的理由；
（2）若连接，并延长交边于点．你有哪些发现请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程．
解：（1）
证明：，两条角平分线、相交于点
（2）是的角平分线，
证明：，，
即是的角平分线
是等腰三角形，且是的角平分线
．
28．（8分）（2021秋 海陵区校级期中）如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 试说明：
探究一：请写出图①中线段与、间的关系，并说明理由．
探究二：如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．这时与、的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．
证明：平分，
，
，
，
，
；
探究一：．
理由：，
同理可证：，
；
探究二：．
理由：平分，
，
，
，
，
；
同理可得：，中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 轴对称图形 单元培优测试
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.37（较难）
一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2023秋 吴中区期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则是
A． B． C． D．
2．（2分）（2022秋 靖江市校级期中）已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
3．（2分）（2023秋 天宁区校级月考）如图，在中，，平分，是中点，，，则的周长为 ．
A．28 B．18 C．24 D．29.5
4．（2分）（2023秋 桐柏县期末）如图，在中，是上的一点，，，分别是，的中点，，则的长是
A．3． B．4 C．5 D．6
5．（2分）（2023秋 丹阳市期中）如图，平分，于点，若，则到的距离是
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2分）（2023秋 江都区月考）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第2次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第3次对折，使，两点重合后再打开，折痕为．已知，则纸条原长为 ．
A．18 B．16 C．14 D．12
7．（2分）（2021 太仓市自主招生）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论．
①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有 个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2分）（2020春 崇川区校级期末）如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为
A． B． C． D．
9．（2分）（2020秋 工业园区月考）如图，四边形中，，，点，分别在，上，将沿翻折，得，若，，则的度数为
A． B． C． D．
10．（2分）（2018秋 京口区校级期末）如图中，，，，点是中点，将沿着直线翻折，得到，连接，则线段的长等于
A．8 B． C． D．10
二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上）
11．（2分）（2018秋 淮安区校级期末）如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为 ．
12．（2分）（2023秋 泗洪县期末）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为 ．
13．（2分）（2022秋 广陵区校级月考）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交边于点，的长为，则的周长等于 ．
14．（2分）（2023秋 锡山区期中）乐乐在学习中遇到了这样的问题：
如图所示的三角形纸片中，，，，将沿某一条直线剪开，使其变成两个三角形，且要求其中的一个三角形是等腰三角形，你有几种方法呢？
经过思考，乐乐发现要想沿一条直线把三角形分割成两个三角形，这条直线需要经过三角形的某个定点，请你帮助乐乐写出当这条直线经过点时，剪出的等腰三角形的面积是 ．
15．（2分）（2023秋 江都区期末）等腰三角形的两边、满足，那么这个三角形的周长是 ．
16．（2分）（2023秋 玄武区期末）如图，在中，，，是边上的动点，连接，将沿直线翻折得到△，直线与直线交于点．若△是等腰三角形，则的度数为 ．
17．（2分）（2023秋 建湖县期末）如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若的面积为32，则的长为 ．
18．（2分）（2023秋 江都区校级月考）如图，中，，且点在外，在的垂直平分线上，连接，若，，则 ．
19．（2分）（2022秋 泗洪县期中）如图，已知直线垂直于直线，点在直线上，且，点在直线上，在直线或直线上找一点（与、不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点能找到 个．
20．（2分）（2022春 海州区校级期末）如图，在四边形中，，、分别是，上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点，若有两个角相等，则 ．
三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）
21．（6分）（2023秋 丹阳市期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点的顶点、的坐标分别为、，先作关于轴对称的△，再把△向下平移4个单位长度得到△．
（1）请在图中正确作出平面直角坐标系；
（2）画出△和△．
22．（6分）（2023秋 邗江区期末）已知，如图，，，分别是，的中点．
求证：①；②．
23．（8分）（2023秋 江都区期末）如图，在中，，．
①分别以点、为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与交于点，与交于点，连接；
②以点为圆心，任意长为半径作弧，分别与、交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连接点与这一点交于于点．
（1）通过以上作图，可以发现直线是 ，射线是 ；（在横线上填上合适的选项）
．的一条对称轴
．的角平分线
．的中线
．的角平分线
（2）在（1）所作的图中，求的度数．
24．（8分）（2017秋 宜兴市校级月考）如图所示，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，求的长．
25．（8分）（2018秋 海州区校级期中）在数学实验课上，李静同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点与重合，折痕为．
（1）如果，，可得的周长为 ；
（2）如果，可得的度数为 ；
操作二：如图2，李静拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点与点重合，若，，请求出的长．
26．（8分）（2023秋 盱眙县期中）如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求线段的长．
27．（8分）（2023秋 铜山区期中）如图，中，，两条角平分线、相交于点．
（1）与相等吗？请说明你的理由；
（2）若连接，并延长交边于点．你有哪些发现请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程．
28．（8分）（2021秋 海陵区校级期中）如图①，中，、的平分线交于点，过点作平行线交、于、． 试说明：
探究一：请写出图①中线段与、间的关系，并说明理由．
探究二：如图②，若的平分线与的外角平分线交于，过点作的平行线交于，交于．这时与、的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．
