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第一章 一元二次方程 单元检测卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·四川凉山·模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
9．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ．
10．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
11．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则 ．
12．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
13．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
14．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ．
15．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
16．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
17．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为_______s．
三、解答题：本大题共10小题，共96分．
19．（8分）（2023·广东广州·中考真题）解方程：．
20．（8分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
21．（8分）（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
22．（8分）（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
23．（10分）（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
24．（10分）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某网店销售台灯，成本为每盏元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为元时，平均每月售出盏，若售价每降价元，其月销售量就增加盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每盏台灯的售价．
25．（10分）（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
26．（10分）（2024九年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
27．（12分）（23-24九年级上·河南郑州·期中）测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动．
(1)问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
28．（12分）（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 一元二次方程 单元检测卷
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·四川凉山·模拟预测）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误；
B、形式是一元二次方程，但二次项系数没有标注不等于0，选项错误；
C、符合一元二次方程定义．正确．
D、含有分式，属于分式方程，选项错误．
故选：C．
2．（2023·新疆·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
3．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
4．（2023·天津·中考真题）若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
5．（2024·四川自贡·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】解：△，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
故选：C．
8．（2024·四川南充·中考真题）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值为（ ）
A．或0 B．0或1 C．或 D．或1
【答案】A
【解析】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
当即时，一次函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
即，
整理得：
解得：或（舍去）
综上，或，
故选：A
填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
9．（2020·江苏扬州·中考真题）方程的根是 ．
【解析】解：由原方程，得．
解得．
故答案为：．
10．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【解析】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则 ．
【解析】解：∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故答案为：0．
12．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【解析】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故答案为：2
13．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【解析】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，
由题意得，，
故答案为：．
14．（2023·江苏盐城·模拟预测）一条长的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和等于，其中较小正方形的边长为 ．
【解析】解：设一个正方形的边长为，
正方形的四边相等，
此正方形的周长是，另一个正方形的边长是，
根据题意得，
解得，．
当时，；
当时，，
所以另一个正方形的边长为和．
较小正方形的边长为．
故答案为：4．
15．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
【解析】解：∵，
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
16．（2024·四川成都·中考真题）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：7
17．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第 个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【解析】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
18．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当的面积等于时，运动时间为_______s．
【解析】解：设运动时间为，则，依题意，得：
，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
即当的面积等于时，运动时间为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共10小题，共96分．
19．（8分）（2023·广东广州·中考真题）解方程：．
【解析】解：，
，
或，
，．
20．（8分）（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【解析】解：∵
∴或
解得，．
21．（8分）（2022·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根，
此方程根的判别式，
解得．
（2）解：由题意得：，
解得或，
由（1）已得：，
则的值为2．
22．（8分）（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，求的值．
【解析】（1），
故答案为：2022；
（2）根据题意有：，
整理得：，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
23．（10分）（2023·浙江杭州·中考真题）设一元二次方程．在下面的四组条件中选择其中一组的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①；②；③；④．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【解析】解：中，
①时，，方程有两个相等的实数根；
②时，，方程有两个不相等的实数根；
③时，，方程有两个不相等的实数根；
④时，，方程没有实数根；
因此可选择②或③．
选择②时，
，
，
，
，；
选择③时，
，
，
，
，．
24．（10分）（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某网店销售台灯，成本为每盏元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为元时，平均每月售出盏，若售价每降价元，其月销售量就增加盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为元，求每盏台灯的售价．
【解析】解：设每盏台灯的售价为元，
根据题意得，，
解得，，
当时，，不合，舍去；
当时，；
∴，
答：每个台灯的售价为元．
25．（10分）（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【解析】（1）解：设矩形的边，则边 ．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
26．（10分）（2024九年级下·浙江·专题练习）某旅行社为吸引市民组团去旅游，推出了如下收费标准：
某单位组织员工参加该旅行社旅游，共支付该旅行社旅游费用元，请问：
(1)该单位这次去旅游，员工有没有超过人？
(2)该单位这次共有多少员工去旅游？
【解析】（1）解：∵人数不超过人，人均费用为元，
∴，
∴员工人数一定超过人，
∴该单位这次去旅游，员工超过了20人；
（2）解：设该单位这次共有名员工去旅游，根据题意列方程得：
，
整理得，
即，
解得，，
当时，，故舍去；
当时，，符合题意．
答：该单位这次共有35名员工去旅游．
27．（12分）（23-24九年级上·河南郑州·期中）测完教学楼的高度，小明和小刚围着校园里的矩形花坛做起了游戏，并探究其中的数学问题．如图，矩形，小明（用点表示）以的速度从顶点出发沿折线向点运动，同时小刚（用点表示）以的速度从顶点出发向点运动，当其中一个同学到达末端停止运动时，另一同学也停止运动．
(1)问小明和小刚走动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；
(2)问小明和小刚经过多长时间使得两人之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：设两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的，
根据题意得，，
由题中矩形的面积是12，则，解得；
（2）解：设两动点经过秒使得点与点之间的距离为，
当时，如图所示：
，即，解得或；
②当时，如图所示：
，即，
由，此方程无解；
综上所述，当或时，点与点之间的距离为．
28．（12分）（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
方程的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：，且，求的值；
(3)拓展应用：
已知实数x，y满足：，且，求的值．
【解析】（1）解：令y=，则有-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴=2，=3，
∴=2或3，
∴，，，，
故答案为：，，，；
（2）解：∵，
∴或
①当时，令，，
∴则，，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
此时；
②当时，，
此时；
综上：或
（3）解：令，，则，，
∵，
∴即，
∴，是方程的两个不相等的实数根，
∴，
故．
