2023-2024学年山东省青岛市莱西市高二下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省青岛市莱西市高二下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，其中是实数集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，使得”的否定形式是( )
A. ，使得 B. 使得，
C. ，使得 D. ，使得
3.若实数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为( )
A. B. C. D.
5.“”是“函数且在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，若函数的图象关于点对称，则( )
A. B. C. D.
7.某食品的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.若，则以下不等式正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数满足，且，若，则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 是周期函数 D.
11.已知实数，，满足，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数，且恒过的定点是 ．
13.定义在上的两个函数和，已知，若图象关于点对称，则 ．
14.已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，．
若在区间上最大值为，求实数的值；
当时，求不等式的解集．
16.本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若不等式恒成立，求实数的取值范围
17.本小题分
已知函数在处取得极值，其中．
求的值；
当时，求的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数且
求的定义域；
若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数，若过点可作曲线两条切线，求的取值范围．
参考答案
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15.解：函数图象的对称轴为，
当，即时，，解得，则；
当，即时，，解得，矛盾，
所以．
显然，而，
因此不等式为，
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为；
当，即时，不等式解集为，
所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．
16.解：
当时，，即，
当时，，解得，即，
当时，，解得，此时无解，
综上：不等式的解集为；
时上述不等式显然成立，
当时，上述不等式可化为，
令，当且仅当时等号成立，
所以，即实数的取值范围为．
17.解：由求导得，
依题意可知，即，解得，
此时，，由求得或，
当时，，函数递增，当时，函数递减，
故时，函数取得极大值，故．
由得，
令解得或，因，
故当时，函数递减，当时，函数递增，
当 时， 取得极小值，无极大值，所以，
所以在区间上，的最大值为或，而．
所以在区间上的最大值为，最小值为．
18.解：由，得或．
所以的定义域为．
令，可知在上为增函数，
可得，且，可知的值域为，
因为，则在定义域内为减函数，可得，
所以函数在上的值域为，
又因为函数在有且只有一个零点，
即在上有且只有一个解，
所以的范围是．
存在，理由如下：
假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得，且．
令，可知在上为增函数，
因为，则在定义域内为减函数，
所以在上为减函数，
可得
可知在上有两个互异实根，可得，
即有两个大于相异实数根．
则，解得，
所以实数的取值范围．
19.解：依题意，，
设过点的直线与曲线相切时的切点为，
则斜率，
所以切线方程为：
又点在切线上，
所以 ，
即有，
由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，
令，则函数有个零点，
求导得，
若，由，得或，
由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，所以函数最多个零点，不合题意；
若恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多个零点，不合题意；
若，由，得或，
由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
又，显然当时，恒成立，
所以函数最多个零点，不合题意；
若，显然，
当时，，
当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
要函数有个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，
因此在上的值域为，
当时，令，求导得，
所以函数在上单调递减，则，
，
而函数在上单调递减，值域为，
因此函数在上的值域为，
于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，
所以的取值范围是
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