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第八课时
长方体和正方体的体积（2）
（苏教版）六年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
让学生经历长方体和正方体的统一体积计算公式的推导过程，进一步认识它们之间的关系。使学生会应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。
01
02
激发学生的求知欲，培养学生善于动脑的认知感以及思维的逻辑美感，树立解决问题的自信心。
03
让学生通过自己提出问题、自己解决问题这一过程，感受到数学源于生活，体验到成功解决数学问题的喜悦。
新知导入
1.找出长方体和正方体的下面，并涂上颜色。
新知导入
2.计算下面长方体和正方体的体积。
6dm
4dm
2dm
5cm
6×4×2=48（dm3）
5×5×5=125（cm3）
新知导入
西汉末年，我国古代数学家编撰了一
本不朽的传世名著《九章算术》，这本书
共九章，其中一章叫商功章，它收集的都
是一些有关体积计算的问题，书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说，先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。
新知导入
看完这段叙述，你想到什么
我想到了长方体和正方体的体积公式。
新知导入
问题一：这段文字中描述的长方体有什么特征？
两个面是正方形的长方体。
新知导入
问题二：底面积指的是哪一个面的面积？
是指长方体下面的面积。
新知导入
问题三：古代数学家是怎样计算长方体体积的？
先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。
学习任务一
认识底面、底面积
探究新知
你能指出这两个图形中哪一个面是底面吗？
“底面”一般指长方体、正方体的下面。
底面
底面
探究新知
底面
底面
长方体或正方体的6个面中，任何一个面都可以做底面，一般以水平放置的下面做底面。
探究新知
怎样计算长方体和正方体的底面积？
底面
底面
长方体的底面积=长×宽
正方体的底面积=棱长×棱长
探究新知
底面
底面
长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。
学习任务二
统一公式
探究新知
思考：
想一想，长方体和正方体的体积还可以怎样计算 并说说这个公式是怎样得到的？
底面
底面
探究新知
想一想，长方体和正方体的体积还可以怎样计算
底面
底面
长方体的体积 = 长×宽×高
底面积
正方体的体积 = 棱长×棱长×棱长
底面积
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
探究新知
如果用S表示底面积，体积公式可以写成：
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
…
…
…
＝
·
＝
底面
底面
探究新知
长方体和正方体不同放置，说法各不相同。
横截面
横截面
长方体和正方体的侧面叫做横截面。
探究新知
长方体的横截面、长与前面学习的底面积、高有什么关系？
横截面
长
底面积
高
长方体的体积=横截面积×长
探究新知
那么正方体呢？
横截面
棱长
底面积
棱长
正方体的体积=横截面积×棱长
探究新知
长方体和正方体的体积公式还可以统一成：
长方体（或正方体）的体积=横截面面积×长
横截面
长
横截面
长
课堂练习
基础题：
1.一个长方体容器长8.5分米，宽4分米，深1.5分米。
（1）这个长方体占地面积是多少平方分米？
（2）最多可容水多少立方分米？
8.5×4=34（平方分米）
答：这个长方体占地面积是34平方分米。
8.5×4×1.5=51（立方分米）
答：最多可容水51立方分米。
课堂练习
基础题：
2.一个长方体长50厘米，宽45厘米，高20厘米，这个长方体占地面积最大是多少平方厘米？占地面积最小是多少平方厘米？
50×45=2250（平方厘米）
45×20=900（平方厘米）
答：这个长方体占地面积最大是2250平方厘米，占地面积最小是900平方厘米。
课堂练习
提高题：
3.一个长方体油桶的底面积是32立方分米，可以装60千克食用油，如果每升食用油重0.75千克，这个油桶的高是多少分米？
1升=1立方分米
60÷0.75=80（升）
80升=80立方分米
80÷32=2.5（分米）
答：这个油桶的高是2.5分米。
课堂练习
拓展题：
4.把一块长26dm的长方形木板，在四个角上分别剪去边长3dm的正方形，将它制成容积为840dm2的长方形无盖容器，这块木板原来的宽是多少分米？
容器的长：26-3×2=20（分米）
容器的高是3分米。
840÷3÷20=14（分米）
14+3×2=20（分米）
答：原来木板的宽是20分米。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道了长方体（或正方体）的体积＝底面积×高。
我还知道长方体（或正方体）的体积=横截面面积×长。
板书设计
长方体和正方体的体积（2）
长方体（或正方体）的体积＝底面积×高
V=Sh
长方体（或正方体）的体积=横截面面积×长
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
1.一个长方体占地面积是40平方厘米，高是25厘米，它的体积是多少立方厘米？
40×25=1000（立方厘米）
答：它的体积是1000立方厘米。
分层作业
【知识技能类作业】
必做题：
2.一个长方体木料的横截面积是8平方分米，长是2.5米，它的体积是多少？
2.5米=25分米
8×25=200（立方分米）
答：它的体积是200立方分米。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
1.把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计）
（8×8×8）÷（16×5）
=512÷80
=6.4（厘米）
答：这钢板厚6.4厘米。
分层作业
【知识技能类作业】
选做题：
2.一个棱长是5分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积50平方分米的长方体鱼缸里，长方体鱼缸里的水有多深？
5×5×5÷50
=125÷50
=2.5（分米）
答：长方体鱼缸里的水有2.5分米深。
作业布置
【综合实践类作业】
想一想，可以用什么方法来测量自己拳头的体积，从而知道自己心脏和大脑的体积呢
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《长方体和正方体》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《长方体和正方体》单元是图形与几何领域第三学段“图形的认识与测量”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“通过实例了解体积(或容积)的意义，知道体积(或容积)的度量单位，能进行单位之间的换算。认识长方体、正方体，了解这些图形的展开图，探索并掌握这些图形的体积和表面积的计算公式，能用这些公式解决简单的实际问题。在图形认识与测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。”在“学业要求”中指出：“认识长方体、正方体，能说出这些图形的特征，能辨认这些图形的展开图，会计算这些图形的体积和表面积；能用相应公式解决简单的实际问题，形成空间观念和初步的应用意识。能说出体积单位米3、分米3、厘米3，以及容积单位升、毫升，能进行单位换算，能选择合适单位描述实际问题。”
（二）单元教材内容分析
在学习本单元之前，学生已经掌握了长方体和正方体的认识以及周长、面积的计算，本单元主要学习有关长方体和正方体方面的知识，其中包括三节知识：长方体和正方体的认识、长方体和正方体的表面积、长方体和正方体的体积。在第一节中安排了长方体和正方体的特征与展开图，在第二节中，不仅介绍了体积和容积，学习了长方体和正方体的体积计算方法，还认识了常用的体积单位以及它们之间的进率，最后在本单元末还安排了一节综合实践课，让学生借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、联想等形式发现小正方体涂色和位置规律进一步认识正方体。学生学习了这部分知识，不仅可以使学生掌握有关立体图形方面的最基础的知识，而且可以使学生形成初步的观念。
（三）学生认知情况
在学习本单元之前，学生已经学习并掌握了长方体和正方体的认识以及周长、面积的计算，这为学习本单元的知识打好了基础。六年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备了一定的空间想象力，在生活中也虽然对长方体和正方体有所接触，但是只是表面上的认识，对于长方体和正方体的特征，以及表面积和体积的计算方法可能还比较陌生，所以学习这部分知识对进一步培养学生的空间想象能力和抽象思维能力具有重要意义。因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和直观的模型来帮助学生学习本单元的知识。
二、单元目标拟定
1.通过观察、操作等活动，引导学生认识长方体、正方体及其展开图，掌握长方体和正方体的基本特征。
2.理解体积和容积的意义及了解常用的体积单位和容积单位，建立1立方米、1立方分米(1升)、1立方厘米(1毫升)的实际表象。
3.理解和掌握相邻的两个体积单位之间的进率是1000，并会进行单位的换算。
4.探索并掌握长方体和正方体的表面积以及体积的计算方法，并能解决一些简单的实际问题。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.认识长方体和正方体的特征，了解体积和容积的意义及常用的体积单位和容积单位，知道相邻的两个体积单位之间的进率，并会进行单位的换算。
2.探索并掌握长方体和正方体的表面积和体积的计算方法，能灵活解决有关的实际问题。
（二）教学难点
1.认识长方体和正方体的展开图。
2.初步建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的实际表象，培养学生的空间观念。
3.能利用长方体和正方体的表面积以及体积的计算方法解决有关的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》中指出：“图形的认识主要是对图形的抽象。学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，认识图形的特征，感悟点、线、面、体的关系；积累观察和思考的经验，逐步形成空间观念。在推导一些常见图形周长、面积、体积计算方法的过程中，感悟数学度量方法，逐步形成量感和推理意识。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
1.在认识长方体和正方体时，教材在编排上借助从生活中常见的物体抽象出长方体和正方体，让学生通过看一看、比一比、量一量、说一说了解长方体和正方体的特征。
2.注重运用所学的知识解决实际问题，让学生体验学习数学的价值。
3.教材先通过在杯子中浸水果的方法，通过观察、交流，让学生直观地初步感知物体占有空间，学习体积的概念。再通过比较两个大小不同书盒所装的书的体积，形象而直观地揭示了容积的概念。
4.在探索长方体和正方体的表面积和体积的计算方法时，教材在编排上注重学生通过动手实践、自主探索，经历知识的形成过程。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
图形与几何 长方体和正方体 长方体和正方体的认识 1
长方体和正方体的展开图 1
长方体和正方体的表面积 1
表面积的实际应用 1
体积和容积 1
体积单位和容积单位 1
长方体和正方体的体积（1） 1
长方体和正方体的体积（2） 1
体积单位间的进率 1
表面涂色的正方体 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
1.1《长方体和正方体的认识》 目标： 认识长方体、正方体的面、棱、顶点以及长宽高(棱长)的含义，掌握长方体和正方体的特征，理解它们之间的关系。 任务一：认识长方体的特征 → 任务二：认识正方体的特征 → 任务三：长方体和正方体的关系 → 1.能够认识长方体的面、棱、顶点以及长宽高的含义，掌握长方体的特征。 2.能够认识正方体的面、棱、顶点的特点，掌握正方体的特征。 3.借助长方体和正方体的特征，知道长方体、正方体之间的关系。
1.2《长方体和正方体的展开图》 目标： 认识长方体、正方体的展开图，能在展开图中找到长方体、正方体相对的面，能判断一些平面图形折叠后能否围成长方体或正方体。 任务一：探究正方体的展开图 → 任务二：探究长方体的展开图 → 1.知道正方体展开图的特点，并能正确判断。 2.知道长方体展开图的特点，并能正确判断。
1.3《长方体和正方体的表面积》 目标： 理解并掌握长方体和正方体的表面积的含义和计算方法，并能解决一些简单的实际问题。 任务一：表面积的意义 → 任务二：探究长方体的表面积的计算方法 → 任务三：探究正方体的表面积的计算方法 → 1.理解长方体或正方体表面积的意义。 2.能够归纳出长方体表面积的计算方法。 3.能够归纳出正方体表面积的计算方法。
1.4《表面积的实际应用》 目标： 学会运用长方体、正方体表面积的计算方法解决求物体的4个或5个面的面积之和的实际问题。 任务一：解决问题 → 任务二：总结交流 → 1.学会用长方体的表面积解决无盖的问题。 2.能总结出用长方体、正方体表面积解决问题的方法。
1.5《体积和容积》 目标： 能理解体积和容积的意义，能直观比较物体体积和容器容积的大小。 任务一：认识体积 → 任务二：认识容积 → 任务三：体积和容积的联系与区别 → 任务四：比较两个玻璃杯的容积 → 1.初步感知物体的体积，理解体积的概念。 2.认识容器，理解容积的意义。 3.理解并掌握体积与容积的区别，感受两者之间的内在联系。 4.能直观比较容器容积的大小。
1.6《体积单位和容积单位》 目标： 认识常用的体积单位以及容积单位升和毫升；初步建立实际大小的表象，知道1立方分米=1升, 1立方厘米=1毫升。 任务一：比较长方体和正方体的体积 → 任务二：认识体积单位 → 任务三：认识容积单位 → 1.能利用数同样大小的正方体数量的方法比较长方体和正方体体积的大小。 2.认识常用的体积单位，并建立1立方厘米、1立方分米和1立方米的实际表象。 3.认识常用的容积单位，知道容积单位与体积单位之间的联系。
1.7《长方体和正方体的体积（1）》 目标： 探索并掌握长方体和正方体的体积公式，能应用公式正确计算长方体和正方体的体积。 任务一：探索长方体体积与长、宽、高的关系 → 任务二：探索长方体、正方体的体积公式 → 1.能将每次摆出的长方体的相关数据填入表格中，感知长方体体积与它的长、宽、高之间的关系。 2.能够归纳长方体和正方体的体积公式。
1.8《长方体和正方体的体积（2）》 目标： 学生会应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。 任务一：认识底面、底面积 → 任务二：统一公式 → 1.理解底面、底面积的意义，知道底面积的计算方法。 2.能利用底面积的计算方法推导出长方体和正方体统一的体积公式。
1.9《体积单位间的进率》 目标： 经历1立方分米=1000立方厘米、1立方米=1000立方分米的推导过程，理解和掌握相邻的两个体积单位之间的进率是1000的道理。 任务一：探究立方米与立方分米之间的关系 → 任务二：探究立方分米与立方厘米之间的关系 → 1.根据正方体的体积公式分别进行计算，知道1立方分米=1000立方厘米。 2.知道1立方米=1000立方分米，1升=1000毫升，理解相邻的两个体积单位之间的进率。
1.10《表面涂色的正方体》 目标： 借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、联想等形式发现小正方体涂色和位置规律。 任务一：提出问题与观察想象 → 任务二：观察比较、归纳规律 → 任务三：回顾过程与反思体验 → 1.知道每条棱平均分成二份、三份、四份，3面、2面、1面涂色的小正方个数以及在大正方体的位置。 2.对数据关系的分析，能归纳数据间的规律，并能用字母表示。 3.通过回顾活动过程，能反思活动的方式方法。
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《1.8 长方体和正方体的体积（2）》教学设计
课题 长方体和正方体的体积|（2） 单元 第一单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 本节课的教学内容，分三步进行：第一步认识长方体和正方体的底面。教材在长方体、正方体的直观图上，用涂颜色和文字标注等办法呈现它们的底面，让学生看到“底面”一般指长方体、正方体的下面(认识长方体时曾指过上、下、前、后、左、右三组相对的面)。第二步认识底面积。长方体或正方体的底面，都是表面的一部分。教材指出，长方体和正方体底面的面积，叫做它们的底面积，帮助学生建立底面积的概念，要求学生研究计算底面积的方法，联系求表面积的经验，得出长方体的底面积=长×宽，正方体的底面积=棱长×棱长，进一步加强对底面的认识。第三步演变原来的体积公式。在长方体的体积=长×宽×高里，如果把“长×宽”看成先算底面积，那么体积公式可以演变成“底面积×高”。在正方体的体积=棱长×棱长×棱长里，如果把“棱长×棱长”看作先算底面积，那么体积公式也演变成“底面积×高”。由于长方体、正方体的体积公式都能演变成“底面积×高”，因而获得了统一。
学习目标 1.学习目标描述：让学生经历长方体和正方体的统一体积计算公式的推导过程，进一步认识两种几何体的基本特征及它们之间的关系。使学生会应用长方体、正方体体积的统一计算公式解决一些简单的实际问题。2.学习内容分析：本节课的内容是在已经掌握长方体和正方体各自的体积公式的基础上进行学习的，而体积的统一公式是在理解底面积的基础上，根据长方体和正方体的体积公式进一步推导而来的，使体积的计算方法多样性，提升了学生的逻辑思维能力和分析能力，另外体验解题的多样性。3.学科核心素养分析：激发学生的求知欲，培养学生善于动脑的认知感以及思维的逻辑感，树立解决问题的自信心。让学生通过自己提出问题、自己解决问题这一过程，感受到数学源于生活，体验到成功解决数学问题的喜悦。
重点 能利用推导出来的公式解决实际问题。
难点 理解体积统一计算公式的推导过程。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.复习旧知（1）找出长方体和正方体的下面，并涂上颜色。（2）计算下面长方体和正方体的体积。2.导入新课课件出示：西汉末年，我国古代数学家编撰了一本不朽的传世名著《九章算术》，这本书共九章，其中一章叫商功章，它收集的都是一些有关体积计算的问题，书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说，先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。师：看完这段叙述，你想到什么 师：这段文字中描述的长方体有什么特征？师：底面积指的是哪一个面的面积？师：古代数学家是怎样计算长方体体积的？师：这与我们上节课掌握的计算方法相同吗？师：那么长方体的体积是不是可以用底面积乘高来计算呢？这节课我们就来探究这方面的知识。 学生独自完成，然后集体订正。 学生阅读了解。学生：我想到了长方体和正方体的体积公式。…… 学生：两个面是正方形的长方体。 学生：是指长方体下面的面积。 学生：先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。 学生：不相同。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识打基础。 通过了解古人计算长方体或正方体的体积计算方法，引起学生的注意力，激发学生探究新知的欲望，提高学生学习数学的积极性。
讲授新课 任务一：认识底面、底面积课件出示：师：你能指出这两个图形中哪一个面是底面吗？师：是的，“底面”一般指长方体、正方体的下面。课件出示：师：长方体或正方体的6个面中，任何一个面都可以做底面，一般以水平放置的下面做底面。那么怎样计算长方体和正方体的底面积？师揭示：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 学生：就是它们的下面。学生1：长方体的底面积=长×宽。学生2：正方体的底面积=棱长×棱长。 认识“底面”，是计算底面积和计算体积公式的关键所在，本环节在长方体和正方体图中引出底面，让学生感受知识就在身边，同时也为研究体积公式“底面积×高”奠定了知识基础，让学生体会知识之间的联系。
任务二：统一公式师：想一想，长方体和正方体的体积还可以怎样计算 并说说这个公式是怎样得到的？展示：长方体的体积=长×宽×高 ↓ ↓ =底面积×高正方体的体积=棱长×棱长×棱长 ↓ ↓ = 底面积 × 高师：这两个公式能统一起来吗？师：看来古人和今人计算长方体（或正方体）体积的方法是一致的，两个公式可以写成：长方体（或正方体）的体积＝底面积×高。师：如果用S表示底面积，体积公式可以写成……师：在解决求体积的实际问题时，可以直接用它的底面积乘高就可以了。但是长方体和正方体不同放置，说法各不相同。课件出示：师：长方体和正方体的侧面叫做横截面。长方体的横截面、长与前面学习的底面积、高有什么关系？课件出示： 师：那么长方体的体积还能怎么计算？师：那么正方体呢？师：其实，长方体和正方体的体积公式还可以统一成……课件出示：长方体（或正方体）的体积=横截面面积×长 学生借助长方体和正方体的体积公式推导，然后展示反馈。学生自由说说。学生：V=Sh。学生独自观察，然后自由说说：横截面相当于底面积，长相当于高。学生：长方体的体积=横截面面积×长。学生：正方体的体积=横截面面积×棱长。学生齐读。 借助长方体和正方体的体积公式，利用底面积的计算方法推导出长方体和正方体统一的体积公式，帮助学生顺利完成探索,初步培养学生的逻辑推理能力。通过此环节的学习，一是巩固了横截面，二是让学生体会长方体、正方体的体积公式还能演变成横截面面积×高、横截面面积×棱长，从而对体积公式有更充实、更丰富的体验。
课堂练习 基础题：1.一个长方体容器长8.5分米，宽4分米，深1.5分米。（1）这个长方体占地面积是多少平方分米？（2）最多可容水多少立方分米？2.一个长方体长50厘米，宽45厘米，高20厘米，这个长方体占地面积最大是多少平方厘米？占地面积最小是多少平方厘米？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
提高题：3.一个长方体油桶的底面积是32立方分米，可以装60千克食用油，如果每升食用油重0.75千克，这个油桶的高是多少分米？
拓展题 4.把一块长26dm的长方形木板，在四个角上分别剪去边长3dm的正方形，将它制成容积为840dm2的长方形无盖容器，这块木板原来的宽是多少分米？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 长方体和正方体的体积（2）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 V=Sh长方体（或正方体）的体积=横截面面积×长 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.一个长方体占地面积是40平方厘米，高是25厘米，它的体积是多少立方厘米？2.一个长方体木料的横截面积是8平方分米，长是2.5米，它的体积是多少？选做题：1.把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计）2.一个棱长是5分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积50平方分米的长方体鱼缸里，长方体鱼缸里的水有多深？
【综合实践类作业】想一想，可以用什么方法来测量自己拳头的体积，从而知道自己心脏和大脑的体积呢
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