2023-2024学年内蒙古自治区通辽市高二下学期期末质量检测数学试卷（含解析）

2023-2024学年内蒙古自治区通辽市高二下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的取值范围为( )
A. B.
C. 或 D. 或
2.若函数，则的定义域为( )
A. B. C. D.
3.下列运算中正确的是( )
A. B.
C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
5.已知在上为减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件与相互独立；命题乙：“与相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题( )
A. 甲乙都是真命题 B. 甲是真命题，乙是假命题
C. 甲是假命题，乙是真命题 D. 甲乙都是假命题
7.已知，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列叙述中正确的是( )
A. 二项式系数之和为 B. 各项系数之和为
C. 常数项为 D. 的系数为
10.已知不等式的解集为，则以下选项正确的有( )
A.
B.
C. 函数有两个零点和
D. 的解集为或
11.已知函数的定义域为，且，都有，，，，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B.
C.
D. 函数与函数的图象有个不同的公共点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为_____．
13.某地教育局准备从本地区选聘位教育家型教师到外地所学校支教，要求每所学校至少去位教师，每位教师只能去所学校，且甲乙两位教师必须去同一所学校，则不同的分配方案种数为_________．
14.若对任意的，不等式恒成立，则的最大整数值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
Ⅱ解关于的不等式．
16.本小题分
定义在上的函数满足，，且时，．
求；
判断在上的单调性；
若，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数是定义域为的偶函数．
求的值；
若，求函数的最小值．
18.本小题分
某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 合计
男生人数
女生人数
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次及次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和
若将一周参加体育锻炼次或次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
19.本小题分
设函数．
当时，求的极值；
当时，讨论的单调性；
在条件下，若对任意，有恒成立，求的最大值．
答案解析
1.
【解析】解：因为，
所以，即，
解得或．
故选D．
2.
【解析】解：由 ．
故选C．
3.
【解析】解：对于，由换底公式可得：，故 A错误；
对于，，故 B错误；
对于，，故 C错误；
对于，，故 D正确．
故选：
4.
【解析】解：由题，的定义域为，
因为，所以为奇函数，关于原点对称，排除；
当时，，，则，排除．
故选C．
5.
【解析】解：因为函数为上的减函数，
由复合函数的单调性可得：若函数在上是减函数，
则当时，
且函数为增函数，
函数的图象开口向上，对称轴为直线，
即，当时，，
解得．
故选B．
6.
【解析】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，故 ，
所以事件与相互独立，命题甲正确；
若与相互独立，则 与 相互独立， 与 相互独立，
，
，
所以 ，
若 ，所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 ，
，故事件 与事件 相互独立，
所以事件 与事件 相互独立，
所以“与相互独立”是“ ”的充分必要条件，
所以命题乙为假命题，
故选B．
7.
【解析】解：因为，所以，所以，
又，所以，所以，
综上，．
故选：
8.
【解析】解：由得，所以或，
因为当时，，所以，
所以当时，，单调递减
当时，，单调递增，
所以，且，
又因为当时，，
所以在时单调递增，在时单调递减，且，
所以作出函数的大致图象如图：
则无解，所以只有方程有个不同的实数根，数形结合可知．
9.
【解析】解：因为，它的展开式的通项公式为，
易知所有项的二项式系数和为，所以A错误；
在展开式两边令，得所有项的系数和为，所以B正确；
令，则，所以C正确；
令，则，所以D正确．
故选BCD．
10.
【解析】解：不等式的解集为，
根据一元二次不等式解法可知，且，，
，，则，A正确
由二次函数的图象知当时，，故，B错误显然正确
由，可知：将，代入，
得，
由可得，解得或，
故的解集为或，D正确
故选ACD．
11.
【解析】解：依题意，因为，即，
所以函数的图象关于点对称，所以选项正确
又，，即，所以函数的图象关于直线对称，
也即，又，所以，
即，则，所以，所以是函数的一个周期，
故，由，令，所以，所以选项正确
因为，，又当时，，
所以，解得，即当时，，
，，
所以，所以选项不正确；
对于选项，作出函数和函数的图象，
如图所示，所以选项正确．
故选：．
12.
【解析】解：，
当且仅当，即时取得“”，
的最小值是．
故答案为．
13.
【解析】解：根据题意可分为三类：甲乙两人一起去同一所学校，甲乙连同另一名老师一起去同一所学校，甲乙连同另外两名老师一起去同一所学校，
甲乙两人一起去同一所学校，则不同的分配方案种数为，
甲乙连同另一名老师一起去同一所学校，则不同的分配方案种数为，
甲乙连同另外两名老师一起去同一所学校，则不同的分配方案种数为，
则不同的分配方案种数共有．
故答案为：．
14.
【解析】解：原不等式等价于 在 时恒成立，
令 ，则上式化为 ，
构造函数 ，
则 ，
令 ，
所以 在 上单调递增，而在 ，
故 使得 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ，
所以 ，
又 ，故 的最大整数值为．
故答案为：．
15.解：Ⅰ由题意，不等式对于一切实数恒成立，
等价于对于一切实数恒成立．
所以．
Ⅱ不等式等价于．
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，不等式的解集为；
当即时，不等式可化为，此时．
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】Ⅰ由题意，得对于一切实数恒成立，利用即可求解；
Ⅱ不等式等价于，然后对进行分类讨论即可．
16.解： 满足 ，
令 ， ， ．
设 ，
，
， ，又 时， ，
，
故 即 ，
在 上单调递增．
由 ，且 ，得 ，
则 可化为 ，
由 知 在 上单调递增，

解得 ，
故 的取值范围为 ．
【解析】利用赋值法，令 ，代入 即可求解；
利用函数单调性的定义证明，设 ，把 用 表示，再根据函数 满足 进行计算即可判断 ，从而得 在 上单调递增；
由 ，将 化为 ，再结合函数单调性求解即可．
17.解：由偶函数定义知，即，
所以对成立，所以．
由题意知，
令，，所以，所以，
所以，
当，即时，在上单调递增，
所以，即
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，即．
综上，．
【解析】由题函数为偶函数，根据偶函数的定义计算求得的值即可；
因为，，令，，得，转化为二次函数求最值问题
18.解：（1）22列联表
零假设为:性别与锻炼情况独立,即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算
===3.590>2.706，
根据小概率值=0.1的独立性检验,推断不成立,
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系,此推断犯错误的概率不超过0.1；
(2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,
随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率p==，
X~B(20,)，
故E(X)=20=，
D(X)=20=；
(3)10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布:
P(Y=0)==,P(Y=1)===，
P(Y=2)===,P(Y=3)===，
故Y的分布列为：
E(Y)==2.1.
【解析】（1）列出列联表，计算卡方，与临界值比较得出结论；
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数,故X近似服从二项分布,利用二项分布的期望与方差得出结论；
（3）10名“运动爱好者”有7名男生,3名女生,Y服从超几何分布，求出概率，考查分布列与期望.
19.解：当时，，则，，
令，得，令，得．
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，无极大值．
当时，，则，
当时，，
令，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增
当时，由，解得或，
若，即，令，或，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增
若，即，则，所以函数在上单调递增
若，即时，令，或，
所以函数在上单调递减，在、上单调递增．
对恒成立，即对
恒成立．
令，则只需即可．
．
易知，均在上单调递增，故在上单调递增且
．
当时，，单调递减当时，，单调递
增．
故，即的最大值为．
【解析】对求导，求得函数的单调性即可求得函数的极值；
对求导，利用分类讨论的思想求导函数与的关系，得到函数的单调性；
先分离参数，将原不等式等价转化为对恒成立，设，将问题转化为求解，利用导数求得的单调性即可求得的最值即可求解．
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