2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.某学校有小学生人，初中生人，高中生人．为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，且从初中生中抽取的人数为人，则为( )
A. B. C. D.
3.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
4.已知三条不重合的直线，，和平面，下列命题中是真命题的为( )
A. 若直线，和平面所成的角相等，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶次，每次命中的环数如下：
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，
则下列结论正确的是( )
A. 甲成绩的平均数较小 B. 乙成绩的中位数较小
C. 乙成绩的极差较大 D. 乙比甲的成绩稳定
6.的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为( )
A. B. C. 或 D.
7.在三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知的外接圆圆心为，且，，点是线段上一动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数满足，下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. C. D.
10.关于函数，下列结论正确的是( )
A. 是的一个对称中心
B. 函数在上单调递增
C. 函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到
D. 若方程在区间上有两个不相等的实根，则
11.如图，已知正方体中．为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是( )
A. 不存在点，使 平面
B. 三棱锥的体积不随动点变化而变化
C. 直线与所成的角可能等于
D. 不存在点，使平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知：向量与的夹角为锐角．则实数的取值范围为________．
13.在对某中学高一年级学生身高单位：调查中，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 ．
14.已知三棱锥四个顶点在球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则此球的半径是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.分已知平面向量，，且函数．
求的值；
求函数的最小正周期；
求函数在上的最大值，并求出取得最大值时的值．
16.分某电力公司需要了解用户的用电情况单位：度现随机抽取了该片区户进行调查，将数据分成组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图用户的用电量均不超过度．
求；
若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
每户用电量不超过度的电费是元度，超出度的部分按元度收取，若该公司为了保证至少的住户电费都不超过元度，则至少应为多少为整数？
17.分在三棱锥中，，．
求证：；
若，，求点到平面的距离．
18.分的内角，，的对边分别为，，，且B.
求角的大小
若，的面积为，求的周长．
19.分如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，交于点，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
记二面角的平面角为，若．
求与底面所成角的大小；
求点到平面的距离．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：因为，解：对于，若直线和平面所成的角相等，则直线可以相交或异面或平行，即 A错误；
对于，若，则直线可以相交或异面或平行，即 B错误；
对于，若，则可能是，即 C错误；
对于，若，由线面垂直性质可得，即 D正确．
故选：
5.【答案】
【解析】将甲乙两位射击运动员的射击环数从小到大进行排列可得：甲：，，，，，，，，，，乙：，，，，，，，，，，
对于选项A甲的射击环数的平均数，
乙的射击环数的平均数，所以甲乙成绩的平均数相等，故选项A错误
对于选项B易得甲的射击环数的中位数为，乙的射击环数的中位数为，所以甲乙成绩的中位数相等，故选项B错误
对于选项C易得甲的射击环数的极差为，乙的射击环数的极差为，所以甲成绩的极差较大，故选项C错误
对于选项D因为甲的射击环数的平均数，
所以甲的射击环数的方差为
因为乙的射击环数的平均数，
所以乙的射击环数的方差为
所以，所以乙比甲的成绩稳定，故选项D正确．
6.【答案】
【解析】由正弦定理得，即，解得，
是三角形内角，或
当时，，；
当时，．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：取中点，连接，，，
因为，，
，分别是，的中点，，
，，
是异面直线与所成角或所成角的补角，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：因为，可知为的中点，又因为为的外接圆圆心，
则，且，即，
可知为等边三角形，即，
如图，建立平面直角坐标系，
则，，设，，
可得，，则，
可知当时，取到最小值．
9.【答案】
【解析】解：，则其虚部为，故A错误
，，故B，C正确
，而，则两者不等，故D错误．
10.【答案】
【解析】解：对于：因为，故A选项错误；
对于：时，，
所以函数在上单调递增，故B选项正确；
对于：函数的图象向右平移个单位得到函数 ，
即为函数，故C选项正确；
对于：方程可化为，
当时，，
令，则，
由题意可知，直线与函数 在上的图象有两个交点，
如下图所示：
当时， ，
由图可知，当时，
直线与函数在 上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是，故D选项错误．
故选BC．
11.【答案】
【解析】解：对于，若平面，而易知平面，
且，E、平面，
所以平面平面，显然矛盾，故A正确；
对于，易知，平面，而平面，
所以平面，则到平面的距离始终为定值，
又的面积为定值，所以由等体积法知，故B正确；
对于，易知，则直线与所成的角为或其补角，
又为正三角形，显然当时，，即C正确；
对于，由正方体的特征知，，
而，、平面，
所以平面，
所以当为的中点时，有，此时平面，故D错误．
故选：．
利用面面平行的性质及反证法可判定，利用线面平行的性质及棱锥的体积公式可判定，利用异面直线的夹角及正三角形的性质可判定，利用正方体的特征结合中位线的性质可判定．
本题考查立体几何的综合问题，线面平行的判定，三棱锥的体积问题，线线角的求解，线面垂直的判定，属中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，
与的夹角为锐角，
，且不共线，
，解得且，
的取值范围为：．
故答案为：．
根据向量数量积的计算公式和共线向量的坐标关系即可得解．
本题考查了向量数量积的计算公式，向量平行的坐标关系，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：易知总样本的平均数为，
代入公式可得总样本的方差为；
因此总样本的平均数为，方差为；
故答案为：；．
14.【答案】
【解析】解：如图，由，是边长为的正三角形，可知三棱锥为正三棱锥，
则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于，
则，又，，可得平面，则，
，分别是，的中点，，
又，即，，又，，平面，得平面，
正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为，
则球的半径为．
故答案为：．
15.【答案】解：因为，，
所以
，
；
由，
故函数的最小正周期为．
解：当时，，
当，即时，函数取最大值，
此时．
【解析】由题意首先得到的解析式，可得的值；
根据三角函数性质可得函数周期；
结合函数的图象与性质求解函数的最值即可．
16.【答案】解：由频率分布直方图中各组概率之和为得，
，解得．
根据频率分布直方图中平均值计算公式得平均值为．
由题意，第一组的频率为，
第二组频率为，
第三组频率为，
所以在第四组之间，为第百分位数，
即，解得，
故至少应为．
【解析】由频率和为可得的值；
由频率分布直方图、平均数可得结果；
由百分位数的定义得出第百分位数，可得结果．
17.【答案】证明：取的中点，连接，，如图所示．
在中，，是的中点，所以，在中，，是的中点，所以，
又，，平面，所以平面，又平面，所以
在中，，，是的中点，所以．
在中，，，是的中点，所以，．
在中，，，，所以，
由知，平面，所以，
设点到平面的距离为，，解得，
即点到平面的距离为．
【解析】证得和是关键；
利用，分别求出，，，即可求出．
18.【答案】解：因为，
由正弦定理可得：，
即，
又因为，，所以，
，
由题意，
由知，．
又
所以．
又因为，，
即．
又因为，
所以的周长为．
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，二倍角正弦公式等知识点，属于中档题．
19.【答案】证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，，
又，、平面，，、平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，，，
因为，，，
所以≌，且，，
所以就是二面角的平面角，即，
在中，，，
由余弦定理知，，
所以，解得，
所以，
作于点，
因为，是的中点，所以，
因为菱形，所以，
又，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，所以平面，
所以即为与底面所成角，
因为，
所以，
因为，所以，
故与底面所成角的大小为．
由知，，
，
因为平面，
所以点到平面的距离为，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，
解得，
故点到平面的距离为．
【解析】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线、面平行或垂直的判定与性质定理，等体积法，线面角、二面角的定义是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
取的中点，连接，，先利用中位线的性质，证明平面平面，再由面面平行的性质定理，即可得证；
取的中点，连接，，，由二面角的定义可知，在中，利用余弦定理求出的长，作于点，证明平面，从而知即为所求，再由锐角三角函数，即可得解；利用等体积法，求解即可．
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