2023-2024学年河南省安阳市第一中学高二下学期7月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省安阳市第一中学高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人下图是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
6.某班毕业晚会有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻，这样的节目单有种
A. B. C. D.
7.已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.若的定义域为，且对，满足，，则下列结论中，一定正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的是( )
A. 命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”的否定是真命题．
B. 命题“对，的个位数不等于”的否定是假命题．
C. 梯形是等腰梯形的充要条件是．
D. 设，则的充要条件是．
10.从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件“抽到”，事件“抽到黑桃”，则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知定义域为的函数满足，，且为奇函数，则( )
A. B. 函数的一个周期为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答
13.已知，，且，则的最小值是 ．
14.阅读材料：“在成功概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为”请根据上述材料解决以下问题：设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个；现每次从袋子里取出一个球，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为，则的数学期望为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处的切线平行于直线．
求的值；
求的极值．
16.本小题分
陕西省从年秋季启动新高考，新高考“”模式中“”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“”为首选科目．要求从物理、历史门科目中确定门，“”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学门科目中确定门，共计产生种组合．某班有学生名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
历史 物理 合计
男生
女生
合计
附：，其中．
根据表中的数据，判断是否有的把握认为学生选择历史与性别有关；
从选择物理类的名学生中按照分层抽样，任意抽取名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率．
17.本小题分
为迎接杭州亚运会，甲、乙两名同学进行羽毛球练习，规定当有一人比对方多胜局或打满局时终止甲在每局比赛中获胜的概率为，前两局中甲和乙各胜一局的概率为．
求的值；
设终止时比赛局数为，求的分布列与期望．
18.本小题分
年月日的“”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为单位：，其他数据如下：．
利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程精确到小数点后位，下同；
经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程．
参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且．
19.本小题分
已知函数，为的导数．
讨论的单调性
若是的极大值点，求的取值范围
若，证明：．
答案解析
1.
【解析】
解：因为集合 ， ，
所以 ．
故选：．
2.
【解析】由题可知：
所以，
所以
故选：
3.
【解析】因为
由于，则．
故选：
4.
【解析】解：由且且，因为该函数为奇函数，所以定义域关于原点对称，
因此，即，
因为，
所以该函数是奇函数，符合题意，
故选B．
5.
【解析】对于，当且仅当，即时取等号，
在上的最大值为，与图象不符， A错误；
对于，当时，，与图象不符， B错误；
对于，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符， C正确；
对于，由得：，不存在部分的图象， D错误．
故选：．
6.
【解析】将相声，跳舞看成一个整体，与唱歌，杂技全排列共有种情况，
个节目有个空，除去相声旁边的那个空，还剩个空，小品选其一，有种，
所以共有种排法．
故选：
7.
【解析】解：根据题意，设函数，
其导数
又由，
则有，即函数为增函数，且
，即，
又由函数在上为增函数，
则有，即不等式的解集为
故选：．
8.
【解析】，即，
由得，
，即，
，
，，
，
又，且，即，
，故错误；
，，，
又，，，，故错误，正确．
故选：．
9.
【解析】对于，命题“存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”是真命题，
则其否定是假命题，故A错误；
对于，命题“对，的个位数不等于”是真命题，
因为到这个数字的平方数的个位都不会是，则其否定是假命题，故B正确；
对于，必要性：在等腰梯形中，，，
又因为，所以，所以．
充分性：如图，过点作，交的延长线于点．
因为，，所以四边形是平行四边形，所以．
因为，所以，所以．
又因为，所以，所以．
在和中，
所以，所以．
所以梯形 为等腰梯形．
所以梯形为等腰梯形的充要条件是，故 C正确；
对于，充分性：若，则，
即，所以，
故充分性成立；
必要性：若，则，
即，所以，
所以，故必要性成立；
所以的充要条件是，故 D正确；
故选：
10.
【解析】由题意可得，，，，
则，故 A正确；
且，故 B错误；
因为，，则，
则，故 C正确；
且，，则，
所以，故 D错误；
故选：
11.
【解析】解：因为函数为奇函数，所以，即．
在中，令，得，故A错误
令，因为，所以，
所以，即为偶函数．
又为奇函数，所以，
即，所以，
所以，
所以．
由得，所以，
所以，所以是周期为的函数，
所以，
所以，故B，C正确
由与，
得，所以，
所以，
，，
，，
，，
，，
，
所以
，故D错误．
故选BC．
12.
【解析】由题意，多项式的展开式中含有的项为：
，
所以的系数为．
故答案为：．
13. 或
【解析】由，得，
因为，，
所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
14.
【解析】由题意可得，期待在次试验后，首次出现连续次成功，
若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为，
若下一次试验失败，相当于重新试验，后期望仍是，
此时总的试验次数为，
即，
整理可得，即，
即是公比为的等比数列，
所以，其中，
所以．
由问题可知，，则．
故答案为：
15.解：由已知可得，
而直线的斜率为，
所以；
由得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故极大值为，极小值为．
【解析】由导数的几何意义计算即可；
利用导数研究函数的极值即可．
16.解：将表中的数据带入，得到
．
所以有的把握认为学生选择历史与性别有关．
由题意知，抽取的名同学中，男生有名，设为，，，女生名，设为，，
从这名同学中选取名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
，，，，，，，，，，共计种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，
其中至少有一名女生的情况有，，，，，，，共计有种情况，
所以至少有一名女生．
【解析】根据列联表中的数据，计算的值，与比较可得结果；
问题转化成古典概型，利用古典概型的概率计算公式计算可得．
17.解：由题意可得，甲在每局比赛中获胜的概率为，则乙在每局比赛中获胜的概率为，所以，
解得或，又，所以．
依题意的所有可能值为，，．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，
该轮结束时比赛继续的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各胜一局，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，，，
故的分布列如下：
所以．
【解析】根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可；
依题意的所有可能值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．
18.解：由题意，知，
，，
所以：．
去除后的，
所以直线与直线斜率相等，
，
所以：．
【解析】根据公式计算得到；
根据公式计算得到去除后的与去除前的相等，即可证明直线与直线斜率相等，然后求即可．
19.解：由题知：，
令，则，
当时，，在区间单调递增，
当时，令，解得，
时，时，，
所以在区间单调递减，在区间单调递增．
综上所述，当时，在区间单调递增
当时，在区间单调递减，在区间单调递增．
当时，，
由知，时，，在单调递减
时，，在单调递增
所以，是函数的极小值点，不符合题意
当时，，且，
由知，时，，在单调递减
时，，在单调递增
所以，是函数的极小值点，不符合题意．
当时，，时，，在单调递增，
所以无极值点，不合题意
当时，，且
当时，，在单调递增
当时，，在单调递减
所以，是函数的极大值点，符合题意
综上所述，的取值范围是．
要证，
只要证，
只要证，且，
因为，，
所以只要证：对任意，有，
只要证：对任意，
因为由知：当时，若，则，
所以，即，
令函数，，
则，
所以在单调递增，，即，
由得：所以，
所以成立，所以成立．
【解析】对求导，令，再求导，对进行分类讨论，即可判断单调性；
利用导数，讨论，，，时，函数的单调性，即可求解；
问题转化为证明对任意，，由知，，构造函数，，利用导数可得，，两式相加即可证明．
第1页，共1页