2023-2024学年海南省海口市高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年海南省海口市高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.张三某天从甲地前往乙地，已知每天从甲地到乙地的航班有班，铁路有高铁趟、动车趟，城际大巴有班．则其出行方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.函数，且的图象一定经过点( )
A. B. C. D.
4.为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值，通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布且，则( )
A. B. C. D.
5.小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付元；第二种，第一天付元，第二天付元，第三天付元，以后每天比前一天多元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番即增加一倍；如果小明预计工作天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬( )
A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 无法判断
6.某大学年继续开展基础学科招生改革试点以下简称强基计划，以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次无并列名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，人的名次排列可能有多少种不同情况有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，设，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对两组线性相关成对数据进行回归分析，得到不同的统计结果，第一组和第二组成对数据的样本相关系数，残差平方和，决定系数分别为和，则( )
A. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
B. 若，则第一组成对数据的线性相关关系比第二组的强
C. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好
D. 若，则第二组成对数据的经验回归模型拟合效果比第一组的好
10.一个质点在随机外力的作用下，从数轴原点出发，每隔等概率向左或向右移动一个单位，设移动次后质点所在位置对应的数为随机变量，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，若，都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”则( )
A. 是“依赖函数”
B. ，且是“依赖函数”
C. 若函数为“依赖函数”，且函数图象连续不断，则该函数为单调函数
D. 当，时，若函数是“依赖函数”，则的最大值为，此时
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为虚数单位，则复数的实部是 ．
13.的内角，，的对边分别为，，已知，，，则 ．
14.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为，，由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为利用椭圆的光学性质解决以下问题：
椭圆的离心率为 ；点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为，在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
己知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最小值．
16.本小题分
已知数列是等差数列，数列是正项等比数列，且，，是和的等差中项，是和的等比中项．
求数列和数列的通项公式；
从集合中任取个元素形成一个组合，记组合中这个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，点，分别是，的中点，底面．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队明星队员在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛局，甲队最终获胜的概率；
求甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利的概率；
若已知甲乙两队比赛局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员上场的概率．
19.本小题分
代数基本定理是数学中最重要的定理之一，其内容为：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积．进而，一元次复系数多项式方程有个复数根重根按重数计．
如对于一元二次实系数方程，在时的求根公式为在时的求根公式为所以由代数基本定理，任意一个一元二次实系数多项式可以因式分解为．
在复数集中解方程：；
在复数集中解方程：；
写出一个以、、、为根的一元六次实系数多项式方程；不需要写证明过程；
已知一元十次实系数多项式满足，求的值．
答案解析
1.
【解析】解：集合，，所以．
故选：．
2.
【解析】解：由分类加法计数原理得，
从甲地到乙地不同的方案数为．
故选：．
3.
【解析】解：因为且，
所以在函数中，
令，则，，
所以函数的图象一定经过点．
故选：．
4.
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，且，
所以均值，密度曲线关于对称，
所以，
所以．
故选：．
5.
【解析】解：第一种可以领取报酬元；
第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列，
则第二种可以领取报酬元；
第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列，
则第三种可以领取报酬元，
因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬．
故选：．
6.
【解析】解：依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，
甲排在第五名，则有种排法；
甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法；
综上可得一共有种不同的排法．
故选：
7.
【解析】解：
因为所以，
在中，
所以，
所以，
所以．
故选：．
8.
【解析】解：因为的定义域为，
又，所以函数为偶函数，
所以，，，
构建函数，，恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以，
构建函数，，在恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以，
综上所述，在时，，
所以，
又因为函数在单调递减，
所以，所以．
故选：．
关键点点睛：本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，解题的关键是通过导数证明在，．
9.
【解析】解：由越趋近，数据的线性相关关系越强知，A错误；B正确；
由残差平方和越小，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，C错误；
由决定系数越大，则数据的经验回归模型拟合效果越好知，D正确，
故选：
10.
【解析】解：由题意知，随机变量，且质点向左或向右移动一个单位的概率均为，
若，则移动次后质点一共向右移动次，向左移动次，则，
若，则移动次后质点一共向右移动次，向左移动次，则，
所以，故 A错误；
若，则移动次后质点一共向右移动次，向左移动次，则，
所以，故 B正确；
移动次后质点一共向右移动次，向左移动次，有，
故，
则，故 C正确，D错误，
故选：．
11.
【解析】解：选项，的定义域为，当时，，
此时不存在，， A错误；
选项，，且，定义域为，
对于，都存在唯一的，
使得， B正确；
选项，函数为“依赖函数”，且函数图象连续不断，
对于，存在，使，
假设为不单调，且存在，使得，
此时，
这与条件中的唯一的相矛盾，故假设不成立，
则该函数为单调函数，C正确；
选项，，
由选项可知，要想满足在上为“依赖函数”，
则要满足在上单调，
因为，由对勾函数性质可知，在上单调递减，
在上单调递增，
故，即的最大值为，
且当时，由单调性可知，其中，
所以，即，
解得，或舍去，
此时， D正确．
故选：
12.
【解析】解：由题意，其实部为．
13.或
【解析】解：因为，，所以，
由正弦定理，即，解得．
故答案为：
14.或
【解析】解：设椭圆的长轴长为，
因为由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为，
所以，得，
所以椭圆的离心率为，
如图，延长交于点，
在中，，由反射角等于入射角，可得，
所以，且为的中点，
在中，，
因为在上的射影在圆上，所以，
所以，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为．
故答案为：，
15.解：因为：，所以切点坐标为：，
又，，即为所求切线的斜率．
所以切线方程为：，化简得：
，
由；由．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以函数在区间上的极小值为，也是最小值．
【解析】先确定切点，再求切线斜率，利用点斜式可得切线方程．
分析函数的单调性，可得函数的最小值．
16.解：由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
因为，
所以，即，
故等差数列的通项公式为，
所以，，
又因为是和的等差中项，是和的等比中项，
所以，解得，，
所以，即负值已舍，
所以等比数列的通项公式为．
集合，
从集合中任取个元素有种组合，
这个元素能构成等差数列的有
共种组合，
故．

【解析】根据等差数列基本量的运算求解数列的通项公式，结合等差中项和等比中项的性质，根据等比数列基本量的运算即可求解数列的通项公式；
先计算出所有组合数，再计算事件包含的样本点个数，最后由古典概型的概率计算公式即可求解．
17.解：因为点，分别是，的中点，
所以，又平面，平面，所以平面；
连接，因为，点是的中点，所以，
又底面，底面，所以，，
如图建立空间直角坐标系，不妨设，则，，又，
所以，，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】依题意可得，即可得证；
连接，即可得到，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得．
18.解：设事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，
事件“甲队第局获胜”，其中，，，，相互独立，
又甲队明星队员前四局不出场，故：，，，，，
，
所以
设为甲局获得最终胜利，为前局甲队明星队员上场比赛，
则由全概率公式可知：
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
，，
所以
．
【解析】设事件“甲乙两队比赛局甲队最终获胜”，事件“甲队第局获胜”，其中，，，，得，利用即可求解
讨论上场和不上场两种情况，利用全概率公式即可求解
利用贝叶斯公式即可求解．
19.解：方程，则，
所以、，
即原方程在复数集中解为，；
因为，
所以，
即，
即，
所以，，、，
即原方程在复数集中解为，，，；
因为为该方程实系数为根，则也为方程的根，
为该方程实系数为根，则也为方程的根，
又与可为方程的两个虚根；
与可为方程的两个虚根；
所以以、、、为根的一元六次实系数多项式方程可以为．
依题意可得，
令，
因为十一次多项式方程有个根，
令，
所以，
令，可得，所以，
所以，
，
则，又，
所以，则．
【解析】按照实系数一元二次方程的解法计算可得；
将方程左边因式分解，变形为，即可得解；
根据虚根成对原理，可知、也为方程的根，从而得到一个符合题意的一元六次实系数多项式方程；
依题意可得，则，令，即可求出，从而求出，再令，即可得解．
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