2023-2024学年福建省南平市高二下学期7月期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省南平市高二下学期7月期末质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.故选：．已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.“在上单调递增”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量的分布列如下表所示，设，则( )
A. B. C. D.
6.将函数图象上所有的 点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象，则( )
A. B. C. D.
7.将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字和的小球不放入同一个盒子，则不同方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.以 表示数集中最大的数．若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.已知函数且在上为单调函数，，则( )
A. 实数的取值范围为
B. 当时，的取值范围为
C. 函数是周期函数
D. 函数与的 图象之间关于直线对称的点有无数多对
11.是轮子半径为外边沿上的一点，若轮子从图中位置恰为轮子和地面的切点向左匀速无滑动滚动，当滚动的水平距离为 时，点距离地面的高度为，则( )
A. 当时，点恰好位于轮子的最高点
B.
C. 当时，点距离地面的高度在下降
D. 若，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则 ．
13.若，则 ．
14.若存在实数使得成立，则实数的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中，二项式系数和为．
求展开式中各项系数的和；
求展开式中含的项．
16.本小题分
某企业拥有甲、乙两种生产工艺，用这两种生产工艺共生产件同一类型产品，所得合格品情况如表，该企业对甲生产工艺研发投入亿元与总收益亿元的数据统计如表．
表：
工艺 合格情况 合计
合格品 不合格品
甲
乙
合计
表：
研发投入亿元
收益亿元
完成列联表，并根据的独立性检验，能否认为产品合格率与生产工艺有关？
用线性回归方程预估当对甲生产工艺研发投入亿元时，总收益将达到多少亿元？
附：，．
临界值表：
参考公式：，．
17.本小题分
已知函数，为偶函数．
求实数的值；
写出的单调区间不需要说明理由；
若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知甲盒中装有个白球，个黑球；乙盒中装有个白球，个黑球，这些球除颜色外完全相同．
若从两个盒子中一次性各摸出个球，用表示摸出的个球中白球的个数，求的分布列和数学期望．
若先从甲盒中一次性摸出个球放入乙盒，再从乙盒中摸出一个球．
(ⅰ)计算在乙盒中摸出的是黑球的概率；
(ⅱ)如果在乙盒中摸出的是黑球，计算甲盒中恰剩一个黑球的概率．
19.本小题分
函数的定义域为，若存在非零实数，对，都有，则称函数关于可线性分解，已知
若关于可线性分解，求，；
若，关于可线性分解．
(ⅰ)求函数的零点；
(ⅱ)对，，求的取值范围．
答案解析
1.
【解析】由已知可得．
2.
【解析】随机变量，由，得，解得，
所以．
故选：
3.
【解析】函数的 定义域为，求导得，
由，得或，即函数在上单调递增，
而在上单调递增，于是，显然真包含于，
所以“在上单调递增”是“”的充分不必要条件．
故选：
4.
【解析】因为，又因为可得，
所以．
故选：．
5.
【解析】依题意，，解得，，
，而，
所以．
故选：
6.
【解析】依题意，，因此．
故选：
7.
【解析】个不同的小球，先分成组，可分为，，，或者是，，，
共种，
将每一种分法放到个盒子中，共有种不同方法，
根据分步乘法计数原理得：种
故选：．
8.
【解析】设，则显然．
，当且仅当取得等号．
，当且仅当取得等号．
两式相乘，即，则．
此时，前面都要成立，则，，则．
的最小值为，当且仅当取得最小值．
故选：．
9.
【解析】依题意，，因此，
所以或．
故选：
10.
【解析】对于，由函数在上为单调函数，而在上为增函数，
得，解得， A正确；
对于，当时，， B错误；
对于，显然，函数是周期函数， C正确；
对于，函数的图象关于对称的图象对应解析式，
由，得，即，
由，，得，又，
因此函数的图象与函数的图象有无数个交点，
所以函数与的图象之间关于直线对称的点有无数多对， D正确．
故选：
11.
【解析】由题意知，轮子的半径为，则轮子滚动一周的水平距离为，
如图所示，设轮子滚动了后到达了点，即，可得
过点作垂直地面，过点作，
则，即，
对于中，当时，，所以不正确；
对于中，可得，所以 B正确；
对于中，当时，可得，
由余弦型函数的性质，都可在上单调递减，所以 C正确；
对于中，由，可得，
可得，所以，
令且，且，
则，且，
当时，可得的最小值为，所以 D正确．
故选：．
12.或
【解析】如图，画出正态分布的曲线图，，即，即红色区域面积为．
根据对称性，知，则
故答案为：．
13.或
【解析】由，得，解得，
所以．
故答案为：
14.
【解析】解：，
，
，，
令，
若存在使得不等式成立，
，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，
即，
，
解得：，
，
实数的最大值为，
故答案为：．
15.解：由的展开式中，二项式系数和为，得，解得，
所以展开式中各项系数的和为．
展开式的通项公式，
令，得，所以展开式中含的项为．
【解析】利用二项式系数的性质求出，再利用赋值法求出各项系数和．
求出展开式的通项公式，再求出指定项．
16.解：列联表为：
工艺 合格情况 合计
合格品 不合格品
甲
乙
合计
零假设：两种工艺生产的配件与合格率无关，
由列联表中数据得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为产品合格率与生产工艺有关，此推断犯错误的概率不大于．
显然，
，，
则，，
因此关于的线性回归方程为，
令，得，
所以预估研发投入亿元，收益将达到亿元．
【解析】完善列联表，计算的观测值，与临界值比对即得．
利用最小二乘法公式求出回归直线方程，再代入计算即可．
17.解：函数的定义域为，由为偶函数，得，
即，即，又不恒为，
所以．
函数，令，函数在上单调递增，
当时，，而函数在上单调递增，因此在上单调递增，
又函数是上的偶函数，因此在上单调递减，
所以函数的 递减区间是，递增区间是．
由知函数是上的偶函数，且在上单调递增，
不等式，
则，而，
于是，
依题意，对于任意恒成立，
当时，，当且仅当或时取等号，
，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围是．
【解析】利用偶函数的定义求出值
利用指数函数单调性，结合对勾函数单调性及偶函数的性质求解即得．
利用偶函数性质及函数单调性脱去法则“”，转化为恒成立的不等式求解．
18.解：依题意，的可能值为，
，，
，
，，
所以的分布列为：
数学期望．
设事件“从甲盒中摸出个白球”，事件“从甲盒中摸出个白球和个黑球”，
事件“从甲盒中摸出个黑球”，事件“从乙盒中摸出个黑球”，
显然，且两两互斥，，
，
则，
所以在乙盒中摸出的是黑球的概率是．
(ⅱ)在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的事件是在事件发生的条件下，事件发生，
因此，
所以在乙盒中摸出的是黑球，甲盒中恰剩一个黑球的概率为．
【解析】求出的可能值及各值对应的概率，列出分布列并求出期望．
利用古典概型及全概率公式计算即得；(ⅱ)利用条件概率公式计算得解．
关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键．
19.解：若关于可线性分解，则，即，
由，得，
若，则充分大时，将大于，
而的值域为，故等式不可能成立，所以必有．
由知，即，则
而，则，，又，则，
此时，不符合题意；
或，，又，则，
此时，满足，符合题意，
因此，
依题意，，则或
显然不成立，于是，
则，解得，，
所以函数的零点为，．
显然，
又周期为，则当时，，
当时，，
当时，
，
因此恒成立，则，
所以的取值范围为．
【解析】根据给定的定义，赋值计算，．
利用定义求得，再由结合最值确定，进而求出零点；(ⅱ)由的周期为，则按分类求出，进而求出的范围．
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