2023-2024学年湖南省邵阳市隆回县高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省邵阳市隆回县高一下学期期末质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则“为偶数”是“”是虚数单位的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
4.某校高一年级有名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，的零点分别为，，，则( )
A. B. C. D.
7.在中，为的重心，若，，则( )
A. B. C. D.
8.从，，，，，，，中选取个不同的数，其中恰有个奇数，且第分位数为，则不同的选择方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气中的温度是，那么分钟后物体的温度其中是一个常数．现有的物体，放在的空气中冷却，分钟后物体的温度是，若，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
11.在正方体中，，，分别为，，的中点，为的中点．则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. ，互为异面直线
D. 与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某地的中学生有的学生爱好篮球，有的学生爱好音乐，的学生爱好篮球或音乐，则在该地的中学生中随机调查一位学生，既爱好篮球又爱好音乐的概率为 ．
13.设，若为偶函数，则 ．
14.已知函数在区间上有最大值，无最小值，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知甲、乙两人独立地破译一份密码，甲破译成功的概率为，甲、乙都破译成功的概率为求：
乙破译密码成功的概率；
恰有人破译成功的概率；
密码破译成功的概率．
16.本小题分
在复平面内，是原点，向量对应的复数为．
求的值；
若是关于的方程的一个根，求，的值；
已知，复数对应的点为，且说明点的集合是什么图形，并求图形的面积．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，边上的中线，求边上的高．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为的中点，且．
求证：；
若四棱锥的体积为，直线与所成角为，求二面角的正切值．
19.本小题分
若对，，则称函数为上的函数．
设，，若为上的函数，求的最大值；
若为上的函数，求的取值范围；
若，且，均为上的函数，求证：也为上的函数．
答案解析
1.
【解析】解：当为偶数时，，则“为偶数”是“”是虚数单位的充分条件；
当为奇数时，，则时，为偶数，则“为偶数”是“”是虚数单位的必要条件．
综上，“为偶数”是“”是虚数单位的充要条件．
故选：
2.
【解析】解：由可得，，即，
又由可得，，即，
则．
故选：．
3.
【解析】解：，，，
当且仅当，即时，等号成立．
所以函数的最大值为，
故选：．
4.
【解析】解：，
成绩落在的频率为，则成绩位于区间的人数约为人．
故选：．
5.
【解析】解：由可得：，
则，又因为，，
所以，
则，
因为，所以，
故选：．
6.
【解析】解：由函数零点可知：，，
利用数形结合，构造三个函数它们与的交点横坐标就是对应的三个零点．
由图可知：，
故选：．
7.
【解析】解：
连接，因为是重心，所以是中点，
连接，同理是中点，又因为，所以，
设，
因为是重心，所以，
在中，由余弦定理得
．
故选：．
8.
【解析】解：因为，所以个数从小到大排列第个数为，
所以个数比小，个数比大，
当比大的数是，时，则比小的个数必须有两个奇数，，则有种取法；
当比大的数是，时，则比小的个数必须有个奇数或，则有种取法；
当比大的数是，时，则比小的个数必须有个奇数或，则有种取法；
选取个不同的数，其中恰有个奇数，且第分位数为，则不同的选择方法共有种
故选：．
9.
【解析】解：对，因为为零向量，所以不能作为基底， A错误；
对，因为，所以不共线，可以作为基底， B正确；
对，因为，所以共线，不能作为基底， C错误；
对，因为，所以不共线，可以作为基底， D正确；
故选：．
10.
【解析】解：根据题意：，
解得，故选项 A正确，选项B错误．
若，则，则成立，故选项 C正确．
若，则
又，则，故选项D正确．
故选：．
11.
【解析】解：
对于，如图，因，平面，而平面，故平面，即 A正确；
对于，如图，在正方形中，因，分别为，的中点，易得，
则，因，故，即，
又平面，平面，故，
又平面，故平面，即 B正确；
对于，
如图，连接，因，分别为，的中点，则，
故得，又为的中点，故也是的中点，即与交于点，故 C错误；
对于，
如图，由项已得平面，设，则即在平面上的投影，
故即与平面所成的角，设正方体棱长为，则，
易得故，即 D错误．
故选：．
12.或
【解析】解：设学生爱好篮球为事件，学生爱好音乐为事件，则学生爱好篮球或音乐为事件，既爱好篮球又爱好音乐为事件，
，
又因为，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】解：因为偶函数，则．
注意到，与
相比较，得．
故答案为：
14.
【解析】解：因，设，当时，
作出在上的图象如图．
要使区间上有最大值，无最小值，需使，
解得，，即的取值范围为．
故答案为：．
15.解：记甲、乙成功破译密码分别记作事件，，
则，解得．
记恰有人破译成功为事件，
则．
记密码破译成功为事件，
则．
【解析】利用相互独立事件的概率乘法公式即可；
利用相互独立事件的概率乘法公式即可；
利用对立事件求解思路更简洁．
16.解：因为，所以．
由已知得，也是方程的一个根，
由韦达定理得，，，即，．
记所对应的点为，，
，即点的集合为的外接圆．
，，
，即．
于是的外接圆半径．
故所求图形的面积为．
【解析】利用复数的四则运算化简复数，再求其模长即得；
由实系数一元二次方程的解的特点易得另一个根，由韦达定理即得；
利用复数与平面向量的一一对应关系，结合图形得到点的集合为的外接圆，判断三角形形状，易得其外接圆半径．
17.解：由已知得．
又，
故．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，两边同时平方得，
即，解得负值舍去，
由余弦定理得，所以．
因为的面积，
所以．
【解析】应用两角和差的正弦余弦公式计算即可；
先应用向量的数量积的运算律求出，再结合余弦定理及面积公式计算即可．
18.解：取的中点，因为四边形是正方形，．
，，，平面，平面．
又平面，，
又因为是的中点，所以可得，即．
作于点，
平面，平面，．
又，平面，平面．
由，得．
因为，所以所成角为，
故，解得．
因为，，所以为二面角的平面角．
．
即所求二面角的正切值为．
【解析】利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直，利用等腰三角形的三线合一证明即可；
利用垂直关系，易得线面角和二面角的平面角，即可计算求解．
19.解：令
，
由题意知，当时，因恒成立．故只需让小于或等于，即大于且让余弦函数可取到的最小自变量．
即，解得故的最大值为；
由题，
对恒成立．
即对恒成立．
令，则对恒成立．
当时，注意到，所以，矛盾，舍去；
当时，则对恒成立．
所以方程的判别式，解得．
综上可知，的取值范围为；
对，
．
因为，均为函数，则，
又，则．
所以，
即，所以也为上的函数．
【解析】问题等价于当时，恒成立，后结合余弦函数性质可得答案；
问题等价于对恒成立，后讨论的正负性，结合判别式可得答案；
因，后结合题意及上的函数定义可证明结论．
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