2023-2024学年河南省信阳市高一下学期7月期末数学试题（含答案）

2023-2024学年河南省信阳市高一下学期7月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，是不同的平面，，是不同的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
4.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知函数的部分图像如图所示，若将函数的图像向右平移个单位后所得曲线关于轴对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
8.已知边长为的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个平面截正方体所得的截面图形可以是( )
A. 等边三角形 B. 正方形 C. 梯形 D. 正五边形
10.若，，则下列结论正确的 是( )
A. B. C. D.
11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有( )
A.
B. 的取值范围是
C. 当时的外接圆半径为
D. 若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围是 ．
13.已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个
14.已知正方体的棱长均为以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求与的夹角；
若在方向上的投影向量为，求的值．
16.本小题分
在中，内角的对边分别为的面积为，已知，且．
求；
求的取值范围．
17.本小题分
为迎接冬季长跑比赛，重庆八中对全体高二学生举行了一次关于冬季长跑相关知识的测试，统计人员从高二学生中随机抽取名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图．
估计这名学生的平均成绩；
若在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，据此估计在内的所有学生测试成绩的平均数和方差．
18.本小题分
已知函数，求：
的最小正周期及最大值；
若且，求的值；
若，在有两个不等的实数根，求的取值范围．
19.本小题分
在直角梯形中，，如图，把沿翻折，使得平面，连接，，分别是和中点如图．
证明：平面平面；
记二面角的平面角为，当平面平面时，求的值；
若、分别为线段与上一点，使得如图，令与和所成的角分别为和，求的取值范围．
参考答案
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15.解：
，
，即，
，，
．
，
．
16.解：
因为，所以，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以，所以，因为，所以．
在中，由正弦定理，得，
所以
因为，所以，所以
所以，即的取值范围为．
17.解：
由图表可知，这名学生的平均成绩为分
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，
区间的学生频率为，
在区间内的学生测试成绩的平均数和方差为和，
区间的学生频率为，
所以在内的所有学生测试成绩的平均数为，
方差为
18.解：
，
的最小正周期为，最大值为．
因为，所以，
因为，所以 ，
所以，解得．
当时，，令，则．
由可得，即，即，
所以，直线与曲线在上的图象有两个交点，如下图所示：
由上图可知，当时，即当时，
直线与曲线在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是．
19.解：因为，且点是的中点，
所以，
因为是等腰直角三角形，所以，，又，
则，
则，得，
因为点分别是的中点，所以，即，
，且平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面．
取的中点，连结，
因为平面平面，且平面平面，
因为，所以平面，
又平面，平面，所以，
因为，则，，
所以，
，且平面，
所以面，且面，
所以，
所以为二面角的平面角，
；
在线段取点，使得，
从而易得且，，，
另一方面，，，从而，
所以，，，平面，
所以平面，平面，
所以，
因为，，
所以，
从而，
则．
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