2023-2024学年河南省鹤壁市高中高一下学期7月期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省鹤壁市高中高一下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.设，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是函数的零点，则( )
A. B. C. D.
4.有甲、乙两个袋子，甲袋子中有个白球，个黑球；乙袋子中有个白球，个黑球．现从甲袋子中任取个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的 概率为( )
A. B. C. D.
5.如图所示；测量队员在山脚测得山顶的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡向上走到达处，在处测得山顶的仰角为若，，，参考数据：，，，，，，则山的高度约为( )
A. B. C. D.
6.在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知复数满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列结论正确的是( )
A. 当时，在上是增函数
B. 不等式的解集是
C. 的图象过定点
D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点
10.如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，下列结论正确的是( )
A. B. 三棱锥的体积为定值
C. D. 与所成的角为
11.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 函数的图象关于点对称
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 函数在区间上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数相邻的两个零点分别为，则 ．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，为锐角，，的面积为，则的周长的最小值为 ．
14.已知四棱锥的侧棱长都相等，且底面是边长为的正方形，它的五个顶点都在直径为的球面上，则四棱锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
对于函数，若存在，使得成立，则称为函数的“囧点”．
当，，时，求函数的“囧点”；
当时，对任意实数，函数恒有“囧点”，求的取值范围．
16.本小题分
某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表单位：件．
质是 指标值
产品
估计这组样本的质量指标值的平均数和方差同一组中的数据用该组区间中点值作代表；
设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
17.本小题分
如图所示，的 顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设．

用表示；
若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中分别在棱上
求证：平面平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．
求函数的解析式；
若，解不等式；
若，且关于的方程有三个不等的实根，求实数的取值范围．
答案解析
1.
【解析】对于，，
因为，所以，
所以，
所以，故 A错误；
对于，因为，所以，
所以，故 B正确；
对于，当时，，故 C错误；
对于，当时，，故 D错误．
故选：．
2.
【解析】解：，
，即，
，
所以．
故选：
3.
【解析】均为单调增函数，故为单调增函数；
对：因为，故，故 A错误；
对：因为，故，两边取对数可得，故 B正确；
对：，故，则，则，故 C错误；
对：因为，，故，则，，故 D错误．
故选：．
4.
【解析】解：若从甲袋子取出个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为；
若从甲袋子取出个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为；
若从甲袋子取出个白球和个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为．
从甲袋子中任取个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为．
故选：．
5.
【解析】在中，则，
因为，则，
在中，则．
故选：．
6.
【解析】由题意，而，
所以，由余弦定理得，
故，
又由正弦定理得，
整理得，
故或舍去，得，
因为是锐角三角形，
故
解得，故，
．
故选：．
7.
【解析】解：因为即为向量与的夹角，
设，，
则，
因为，，
所以，
，
，，
所以，
故．
故选：．
8.
【解析】复数满足，
则复数对应的点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆，
则椭圆短半轴长为，椭圆方程为，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时，取值大值；
当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值；
故的取值范围为，
故选：
9.
【解析】对：当时，在上是增函数，故 A正确；
对：当时，，则，当时，，故 B错误；
对：，故 C正确；
对：当时，，令，
有，，
，
故在及上都至少有一根，
即的图象与的图象在及上都至少有一个交点，
故D错误．
故选：．
10.
【解析】解：对于，取中点，连接、，因为四边形为正方形，
所以，又因为平面，平面，，
，、平面，平面，而平面，
所以，因为为中点，
所以，故A正确；
对于，三棱锥即为三棱锥，因为的面积为定值，
点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于，因为，，、平面，
所以，故C正确；
对于，将平移到，易知与所成的角为，所以D错误．
11.
【解析】解：函数，
对于选项A，， A正确；
对于选项B和，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称， B正确，C错误；
对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，不正确．
故选：．
12.
【解析】
，
令得，
故，或，
解得或，
又，其中，
故，
或，
综上，．
故答案为：
13.
【解析】解：由 ，得， ，，故或，
若，则，，不合题意，
所以，，，的周长为，
因为当且仅当时取等号，
所以的周长的最小值为．
故答案为．
14.或
【解析】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：，
棱锥的底面积为：，据此分类讨论：
当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：；
当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：，棱锥的体积：；
综上可得：四棱锥的体积为或．
故答案为：或
15.解：当，，时，，
由题意知：，，
解得，，
所以当，，时，函数的“囧点”，．
由题知：，所以，
由于函数恒有“囧点”，
所以，即，
又因为是任意实数，所以，
解得，又故．
【解析】利用“囧点”定义布列方程，即可得到结果；
函数恒有“囧点”，等价于函数恒有“囧点”，结合判别式即可得到结果．
16.解：由检测数据的统计图表，可得：
平均数，
方差为
由知，，因为，，所以，
又因为精确到个位数，所以，
则，
该抽样数据落在内的概率约为，
又由，，
所以该抽样数据落在内的概率约为，
所以，可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
【解析】利用表格中的数据，根据平均数和方差的公式，准确计算，即可求解；
根据题设中的公式，分别求得区间和，并判断数据落在该区间的概率，结合给定的概率比较，得出结论．
17.解：由岛屿到补给站的距离为岛屿到的，可得，
点为中点，且，
又由，所以，

解：由，可得，
即，
可得，即，
设，由正弦定理知
而
，
所以，
因为，所以，得，
所以当，即时，取得最小值，即的最小值为，
所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里．
【解析】本题考查向量的运算，利用正弦定理、三角形面积公式解决距离问题，属于中档题．
根据题意，得到，且，结合向量的运算法则，即可求解；
由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案．
18.解：由题意得平面平面，
又平面平面，
平面平面，所以，
同理，
因为且，
所以四边形为平行四边形，则，
所以，
又平面，且平面，
所以平面，
又为中点，所以为中点，
同理为中点，连接，，
因为，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，且平面，所以平面，
又，，平面，
所以平面平面；
由可知：，
所以为异面直线与所成角或其补角，
连接，因为正方体棱长为且为中点，
则，，
又在正方体中，面，面，则，
则，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为．

【解析】由面面平行的性质得到线线平行，进而得到，进而得到，平面，同理得到平面，证明出面面平行；
由可得为异面直线与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理求出异面直线的夹角余弦值．
19.解：由可得，
因此其最大值为，由与直线的交点中相邻交点的距离为，
可得，故，
所以解析式为
由不等式可得，，
解得，
所以；
因为，
所以或，
故的范围为或；
关于的方程有三个不等的实根，
即有三个不等的 实根，
也即或有三个不等实根，
画出函数在上的图象如下：
结合函数图象可知，有一个根，
故有两个不等实数根，
所以，
故的范围为．
【解析】结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式可求，即可求解函数解析式；
结合正弦函数的性质即可求解不等式；
由已知方程可得或，然后结合正弦函数的性质即可求解．
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