1.1.1 空间向量及其运算 同步练习（含解析）——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练

1.1.1 空间向量及其运算
——高二数学人教B版(2019)选择性必修第一册课时优化训练
1.如图，在平行六面体中，( )
A. B. C. D.
2.已知空间中非零向量a，b，且，，，则的值为( )
A. B.97 C. D.61
3.在四面体OABC中，E为OA中点，，若，，，则( )
A. B.
C. D.
4.如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则( )
A. B.
C. D.
5.在平行六面体中，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且两两夹角都是，则向量和b的夹角为( )
A. B. C. D.
8.已知正四面体的棱长为1，且，则( )
A. B. C. D.
9.（多选）已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
10.（多选）如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，四面体ABCD的所有棱长都为2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则__________，_________.
12.在空间四边形中，若是正三角形，且E为其中心，则___________.
13.如图，边长为1的正方形ABCD所在的平面与正方形ABEF所在的平面互相垂直，则___________.
14.如图，已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影的数量的取值范围为__________.
15.如图，正四面体的高VD的中点为O，VC的中点为M.
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直.
(2)求.
答案以及解析
1.答案：C
解析：.故选C.
2.答案：C
解析：
，.
3.答案：D
解析：
.故选D.
4.答案：D
解析：由题意知，，，，，，所以.
5.答案：A
解析：如图，，所以，解得.
6.答案：A
解析：如图，因为G为CD的中点，所以，
所以.
7.答案：C
解析：，，，.设向量和b的夹角为，则，又，.
8.答案：C
解析：因为，所以.
根据向量的减法法则，得，
所以.
.
9.答案：ABD
解析：方法一：，，，A，B正确.，结果不一定为0，C错误.，同理，D正确.
方法二：如图，将四面体ABCD补成长方体，AE为此长方体的体对角线，易知正确.，在长方体中，不一定有，故C错误.
由图可知，，，，故D正确.
10.答案：BD
解析：，A错误；
，，，
，，B正确；
由题意知，，
则，C错误，D正确.故选BD.
11.答案：2；
解析：因为，所以.取BD的中点M，则，所以.
12.答案：0
解析：如图，连接，，取的中点F，连接.
是正三角形，且E为其中心，
，
.
13.答案：
解析：方法一：因为，，，所以.
方法二：连接CF，则，所以，又，，所以.
方法三：可将题图补形为如图所示的正方体，连接CG，则，所以，所以.
14.答案：
解析：设.，，向量在向量方向上的投影的数量为，又，，向量在向量方向上的投影的数量的取值范围为.
15.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：设，，，正四面体的棱长为1.
(1)，
，
，
，
所以，
所以，即.
同理，，，所以AO，BO，CO两两垂直.
(2)，
所以，
，
，
所以.
又，所以.