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1.2一定是直角三角形吗？分层练习
一、单选题
1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列各组数据中不能构成直角三角形的是（ ）
A． B．6、8、10
C．、、 D．、、1
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A．，，
，
∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．，，
，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵，，
∴，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵，，
∴，
∴以，，1为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在中，应用勾股定理，求出，根据作图即可求出的长度，即可求解，本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是：应用勾股定理，求出的长度．
【详解】解：点，在数轴上所表示的数分别为0，3，
，
在中，，
由作图可知，，
的值为，
故选：．
3．（2024·山西太原·模拟预测）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，，
∴，，
∴，
∴，即小正方形边长为，
故选：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键．
4．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，计算即可求解．
【详解】解：由题意得：，
故选：D.
5．（23-24八年级下·云南楚雄·期中）如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则（ ）
A．4 B．12 C．16 D．64
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理及正方形面积公式的运用，解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．由题意可知，，再根据勾股定理可求出．
【详解】解：∵，，
∴，．
在中，，
∴．
故选C．
二、填空题
6．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度．
【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：，
则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：；
故答案为：．
7．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，则两孔中心和的距离为 ．
【答案】130
【分析】首先根据题意算出和的长，再利用勾股定理计算出的长即可．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，，
在中：，
答：两孔中心A、B之间的距离为．
故答案为：130．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理求出即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，，，
∴，
∴点P表示的数为，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 .
【答案】
【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，由题意可知：，，，
∵，
即，
，
∴，
解得．
故答案为：．
10．如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为 .
【答案】49
【分析】根据勾股定理计算即可
【详解】解：最大的正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为，
∴正方形A、B、C、D的面积之和为，
故答案为49．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
一、填空题
1．（2023·贵州·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
先根据勾股定理和正方形的性质可得，再根据勾股弦图可得，再结合的面积为6可得，再运用完全平方公式可得，最后再求周长即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，
，
正方形的面积是25，
，
的面积为6，即，
，
， 即，
阴影部分的周长为．
故答案为：28．
2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查勾股定理，由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，再利用勾股定理求解．
【详解】解：由图可知四边形是正方形，
里面的小四边形也为正方形且边长为，
那么对角线，
，，
所以，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积．
【详解】如图，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
同理可得，
∴，
故答案为：4．
二、解答题
4．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则 ，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长．
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)3
【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证；
（2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到；
（3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，
；；；
，即；
（2）解：在中，，，
∴由勾股定理可得，
是边上的高，
由等面积法可得，
，，
∴；
（3）解：由已知可得：，即，
，
小正方形的边长为．
【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键．
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
【答案】操作1：小正方形布料的面积为，详见解析；操作2：图④中的大正方形靠垫面子的面积为平方分米，详见解析
【分析】本题主要考查了代数式的应用，勾股定理，完全平方公式应用等知识点，
操作1：根据图形和数据求出大正方形的面积和四个直角三角形的面积，再作差即可；
操作2：根据长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米列出方程组，求出的值，再根据图④求正方形的面积；
关键是掌握矩形的面积、正方形的面积和直角三角形的面积公式．
【详解】操作1：∵图②大正方形的边长为，
∴图②大正方形的面积为，
∴图②中间小正方形的面积为；
操作2：根据题意得：
，
得：，
解得（负值已舍去），
∴③，
把③代入①得：，
解得或，
当时，；当时，，
∵，
∴，，
∴图④大正方形面积为（平方分米）．中小学教育资源及组卷应用平台
1.2一定是直角三角形吗？分层练习
一、单选题
1．（23-24八年级上·广东梅州·期中）下列各组数据中不能构成直角三角形的是（ ）
A． B．6、8、10
C．、、 D．、、1
2．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，点，在数轴上所表示的数分别为0，3，于点，，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，若点所表示的数为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西太原·模拟预测）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线垂直OA，在上取点B，使，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C．其中点C表示的实数是（ ）
A． B．4 C． D．
5．（23-24八年级下·云南楚雄·期中）如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则（ ）
A．4 B．12 C．16 D．64
二、填空题
6．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，一支铅管放在圆柱笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若铅笔长为，则这只铅笔露在笔筒外面的长度的最小值是 ．
7．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）在图中所示的长方形零件示意图中，根据所给的部分尺寸，则两孔中心和的距离为 ．
8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为 ．
9．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是 .
10．如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为 .
一、填空题
1．（2023·贵州·模拟预测）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ．
2．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ．
3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ．
二、解答题
4．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
5．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
(1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理．
(2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度；
(3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长．
1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
