湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高二下学期六月月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年度第二学期武汉市育才高中六月月考
高二数学试卷
注意事项：
考试时间：2024年6月11日 试卷满分：150分
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）掷一个均匀的骰子．记A为“掷得点数小于5”，B为“掷得点数为奇数”，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题5分）的近似值（精确到0.01）为（ ）
A．1.12 B．1.13 C．l.14 D．1.20
3．（本题5分）已知函数的导函数的图像如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在上严格增 B．函数在上严格减
C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点
4．（本题5分）以下有关直线拟合效果的说法错误的是（ ）
A．通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本点的中心
B．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱
C．最小二乘法求回归直线方程，是求使最小的a，b的值
D．决定系数R2越接近1，表明直线拟合效果越好
5．（本题5分）已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
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A．24 B．18 C．12 D．6
6．（本题5分）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
7．（本题5分）从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝( )
A．2 B．1 C．3 D．4
8．（本题5分）一种动物的后代数（单位：只）在一定范围内与温度（单位：℃）有关，测得一组数据（）可用模型拟合.利用变换得到的线性回归方程为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）某城市街道如图，某人要走最短路程从A地前往B地，则不同走法有（　　）

A．种 B．种 C．12种 D．32种
10．（本题6分）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（本题6分）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导
函数为，若在区间上恒成立，则称在区间上为凸函数．则下列函数中，为区间上的凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为 .
13．（本题5分）如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，，，，，，，记这个数列前项和为，则 ．

14．（本题5分）现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数 .
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）函数的图像在点处的切线与y轴垂直，且．
(1)求a与b的值，并求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为20，求c的值．
(3)若函数的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
16．（本题15分）为了迎接4月23日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下
成绩（分）
频数 6 12 18 34 16 8 6
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列及均值．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则
，．
17．（本题15分）某兴趣小组有9名学生.若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是.
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生前后顺序保持不变）重
新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
18．（本题17分）等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图.

材料 材料 合计
试验成功
试验失败
合计
单位：次
(1)根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关；
(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不
合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001）
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（本题17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：
(1)请直接写出与的数值．
(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．
参考答案：
1．D
【分析】根据已知列出事件A和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可.
【详解】掷一个均匀的骰子，有共种结果，
事件A包含点数为，共种结果，所以；
事件包含点数为共种结果，所以，
所以．
故选：D
2．B
【解析】展开后按近似要求求解．
【详解】.
故选：B．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，用二项式定理进行近似计算，掌握二项式定理是解题关键．
3．A
【分析】由导数符号与函数单调性、极值的关系逐一判断即可求解.
【详解】对于A，当时，，当时，，
所以函数在上先减后增，故A错误；
对于B，当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；
对于C，因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，
所以函数在处取得极大值，故C正确；
对于D，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数在处取得极小值，
因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，
所以函数在处取得极小值，
则函数共有两个极小值点，故D正确.
故选：A.
4．B
【分析】根据线性回归直线的定义，相关指数，相关系数的定义判断．
【详解】线性回归直线一定经过样本的中心，A正确；
相关系数r的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，越接近于1，相关性越强，B错；
最小二乘法求回归直线方程，就是求使最小的a，b的值，C正确；
越接近1，表明回归的效果越好，越接近于0，效果越差，D正确．
故选：B．
5．A
【分析】首先根据题意求得，然后结合二项式定理即可求解.
【详解】已知的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则只能，
从而的展开式为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为.
故选：A.
6．D
【分析】根据简单复合函数求导法则判断A，根据导数的定义判断B，根据基本初等函数的导数公式判断C，求出函数的导函数，再令即可判断D.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：因为，则，
令可得，解得，故D正确.
故选：D
7．C
【分析】根据古典概型概率计算方法，求出ξ的分布列，并求出，则.
【详解】的可能取值为.
，，.
∴的分布列为：
ξ 0 1 2
P
于是，
故.
故选：C.
8．B
【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数
【详解】经过变换得到.由题意，，，
所以回归方程的图象经过，从而，所以，.
故选：B
9．AB
【分析】根据题意可知从A地到B地的最短路程必须走5步，且不能重复，只要确定出向东的三步或向南的两步走法即可得出结果.
【详解】因为从A地到B地路程最短，我们可以在地面画出模型，实地实验探究一下走法
可得出：
①要走的路程最短必须走5步，且不能重复；
②向东的走法定出后，向南的走法随之确定，
所以我们只要确定出向东的三步或向南的两步走法有多少种即可，
故不同走法的种数有种．
故选：AB
10．ACD
【分析】对于A，利用独立事件的乘法公式求解即得；对于B，根据缩小样本空间的方法易得；对于C，利用全概率公式计算即得；对于D，运用贝叶斯概率公式求解即得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因事件可理解为，在确定产品是丙机床生产的条件下得到该产品为次品，
故有，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
11．BD
【分析】根据定义，分别对函数求二阶导数，并判断在区间的正负.
【详解】对于A选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数.
对于B选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数.
对于C选项，，，，显然在区间恒有，所以不为凸函数.
对于D选项， ，，，显然在区间恒有，所以为凸函数.
故选: BD..
12．
【分析】构造函数，对进行求导，结合可得为上的减函数，由，则，所以，根据的单调性即可得到答案
【详解】构造，
所以，
因为对任意实数都有，
所以，即为上的减函数，
因为，则，且，
所以由得，即，
因为为上的减函数，
所以，所以不等式的解集为，
故答案为：
13．
【分析】根据杨辉三角的性质，结合组合数的计算性质，可得答案.
【详解】由“杨辉三角”性质，得：
.
故答案为：．
14．
【分析】根据题干中相关系数的定义进行计算.
【详解】由题干数据，，可得，
根据夹角公式的定义，，而，
根据
，
于是.
故答案为：
15．(1)的单调递增区间为单调递减区间为
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义建立方程，求解参数，再求解单调性即可.
（2）利用单调性讨论极值，再求出端点值，建立方程求解参数即可.
（3）将问题转化为三次函数的最值问题，建立不等式组求解参数范围即可.
【详解】（1）由可得
因为函数的图像在点处的切线与y轴垂直，
故，结合
所以，解得，
所以
令，解得令，解得或
所以的单调递增区间为单调递减区间为
（2）由上问知, 在上单调递减, 在上单调递增,
所以当时, 取得极小值，
而
则在区间上的最大值为解得
故c的值为.
（3）由（1）知当时,取得极小值
当时,取得极大值
若函数的图象与x轴有三个交点，
解得，故c的范围是.
16．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；
（ⅱ）运用二项分布的性质进行求解即可.
【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件A，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为；
（2）（ⅰ）因为，所以，
故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为；
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，所以随机变量服从二项分布，所以
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
.
17．（1）男生有6人，女生有3人.（2）（3）
【分析】（1）设男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人数；（2）方法一：按坐座位的方法分步处理，先安排男生，再安排女生，方法二：对9人全排，然后对3名女生除序；（3）先对6名男生分成3组，再对3名女生全排后，将3组男生插空，每组男生全排，得到答案.
【详解】解：（1）设男生有人，则，
即，解之得，
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法，
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有种重新站队方法.
方法二：除序法
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有种站队方法，
所以重新站队方法有
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种
故一共有：种站队方法.
【点睛】本题考查排列组合中的分类讨论，插空法、除序法等，属于中档题.
18．(1)列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关
(2)石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标.
【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断；
（2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解.
【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下：
材料 材料 合计
试验成功 45 30 75
试验失败 5 20 25
合计 50 50 100
计算可得，
依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关.
（2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元，
易知的可能取值为，，，，，
，，
，，
则的分布列为
0 0.2 0.4 0.6 0.8
修复费用的期望，
所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.
19．(1)，
(2)证明见解析；
(3)时，，当时，，统计含义见解析
【分析】（1）明确和的含义，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理为，即可证明结论；
（3）由（2）结论可得，即可求得，时，的数值，结合概率的变化趋势，即可得统计含义.
【详解】（1）当时，赌徒已经输光了，因此.
当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.
（2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元且下一场赢的事件,
,
即，
所以，
所以是一个等差数列，
设，则，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
当时，，
当时，，
当时，，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．
【点睛】关键点睛：此题很新颖，题目的背景设置的虽然较为陌生复杂，但解答并不困难，该题将概率和数列知识综合到了一起，解答的关键是要弄明白题目的含义，即审清楚题意，明确，即可求解,