衡齐高中2023-2024学年高一下学期7月（期末）考试——数学试题
答题时间：120分钟 全卷分值：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（共40分，8道题，每题5分）
1．已知集合或，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
2．已知为虚数单位，且复数满足，则复数的虚部为
A． B． C． D．1
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：
甲 9 8 16 15 15 14
乙 7 8 13 15 17 22
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知抛物线的焦点为，双曲线的左焦点为，直线与在第二象限的部分交于点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）.
A． B． C． D．
6．已知实数满足，则（ ）
A．27 B．32 C．64 D．81
7．在四棱锥中，底面是直角梯形，，.若，且三棱锥的外接球的表面积为，则当四棱锥的体积最大时，长为（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知函数 ，若 有三个不等零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共18分，3道题，每题6分）
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．的值域为 D．的图象关于直线对称
10．已知抛物线：与抛物线：在第一象限交于点，过点的直线分别与，交于，两点，且为线段的中点，为坐标原点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．当时，
B．若不等式至少有3个正整数解，则
C．过点作函数图象的切线有且只有一条
D．设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是
第II卷（非选择题）
三、填空题（共15分，3道题，每题5分）
12．设幂函数，数列满足：，且（），则数列的通项 ．
13．若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围是 .
14．设为的一个排列，则满足对任意正整数，且，都有成立的不同排列的个数为 ．
四、解答题（共77分，15题13分、16题15分、17题15分、18题17分、19题17分）
15．设函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
16．设函数
（1）当时，求函数的极值.
（2）若函数在区间上有唯一的零点，求实数的取值范围.
17．如图所示，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，，是的中点，侧面底面.
（1）求证：；
（2）过侧面的对角线的平面交侧棱于点，若，求证：截面侧面；
（3）若截面平面，成立吗？请说明理由.
18．2022年4月23日是第27个“世界读书日”，某校组织“读书使青春展翅，知识让生命飞翔”主题知识竞赛，规定参赛同学每答对一题得2分，答错得1分，不限制答题次数.已知小明能正确回答每题的概率都为，且每次回答问题是相互独立的，记小明得分的概率为，.
(1)求，的值；
(2)求.
19．设A，B为椭圆C：的短轴端点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，D在直线上．
(1)求直线，的斜率的乘积；
(2)证明：；
(3)过右焦点F作x轴的垂线，E为上异于F的任意一点，直线交C于M，N两点，记直线，，的斜率分别为，，，是否存在，，的某个排列，使得这三个数成等差数列？若
存在，加以证明；若不存在，请说明理由．参考答案：
1．B 2．B 3．B 4．B 5．B
6．D 7．D 8．C 9．ACD 10．AD
11．ACD
12．
13．
14．
15．（1），单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.
16．（1）极小值为，无极大值；（2）
17．略
18．(1)，
(2)
19．(1)
(2)略
(3)存在
