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第一章 勾股定理 单元测试
（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）下列各组数据中是勾股数的是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（23-24七年级下·山东济南·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
4．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（ ）
A．3米 B．4米 C．米 D．米
5．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，，是中线，，，那么斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A．200 B．175 C．150 D．125
8．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
9．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ．
12．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ．
13．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则
14．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ．
15．（23-24八年级下·福建厦门·期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺．
16．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m．
17．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为 海里．
18．（23-24八年级下·广东惠州·期末）每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（6分）（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求．
20．（6分）（23-24八年级下·河南·阶段练习）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
21．（6分）（23-24八年级下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离．
22．（6分）（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）．
23．（8分）（23-24八年级下·吉林·期末）如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的北偏西30度方向，且与货轮M相距．同时，在它的北偏东60度方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A距客轮B的距离．
24．（10分）（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．
25．（10分）（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，．
(1)通过计算说明公路是否与垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用．
26．（14分）（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形的面积可表示为：______，
也可以表示为：______，
，
，
______
即；
(2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 勾股定理 单元测试
（时间：120分，满分：120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）下列各组数据中是勾股数的是( )
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查勾股数，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数．据此进行解题即可．
【详解】解：A、由题可知，三个数都不是正整数，故不符合题意；
B、由题可知，数不是正整数，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故选：D．
2．（23-24七年级下·山东济南·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断．
【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，
，
以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理，
B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理可得，故B选项可以证明勾股定理，
C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，故C选项可以证明勾股定理，
D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，
，
整理得，故D选项可以证明勾股定理，
故选：A．
3．（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，学校有一块直角三角形菜地，，．为方便劳作，准备在菜地中间修建一条小路．测量发现，，，，则的长为（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理；由得，设，则可得，利用勾股定理建立方程求得x的值，即可得结果．
【详解】解：，
；
设，则，
，
在中，由勾股定理有：，
即，
解得；
即．
故选：B．
4．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动，小亮想利用所学的勾股定理知识测算公园里一架秋千立柱的高度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度为0.4米，将踏板往前推送，使秋千绳索到达的位置，测得推送的水平距离为3米，此时秋千踏板离地面的垂直高度为1.4米，则立柱的高度为（ ）
A．3米 B．4米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理，求出绳索的长是解题关键．设绳索的长度为，则，，进而得出，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到立柱的高度．
【详解】解：设绳索的长度为，
则，，
∴，
由题意得：，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
即立柱的高度为，
故选：D．
5．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，，，是中线，，，那么斜边的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理、三角形中线的定义，根据勾股定理可得，再根据三角形中线的定义可得，即，再利用勾股定理可得，即可求解．
【详解】解：在中，，
在中，，
∴，
∵，是中线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了对勾股定理的理解能力，全等三角形的判定与性质，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到的面积的面积的面积．
【详解】解：如图，
，，
，
在和中，
，
，
，
根据勾股定理得，得．
的面积的面积的面积．
故选：C．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A．200 B．175 C．150 D．125
【答案】B
【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
图1中所有正方形面积和为：，
图2中所有正方形面积和，，
图3中所有正方形面积和，
∴第n个图形中所有正方形的面积和为，
∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确．
故选：B．
8．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为1.5米，梯子顶端到地面距离为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离为2.4米，则小巷的宽度为（ ）
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．在中，利用勾股定理计算出长，再在中利用勾股定理计算出长，然后可得的长．
【详解】解：在中，
（米），
在中，，
（米），
∴（米），
故选：A．
9．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可．
【详解】根据题意，如图所示，
可知，，，，
在中，，
，
解得：，
故两船相距海里
故选：A
10．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，一长方体状包装盒的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着包装盒的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
【详解】解：①把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
蚂蚁爬行的最短距离是．
故选A．
二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ．
【答案】或
【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得：，
如图，当在线段上时，
∴，
在中由勾股定理得：，
如图，当在线段延长线上时，
∴，
在中由勾股定理得：，
综上可知： 的长为或．
12．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；
先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出．
【详解】解：∵，，，
∴，
由折叠得：，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：3．
13．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则
【答案】34
【分析】根据“垂美”四边形的定义得到，根据勾股定理计算，得到答案．本题考查的是勾股定理、“垂美”四边形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
【详解】解：四边形为“垂美”四边形，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
，
故答案为：34．
14．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是52，每个直角三角形的长直角边与短直角边的比是，则小正方形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，根据勾股定理得到，解方程求出x的值，然后计算小正方形的面积即可．
【详解】解：设直角三角形的长直角边与短直角边的长为，，
则，
解得：或（舍去）
∴小正方形的面积为，
故答案为：．
15．（23-24八年级下·福建厦门·期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺．
【答案】12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深．
【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
∵尺，芦苇生长在它的正中央，
∴尺，
在中，，
解得：，
即水深12尺，
故答案为：12．
16．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在坡比（指坡面的垂直高度与水平宽度的比值）为的山坡种树，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m，那么相邻两棵树间的在坡面上的间距为 m．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，根据坡比等于铅直高与水平距离的比值，求出铅直高，进而利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，由题意，，，，
∴，
∴；
故答案为：．
17．（23-24八年级下·广西来宾·期末）如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方向以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为 海里．
【答案】20
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，证明为直角三角是解题的关键．
由题意得是直角三角形，求得与的长，然后根据勾股定理即可求得的长即可．
【详解】解：由题意知，，（海里），（海里），
∴是直角三角形，
在中，由勾股定理得：（海里）
答：M岛与N岛之间的距离为20海里．
故答案为：．
18．（23-24八年级下·广东惠州·期末）每年的秋分日是中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理得应用最短路线问题，把圆柱侧边展开，可得装饰带的最短长度等于，利用勾股定理求出即可求解，找到装饰带长度的最短路线是解题的关键．
【详解】解：圆柱侧面展开如图所示，则，
由题意可得，，
∴，
∴装饰带的最短长度，
故答案为：．
三．详解题（共8小题，总分66分）
19．（6分）19．（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求．
【答案】61．
【分析】本题考查了新定义以及勾股定理的应用，根据“垂美”四边形的定义得，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，
∴，
则
∵
∴．
20．（6分）（23-24八年级下·河南·阶段练习）我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度．
【答案】14.5尺
【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：由题意得：，，
设尺，
尺，尺，
（尺），尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
解得：，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
21．（6分）（23-24八年级下·山西大同·期末）消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上．
，，
．
在中，由勾股定理，得．
在中，由勾股定理，得
．
答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为．
22．（6分）（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（米）靠在宣传海报（）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（米）．测量得米．求宣传海报（）的高度（结果保留根号）．
【答案】米
【分析】先根据勾股定理算出的长度，即可得的长度，再根据勾股定理得出的长度，即可得．
【详解】解：由题意可得：米，米，米
在中，（米）
则（米）
在中，（米）
故米．
答：宣传海报（）的高度为米．
23．（8分）（23-24八年级下·吉林·期末）如图，货轮M在航行过程中，发现灯塔A在它的北偏西30度方向，且与货轮M相距．同时，在它的北偏东60度方向又发现客轮B，且与货轮M相距，求此时灯塔A距客轮B的距离．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
由已知可得，，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
答：此时灯塔A距客轮B的距离为13nmile．
24．（10分）（23-24七年级下·全国·假期作业）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，且巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图（1）或图（2）摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．
下面是小聪利用图（1）证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按如图（1）所示摆放，其中．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
【详解】证明：如图（1），连接，过点作边上的高，则．
，
，
，
．
25．（10分）（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，．
(1)通过计算说明公路是否与垂直；
(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用．
【答案】(1)公路与垂直，计算见解析
(2)818万元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理及面积法求得，于是得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴，即，
是直角三角形，且，
公路与垂直．
（2）解：由（1）知，
．
在中，，，
，
，
，即，
解得，
（万元）．
答：修建互通大道的总费用是818万元．
26．（14分）（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）【探索新知】著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，下面是利用图②推导勾股定理的过程，完成填空；
解：梯形的面积可表示为：______，
也可以表示为：______，
，
，
______
即；
(2)【应用新知】如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)【迁移应用】小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求详细完整的过程．
【答案】(1)，，
(2)新路比原路少千米
(3)，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的推导及勾股定理的应用．
（1）根据梯形面积公式及梯形面积等于两个小直角三角形的面积和加大直角三角形面积，再整理即可；
（2）设，则，在中利用勾股定理建立方程，即可求得x的值，从而求得结果；
（3）设，则，分别在、中，利用勾股定理表示出，从而建立方程，求出x的值，最后求出结果．
【详解】（1）解：梯形的面积为，
也可以表示为，
，
即；
故答案为：，，；
（2）解：设，
，
在中，，
即，解得，即，
（千米），
答：新路比原路少千米；
（3）解：设，则，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
．
