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第一章 分式 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列分式变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．利用分式的基本性质逐个选项分析即可解答．
【详解】解：A、分子和分母都加上3和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式的分子乘以，分母乘以，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
C、分子和分母都减去3和原分式不相等，不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
D、分式的分子和分母都除以c，符合分式的基本性质，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（2024·广西·模拟预测）如果分式的值为零，那么值的为（ ）
A．0或2 B．2 C．0 D．不存在
【答案】B
【分析】本题考查分式的值为零的条件，掌握当分式的分子为零且分母不为零时，分式的值为零是解题关键．根据分式值为零的条件进行解答即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
∴．
故选：B．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的乘除法运算，熟记运算法则是解题关键．根据分式的乘除法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：D．
4．（2023·广西桂林·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查的是同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义，整数指数没的运算，积的乘方运算，再逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】
解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C符合题意；
∵，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．（2024七年级下·全国·专题练习）下列三个分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简公分母的定义及求法，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；正确掌握求最简公分母的方法是解题的关键．
确实最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母；
【详解】分式 、 、 的分母分别是 、 、 ，
故最简公分母是，
故选：D．
6．（22-23七年级·上海·假期作业）在下列各式中：①；②；③；④．相等的两个式子是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案．
【详解】解：①；
②；
③；
④．
∴①③两个式子是相等的，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键．
7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归．”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有． 将数据用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
8．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键．
【详解】解：
，
∴开始出现错误的同学是乙同学，
故选B．
9．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．先利用平均数的定义得到，，再计算和，从而可得到正确答案．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
，
，
即，所以选项正确；
，
，所以选项错误．
故选：．
10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）萧县县政府招标限期完成建设萧县图书馆这项工程，若甲工程队单独做可提前3天完成，若乙工程队单独做要需要甲工程队的两倍时间才能完成，现该工程先由甲乙两工程队合做5天，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．记工作总量为单位，根据“甲天的工作量乙x天的工作量工作总量”列出方程即可．
【详解】解：记工作总量为单位，
由题意得：，
故选：A．
填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．（23-24八年级下·河南周口·期末）若分式的值为0，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分式的值为0即分子的值为0以及分母不为0，进行列式计算，
【详解】解：∵分式的值为0，
∴
∴
故答案为：
13．（2023八年级下·全国·专题练习）计算 ．
【答案】
【分析】先算乘方，再把除法转化为乘法，最后利用分式的乘法法则得结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
14．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）华为公司设计的麒麟芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
15．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知(，且)，，则（结果用含x的代数式表示）：
（1） ；
（2） ．
【答案】
【分析】此题考查了与分式运算相关的规律探究，分式的加减法计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则得到计算结果的规律是解题的关键．
（1）直接求出即可；
（2）分别计算、，发现：每三个为一个循环，用2025除以3即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
（2）同理可得：，
，
，
，
∴发现：每三个为一个循环，
∵，
∴，
故答案为：（1），（2）．
16．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是，则的值为 ；
（2）若分式方程无解，则的值为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了解分式方程；
（1）把代入方程计算，即可求出的值；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可．
【详解】解：（1）分式方程的根是，
，
解得，
的值为；
（2）①去分母得：，
当时，方程无解，
，
②当分式方程有增根，
或，
当时，，
当时，，
，
的值为；
，
若分式方程无解，的值为或．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，．
【答案】，，
【分析】本题主要考查了通分的知识，确定三个分式的最简公分母是解题关键．由题意可知，最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行通分即可．
【详解】解：最简公分母是，
则，
，
．
18．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）先乘方，再计算乘除．
（2）先把分子分母因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）（1）化简：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减，熟练掌握运算法则及步骤是解题的关键．
（1）根据分式的加减法则计算即可；
（2）将分式方程化为整式方程求解即可．
【详解】解：（1）
（2），
方程两边同乘，
得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
20．（23-24七年级下·河北沧州·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，平方差公式，单项式乘多项式等知识．熟练掌握幂的乘方，同底数幂的乘法、除法，平方差公式，单项式乘多项式是解题的关键．
（1）先计算幂的乘方，然后进行同底数幂的乘法、除法运算即可；
（2）利用平方差公式，单项式乘多项式计算，然后合并同类项即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
21．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）先根据分式的性质进行变形，然后再利用分式的加减运算可进行求解；
（2）根据分式的加法运算可进行求解
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
22．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；
（2）根据分式有意义的条件确定的值，代入计算得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
；
（2）由题意得：，3，
当时，原式．
23．（22-23九年级下·安徽淮北·阶段练习）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．
(1)请你写出第4个等式： ；
(2)请你根据以上等式寻找规律，猜想第个等式，并给出证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】
（1）根据题意写出第4个等式即可；
（2）根据题意可以得到规律第个式子为，然后根据分式的性质，证明等式左右两边相等即可．
【详解】（1）解：根据题中式子的规律可得第4个式子为；
（2）解：根据题中式子的规律可猜想出第个式子为，
证明如下：
，
∴等式左右两边相等．
【点睛】本题主要考查了分式的规律性问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
24．（22-23八年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践
在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式．
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．
类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
(1)分式是_________分式．（填“真”或“假”）
(2)参考上面的方法，将分式化为带分式．
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)真；
(2)；
(3)或或或．
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式是真分式，
故答案为：真；
（2）解：原式
．
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，
∴或，
解得或或或，
∴当或或或时，分式的值为整数．
【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
25．（22-23八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
【答案】（1）；（2）最小值为.
【分析】（1）根据题意将分式变形即可；
（2）根据题意将分式变形，即可确定出最小值．
【详解】（1）原式= ；
（2）原式=，
∵(x 1)2 0,即(x 1)2+2 2，
则原式最小值为4 .
【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则进行变形.中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 分式 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）下列分式变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广西·模拟预测）如果分式的值为零，那么值的为（ ）
A．0或2 B．2 C．0 D．不存在
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·广西桂林·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七年级下·全国·专题练习）下列三个分式、、的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23七年级·上海·假期作业）在下列各式中：①；②；③；④．相等的两个式子是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
7．（23-24七年级下·山东青岛·期末）“池上无风有落晖，杨花晴后自飞飞．为将纤质凌清镜，湿却无穷不得归．”这是韩愈描写柳絮的《池上絮》．每年的四五月份是我国北方柳絮纷飞的季节，据统计每枚柳絮的质量最轻只有． 将数据用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河北邯郸·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（ ）
化简：
甲同学：原式；
乙同学：；
丙同学：；
丁同学．
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
9．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为和．则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．是的倍
10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）萧县县政府招标限期完成建设萧县图书馆这项工程，若甲工程队单独做可提前3天完成，若乙工程队单独做要需要甲工程队的两倍时间才能完成，现该工程先由甲乙两工程队合做5天，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（23-24八年级下·河南周口·期末）若分式的值为0，则 ．
13．（2023八年级下·全国·专题练习）计算 ．
14．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）华为公司设计的麒麟芯片采用制程工艺和架构设计，性能更高，功耗更低．已知，用科学记数法表示为 ．
15．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）已知(，且)，，则（结果用含x的代数式表示）：
（1） ；
（2） ．
16．（23-24七年级下·安徽六安·期末）已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的根是，则的值为 ；
（2）若分式方程无解，则的值为 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）通分：，，．
18．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)；
(2)．
19．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）（1）化简：；
（2）解方程：．
20．（23-24七年级下·河北沧州·期末）计算：
(1)；
(2)．
21．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1)．
(2)．
22．（23-24八年级下·四川成都·期末）（1）化简：；
（2）请在以下四个数：，，1，3中，选择一个适当的数作为的值，求出（1）中代数式的值．
23．（22-23九年级下·安徽淮北·阶段练习）观察下列各式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
请你根据上面三个等式提供的信息，解决下列问题．
(1)请你写出第4个等式： ；
(2)请你根据以上等式寻找规律，猜想第个等式，并给出证明．
24．（22-23八年级下·山西运城·阶段练习）综合与实践
在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式．
我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．
类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
(1)分式是_________分式．（填“真”或“假”）
(2)参考上面的方法，将分式化为带分式．
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值．
25．（22-23八年级下·四川巴中·期末）请仔细阅读下面两则材料，然后解决问题：
材料1：小学时我们学过，任何一个假分数都可以化为一个整数与一个真分数的和的形式，同样道理，任何一个分子次数不低于分母次数的分式都可以化为一个整式与另一个分式的和（或差）的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
如：.
材料2：对于式子，利用换元法，令，.则由于，所以反比例函数有最大值，且为3.因此分式的最大值为5.
根据上述材料，解决下列问题：
（1）把分式化为一个整式与另一个分式的和的形式，其中分式的分子次数低于分母次数.
（2）当的值变化时，求分式的最大（或最小）值.
