1.1.1集合的概念与表示——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

1.1.1集合的概念与表示
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.集合且用列举法可表示为( )
A. B.
C. D.
2.下列对象能构成集合的是( )
A.我国近代著名的数学家 B.的所有近似值
C.所有的欧盟成员国 D.2023年全国高考数学试题中所有难题
3.由实数x，，，，所组成的集合中最多含有( )
A.2个元素 B.3个元素 C.4个元素 D.5个元素
4.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
5.集合，用描述法表示正确的是( )
①；
②；
③.
A.③ B.①③ C.②③ D.①②③
6.定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为( ).
A.0 B.6 C.12 D.18
7.下列集合中有无数个元素的是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，，，若，，则( ).
A. B. C. D.
9.（多选）下列说法正确是( )
A.很小的实数可以构成集合
B.集合与集合是同一个集合
C.由1,,,,0.5这些数组成的集合有4个元素
D.集合是指第二或第四象限内的点集
10.（多选）已知集合,则下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.若,,用列举法表示________.
12.已知关于x的不等式的解集为M,且,则实数a的取值范围是______.
13.设集合A中含有三个元素，，12，若，则x的值为___________.
14.已知集合，求证：
（1）；
（2）偶数不属于A.
15.设集合A由实数构成，且满足：若且，则.
（1）若，试证明集合A中有元素-1，；
（2）判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
（3）若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积.
答案以及解析
1.答案：C
解析：且.故选C.
2.答案：C
解析：A,B,D:由于描述中标准不明确,无法确定集合;
C:所有欧盟成员国是确定的,可以构成集合.
故选:C
3.答案：A
解析：，，则当时，集合中有1个元素，当时，集合中有2个元素x，，所以组成的集合中最多含有2个元素.
4.答案：C
解析：因为，，所以.
故选：C.
5.答案：A
解析：取，故①错误
取，故②错误；
取，，
取，
取，，
……故③正确；
故选A
6.答案：D
解析：当时，；当，时，；当，时，.故所有元素之和为18.
7.答案：D
解析：对于A,因为,,则,2,4,,故A错误;
对于B,因为,,则,
所以,故B错误;
对于C,,,所以,故C错误;
对于D,有无数个元素.故D正确.
故选:D.
8.答案：D
解析：，，则.因为，所以，所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
9.答案：CD
解析：A选项:很小的实数标准不确定,故不能构成集合;
B选项:其中第一个集合是数集,第二个集合是点集,故不是同一集合.
C选项:因为,故这些数组成的集合有4个元素.
D选项:因为,故点是第二或第四象限内的点.综上,CD正确.
故选:CD
10.答案：ACD
解析：对于A,,所以A正确,
对于B,,所以B错误,
对于C,,所以C正确,
对于D,,所以D正确,
故选：ACD.
11.答案：
解析：因为,,
所以.
故答案为:
12.答案：
解析：且,所以,所以.
13.答案：3
解析：，
或.
①当时，解得，此时，不符合集合中元素的互异性，故；
②当时，解得或，由①知，且时，满足集合中元素的互异性.
综上可知.
14.答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：因为，所以.
（2）因为，，，
当m，n都为偶数或奇数时，和都为偶数，所以x为4的倍数；
当m，n为一个偶数，一个奇数时，和都为奇数，所以x为奇数.
显然都不满足，所以.
15.答案：（1）证明见解析
（2）集合A中至少有3个元素，理由见解析
（3）1或-1
解析：（1），.
，.
集合A中有元素，.
（2）由题意知，若且，
则，，，
且，，，
故集合A中至少有3个元素.
（3）由（2）知A中元素的个数为.
集合A是有限集，且，
当n为偶数时，集合A中所有元素的积为1，
当n为奇数时，集合A中所有元素的积为-1.
综上，集合A中所有元素的积为1或-1.