2.3函数的单调性和最值——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练（含解析）

2.3函数的单调性和最值
——高一数学北师大版(2019)必修一课时优化训练
1.已知函数的定义域为，且对定义域内任意实数，，均有，则在上( ).
A.单调递增 B.单调递减
C.先单调递减后单调递增 D.先单调递增后单调递减
2.若函数在处取得最大值，则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
3.已知函数,对于任意两个不相等的实数,,都有不等式成立,则实数a取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数是R上的增函数，对任意实数a，b，若，则( )
A. B.
C. D.
5.已知函数在定义域上单调递增，则函数的增区间为( )
A. B. C. D.
6.函数在区间上的最大值为( )
A. B. C.3 D.4
7.定义在R上的函数，当时，，且对任意的x满足（常数），则函数在区间上的最小值是( ).
A. B. C. D.
8.已知函数,若对,,,使得,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.（多选）若，，那么( )
A.有最小值6 B.有最小值12
C.有最大值26 D.有最大值182
10.（多选）已知函数的定义域为,满足对任意x,,都有,且时,.则下列说法正确的是( )
A.或2
B.当时,
C.在是减函数
D.存在实数k使得函数在是减函数
11.若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是__________.
12.若函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是__________.
13.函数的最小值为__________.
14.已知函数.
（1）用定义证明函数在区间上单调递增；
（2）对任意都有成立，求实数m的取值范围.
15.已知函数过点.
（1）求的解析式；
（2）求的值；
（3）判断在区间上的单调性，并用定义证明.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，则或，即当时，或当时，.不论哪种情况，都说明在上单调递减.
2.答案：C
解析：对恒成立，即，.当时，上述不等式显然成立，当时恒成立，所以.
3.答案：B
解析：令,解得或1,取函数对称轴左边零点,
根据题意,函数在R上单调递减,
则,解得,
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
4.答案：A
解析：因为，所以，.又是R上的增函数，所以，，所以.故选A.
5.答案：D
解析：因为函数的定义域为，所以令得，即函数的定义域为.令，，所以当时，单调递增，当时，单调递减.又为增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的增区间为.
6.答案：B
解析：设，则问题转化为求函数在区间上的最大值.根据对勾函数的性质，得函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.
7.答案：D
解析：当时，，；当时，，；当时，，.
所以当时，.
8.答案：A
解析：因,则,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,所以,
又因为,且,
可知函数在上单调递增,
可得,所以,
即若,则,,
若对,,,使得,
则,解得,
所以a的取值范围是.
故选:A.
9.答案：AC
解析：由题意，知解得，即函数的定义域为，所以，则在上单调递增，所以，.故选AC.
10.答案：BD
解析：令,则,即,解得或,
当时,令,,则,解得,与时,矛盾,所以,故A错误;
当时,则,故,
令,则,
整理得,则,
,,,,故B正确;
设,则,
,
,,,
,,
所以函数在上单调递增,故C错误;
因为函数在上为增函数,所以在上也为增函数,
若在上递减,则时,,
则时,,即,
又因为当时,,所以,故D正确.
故选:BD.
11.答案：2或-2
解析：方法一：依题意，当时，不符合题意；当时，在上是增函数，所以，得；当时，在上是减函数，所以，得.
方法二：因为在区间上单调，且在区间上的最大值与最小值的差为2，所以，即，解得或-2.
12.答案：
解析：因为，所以或所以当时，有；当时，有，所以函数在R上单调递减，
所以
解得.
13.答案：
解析：方法一：令，则，问题转化为在上的最小值，又在上单调递增，所以当时，取得最小值-2，所以的最小值为-2.
方法二：因为函数是R上的增函数，函数是上的增函数，所以函数是上的增函数，所以当时，函数取得最小值-2.
14.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）任取，，且，
因为，所以，，
所以，即.所以在上为单调递增.
（2）任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，所以时，.
所以实数m的取值范围是.
15.答案：（1）
（2）
（3）在区间上单调递增；证明见解析
解析：（1）函数∫过点，，
，得的解析式为：.
（2）.
（3）在区间上单调递增
证明：，，且，有
.
，，，
，.
，即.
在区间上单调递增.