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1.1探索勾股定理 分层练习
一、单选题
1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数据，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，
2．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
5．（23-24八年级下·河南信阳·期末）已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．5或 D．5
二、填空题
6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米．
7．（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ．
8．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ．
9．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ．
10．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，垂直和．如果，那么的长为 ．
一、填空题
1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ．
2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ．
3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ．
二、解答题
4．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长．
5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
1．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）阅读材料：
勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：
勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦
3，4，5 12
5，12，13 30
7，24，25 56
观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：
特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；
特点2：______．
…
回答问题：
(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______；
(2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为；
(3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组．中小学教育资源及组卷应用平台
1.1探索勾股定理 分层练习
一、单选题
1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数据，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4，
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答．
【详解】解：A、，故不符合题意；
B、，故该选项是正确的；
C、，，不是正整数，故不符合题意；
D、不是正整数，故不符合题意；
故选：B
2．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，注意计算的准确性即可．
【详解】解：观察题图，得，
由勾股定理，得，，
，
故选：D.
3．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键．
【详解】解：木条的长为，
故选A．
4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5或
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，直接利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，
∴该直角三角形的斜边长的平方为，
∴该直角三角形的斜边长为5，即第三边长是5，
故选：A．
5．（23-24八年级下·河南信阳·期末）已知在中，，，，则的长为（ ）
A． B．3 C．5或 D．5
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意，作出图形，数形结合，由勾股定理列式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：
在中，，，，则由勾股定理可得，
故选：D．
二、填空题
6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解．
【详解】解：在中，为斜边，
米，
少走的距离为
（米），
故答案为：4．
7．（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ．
【答案】100
【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：在中，
∵斜边，
，
故答案为：100．
8．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ．
【答案】48
【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵正方形的边长分别为4和8，
∴
∵是直角三角形，
∴
∴正方形的面积．
故答案为：48．
9．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及用尺规画线段，正确认识尺规作图和掌握勾股定理是解题关键．先通过尺规作图确定，，再利用勾股定理求，即可求解．
【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，，，
∴，，
在中，，
∴，
故答案为：．
10．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，垂直和．如果，那么的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．
先用勾股定理求长度，再求即可．
【详解】解：
在中，
同理，
故答案为：．
一、填空题
1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质， 熟练利用勾股定理列方程．
根据翻折的性质得到得，， 即可得 设， 则， 可得即可得到结果．
【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，
∴， ，
∵折叠纸片，使点与点重合，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
设， 则，
，
解得 ，
故答案为：．
2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ．
【答案】14
【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
，
，
，
，
（负值舍去），
的周长，
故答案为：14．
3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
由折叠的性质得：，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
设，则
∴，
在中，，即
解得：．
故答案为：．
二、解答题
4．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，连结，由E是的中点，可证明，即知，设，在中，可得，即可解得答案．
【详解】解：如图，连接，
由折叠得，，
是的中点，
，
∴
在长方形中，，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得，
的长为．
5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)求风筝的垂直高度；
(2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1)米；
(2)米．
【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；
（）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果；
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可知：米，，米，
在中，由勾股定理得，，
∴米，
∴（米），
答：风筝的垂直高度为米；
（2）解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图，
∴此时的（米），
即此时在中，米，有（米），
相比下降之前，缩短长度为（米），
答：他应该往回收线米．
1．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）阅读材料：
勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：
勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦
3，4，5 12
5，12，13 30
7，24，25 56
观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：
特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；
特点2：______．
…
回答问题：
(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______；
(2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为；
(3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组．
【答案】(1)勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一）
(2)，；
(3)见解析
【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键．
（1）根据勾股数组的特点解答即可；
（2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可；
（3）根据正数的混合运算法则计算即可证明．
【详解】（1）解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；
故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；
（2）解：为最小的勾股数，
勾股数组的和为，
勾股数组的和与最小数的差为，
股为，弦为，
勾股数组可以表示为，
故答案为：，；
（3）证明：
，
即是勾股数组．
