第二章 一元二次方程 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，．
先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
，
，
故选：A．
2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的性质，由题意得出方程可以化为，即可得出答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，
∴方程可以化为，
∴，
故选：C．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程经过配方变形为，则n的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．9
【答案】A
【分析】本题考查配方法，熟练配方法的一般步骤是解题的关键．利用配方法将方程变形得，即可求解．
【详解】解：，
移项得，，
配方得，，
即，
∴，
故选：A．
4．（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．根据此并结合平方的非负性判断即可．
【详解】解：∵，
∴
，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解关于 的一元二次方程 ，其变形后正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到，
配方得．
故选：A．
6．（2024·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：D．
7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2024 B．2027 C．2032 D．2035
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据根与系数的关系和一元二次方程的解的定义得到，，进而得到，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此可得答案．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴原式
，
故选：C．
8．（22-23九年级上·山西太原·期中）根据表格，选取一元二次方程一个近似解的取值范围（ ）
0 0.5 1
5 2.75 1
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的值由正到负时x的取值即可估算该方程的解．
【详解】解：由表格可知，当时，；当时，；
∴当时，x的取值范围为，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．．
9．（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，由两轮后传染的人数为人，由等量关系建立方程求出其解即可，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，
由题意，得：，即，
解得：（舍去），，
故选：．
10．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．每一支队伍都要和另外的支队伍进行比赛，于是比赛总场数每支队的比赛场数参赛队伍重复的场数，即可解答．
【详解】解：共有n支队伍参加比赛，根据题意，
可列方程为；
故选：B．
填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24八年级下·四川广安·期末）请写出一个一元二次方程使它有一个根为， ．
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查了一元二次方程的解；有一个根是的一元二次方程有无数个，只要含有因式的一元二次方程肯定有一个根是．
【详解】解：形如的一元二次方程都有一个根是，
当，时，可以写出一个一元二次方程：．
故答案可以是：(答案不唯一)．
12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．去括号合并同类项整理即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：
13．（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先计算，再利用公式法解方程，再进一步计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：
14．（2024·四川达州·三模）已知，是一元二次方程的两根，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，，
．
故答案为：．
15．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程得到，再根据新定义即可得到．
【详解】解：解方程得：，
∵，
∴，
故答案为：1．
16．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构10月份为800名老人提供服务，12月份为1352名老人提供服务，设11、12月份服务老人人数的增长率为x，根据题意，可列方程为： ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
由10月份老人数量和12月份老人数量即可得出关于x的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：根据题意，可列方程为：
故答案为：．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求的值．
【答案】
【分析】将方程的解代入方程中得到式子的值，再整体代入多项式即可得到答案；
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，即：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是将解代入方程得到式子的值，整体代入多项式求解．
18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程的方法：配方法、直接开平方法．
（1）运用直接开平方即可求得x的值；
（2）运用配方法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：
或，
解得；
（2）解：
或．
19．（23-24八年级下·江苏南通·期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用公式法解一元二次方程即可．
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
∵，，，
∴
∴，
（2）
，
∴或，
∴，
20．（22-23九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）；
（2）x2=4；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）二次项系数是3，一次项系数为—6，常数项为1；（2），二次项系数是，一次项的系数为 常数项为；（3），二次项系数为1，一项系数为5，常数项为0；（4）二次项系数2，一次项系数为－4，常数项为2；（5）二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10；（6），二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2
【分析】（1）移项即可；
（2）移项即可；
（3）去括号即可；
（4）去括号即可；
（5）去括号，移项，合并同类项即可；
（6）去括号，移项，合并同类项即可．
【详解】解：（1），
移项得：，
∴二次项系数是3，一次项系数为—6，常数项为1；
（2）x2=4，
移项得：，
∴二次项系数是，一次项的系数为 常数项为；
（3），
去括号得：，
∴二次项系数为1，一项系数为5，常数项为0；
（4），
去括号得：，
∴二次项系数2，一次项系数为－4，常数项为2；
（5），
去括号得：，
移项合并得：，
∴二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10；
（6），
去括号得：，
移项合并得： ，
∴二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般形式为：是解题的关键．
21．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于0，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、公式法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）利用公式法解一元二次方程结合方程一根大于0，找出关于k的一元一次不等式．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出，，根据方程有一根大于0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】（1）证明：∵在方程中，
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴
∴，，
∵方程有一根大于0，
∴，
解得：，
∴k的取值范围为．
22．（23-24九年级上·四川广元·期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知该方程的两个根为，且满足，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合题意可列出关于a的等式，解出a即可．
【详解】（1）证明：，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：方程两个根为，
，
，
解得：．
23．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
解：移项，得． 第一步
二次项系数化为1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
(1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
【答案】(1)二
(2)
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案；
【详解】（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的-3未除以2，
故答案为：二；
（2）．
移项，得：，
二次项系数化为1，得：，
配方，得：，
因此，
由此得：或，
解得：．
24．（2024八年级下·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键．
（1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长；
（2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论．
【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米，
∴边长为：；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米．
25．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
(1)当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
(2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明；
【答案】(1)当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额
(2)该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；
（1）设樱桃每篮售价定为x元，根据销售额＝销量×售价，列方程求解即可；
（2）设樱桃每篮售价为x元，根据销售额＝销量×售价列出方程，判断出该方程无实数解，可知此时销售额不能达到2500元．
【详解】（1）解：设樱桃每篮售价定为x元，
由题意得：，
解得：，，
∵规定每篮售价不低于35元，
∴应舍去，
答：当樱桃每篮售价定为40元时，每天能获得2400元的销售额；
（2）设樱桃每篮售价为x元，
由题意得：，
整理得：，
∵，
∴此方程无实数根，
∴该采摘基地每天所获得的销售额不能达到2500元．第二章 一元二次方程 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·内蒙古包头·模拟预测）已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级下·山东淄博·期中）关于的一元二次方程的两个实数根分别为2和，则分解因式等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程经过配方变形为，则n的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．9
4．（2024·河南商丘·模拟预测）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）用配方法解关于 的一元二次方程 ，其变形后正确的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·山东烟台·期中）若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．2024 B．2027 C．2032 D．2035
8．（22-23九年级上·山西太原·期中）根据表格，选取一元二次方程一个近似解的取值范围（ ）
0 0.5 1
5 2.75 1
A． B． C． D．
9．（23-24九年级上·四川广元·期中）近日“知感冒，防流感——全民科普公益行”活动在某市拉开帷幕，经调研，有个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染人，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（23-24八年级下·四川广安·期末）请写出一个一元二次方程使它有一个根为， ．
12．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程化为一元二次方程的一般形式是 ．
13．（2024·安徽淮北·三模）关于x的方程有两个根，记作，，则 ．
14．（2024·四川达州·三模）已知，是一元二次方程的两根，那么的值为 ．
15．（23-24八年级下·山东济宁·期中）定义新运算“*”，规则：，如，．若的两根为，且，则 ．
16．（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）随着人口老龄化的加剧，养老问题逐渐成为社会关注的焦点，一种新型的养老模式——社区养老服务机构应运而生．某社区养老服务机构10月份为800名老人提供服务，12月份为1352名老人提供服务，设11、12月份服务老人人数的增长率为x，根据题意，可列方程为： ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是方程的一个根，求的值．
18．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
19．（23-24八年级下·江苏南通·期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
20．（22-23九年级上·全国·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）；
（2）x2=4；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
21．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于0，求的取值范围．
22．（23-24九年级上·四川广元·期末）已知关于的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知该方程的两个根为，且满足，求的值．
23．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：
解：移项，得． 第一步
二次项系数化为1，得． 第二步
配方，得． 第三步
因此． 第四步
由此得或． 第五步
解得． 第六步
(1)王明的解题过程从第______步开始出现了错误；
(2)请利用配方法正确地解方程．
24．（2024八年级下·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
25．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）诸暨的短柄樱桃是浙江省绍兴市的特产之一，特别是赵家镇和同山镇的樱桃尤为著名，每年四五月份大量上市．据某采摘基地了解：正常情况下，樱桃售价为每篮50元时，则每天可售出40篮．通过市场调查发现，若要每天多售出10篮，那么每篮就要降价5元，综合各项成本考虑，规定每篮售价不低于35元．
(1)当樱桃每篮售价定为多少元时，每天能获得2400元的销售额？
(2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到2500元？请计算说明；
