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第二章 三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（ ）
A．9 B．5 C．4 D．14
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
第三边大于5，而小于13．
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
2．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果，那么
C．正数大于负数 D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
【详解】A、对顶角相等，故该命题是真命题，不符合题意；
B、如果，那么，故该命题是真命题，不符合题意；
C、正数大于负数，故该命题是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故该命题是假命题，符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可．
【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合，
故A选项不符合题意；
∵图形②和图形⑦不能够完全重合，
故B选项不符合题意；
∵图形③和图形④能够完全重合，
故C选项符合题意；
∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合，
故D选项不符合题意；
故选：C．
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出的平分线
B．已知，作，使．
C．用刻度尺画线段
D．用三角板过点作的垂线
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图
【详解】解：A．用量角器画出的平分线借助了量角器，不符合题意
B.借助直尺和圆规作，使，符合题意；
C.画线段，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意；
D．用三角尺过点P作的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意；
故选：B．
5．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）如图所示，在中，已知点分别是的中点，且的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
同理可证，
∴点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和三角形的三边关系可求解．
【详解】解：当时，
，
；
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形；
当时，则，
，
三条线段，，不能构成三角形；
综上分析可知：，故B正确．
故选：B．
7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，的周长为10．则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，正确求出答案．由垂直平分线的性质，得到，结合，的周长为10，即可求出的长度．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵，的周长为10，
∴，
∴，
∴；
故选：C
8．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）对于问题：如图，已知，只用直尺和圆规判断是否为直角？小意同学的方法如图：在、上分别取、，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若测量得，则．则小意同学判断的依据是( )
A．垂线段最短
B．等腰三角形“三线合一”
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．等腰三角形的两个底角相等
【答案】B
【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质等知识，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：由作图可知，，
，
(等腰三角形的三线合一)，
．
故选：B．
9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵每本书长，厚度为，
∴，
∴．
故选：A．
10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴
，
∵ 平分，
，
∴ 平分，故①正确；
在上截取，连接，
在和中，
∴
，
在和中，
，，
故②不正确，④正确；
，
∴，
故③正确；
故选：C．
填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（22-23八年级下·陕西汉中·期中）命题“若，则”的逆命题是 ．
【答案】若，则
【分析】交换命题的题设和结论得到命题就是其逆命题．
【详解】∵若，则
∴逆命题为若，则．
故答案为：若，则．
【点睛】本题考查了命题，逆命题，熟练掌握命题逆命题的关系是解题的关键．
12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，和的平分线交于点，若，则的度数为 ．
【答案】/80度
【分析】本题主要考查了角平分线的定义与三角形内角和定理．在中，根据三角形的内角和定理，即可求得与的和，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，
又和的平分线交于点，
∴，，
，
，
故答案为：．
13．（23-24九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在等腰三角形中，，，，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．
根据等腰三角形的性质由已知可求得的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
14．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若，，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：8．
15．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ．
【答案】/35度
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，利用作图得到，利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：，
∵，，
∴，
故答案为：．
16．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
【答案】30
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，作出辅助线，根据证明全等，是解题的关键．根据证明与全等，，然后利用代数求解即可．
【详解】解：∵是高，
∴，
∵，
∴，
在上截取，如图所示：
在与中
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：30．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知点．求的面积．
【答案】9
【分析】本题主要考查了坐标与图形．根据，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴
18．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，是的高，．
(1)若点是边上的一点，当，时，求的度数；
(2)若，，，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形高的定义；
（1）根据已知求得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解；
（2）根据等面积法即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
又∵，
∴
（2）解：∵是的高，．
，，，
∴
∴
19．（23-24八年级下·江西上饶·开学考试）如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图．
(1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形；
(2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图应用与设计，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接、，即为所求；
（2）连接交于，连接交于，即为所求；
【详解】（1）解：边长为的等边三角形如图所示；
；
（2）解：周长等于的等边三角形如图所示；
．
20．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，是某地水渠的平面示意图，其中．
(1)在水渠上找到一点，使最短；
(2)现要过点在的左侧再修一条水渠，要求水渠（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角及作垂线的方法是解题关键．
（1）根据垂线段最短，作的垂线，交于，即可得答案；
（2）作，根据平行线的性质可得，即可得答案．
【详解】（1）解：如图，以点为圆心，大于为半径画弧，交直线于、，以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于，
∴，
∵垂线段最短，
∴点即为所求．
（2）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、，以点为圆心，长为半径画弧，交左侧于，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，作射线，
∴，
∴，
∴即为所求．
21．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，D是的中点，平分．
(1)试说明：；
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）证明，即可得出结论；
（2）由题中条件可得，进而可得为等边三角形．
【详解】（1）证明：∵ ，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ 平分
∴
在 和 中
，
∴，
∴ ，
（2）解： 是等边三角形，理由如下：
∵ ，
∴，
∵ ，D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴ 是等边三角形．
22．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
【答案】（1）希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；（2）手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；（3）54分
【分析】(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案；
(2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系；
(3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案．
【详解】解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分，
∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走，
故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；
(2)∵每人手中6张牌的总分为零，
∴无论多少次后，总分之和为0，
故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；
(3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时，
可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)，
故答案为：54分．
【点睛】本题考查了推理与论证，根据题意注意红色牌代表正分得出是解题关键．
23．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知四边形，，．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．
①求的度数；
②若，，求的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，角的直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）设，则，根据等边对等角解题即可；
（2）①运用等边对等角解题即可；②作，为垂足，利用角的直角三角形的性质解题即可．
【详解】（1）解：设，则，
∵，
∴∴，
故答案为：；
（2）①解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，，
∴；
②解：作，为垂足，
∵，平分，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．
(1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；
(2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；
(3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明；
（1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为．
（2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可求得证；
（3）作的延长线，过点作射线 ．根据平行线的性质得出＝，＝，进而根据平角的定义，即可得证．
【详解】（1）证明：如图，过点A作，
则，．(两直线平行，内错角相等）
∵点，，在同一条直线上，
∴．（平角的定义）
．
即三角形的内角和为．
（2）∵
∴
∵
∴
∴
，
，
（3）证明：作的延长线，过点作射线 ．
＝，＝
＋＋＝
＋＋＝
25．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．
【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析；（3）8
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）证明，则，，；
（2）同理（1）证明即可；
（3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可．
【详解】（1）证明：直线，直线，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：结论成立；理由如下：
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：同理（2）可得，，
∴，
设的底边上的高为，则的底边上的高为，
∴，，
，
∴，
∴，
∴与的面积之和为8．中小学教育资源及组卷应用平台
第二章 三角形 重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知三角形的两边分别为4和9，则此三角形的第三边可能是（ ）
A．9 B．5 C．4 D．14
2．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．如果，那么
C．正数大于负数 D．两直线平行，同旁内角相等
3．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（ ）
A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦
4．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列作图属于尺规作图的是（ ）
A．用量角器画出的平分线
B．已知，作，使．
C．用刻度尺画线段
D．用三角板过点作的垂线
5．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期末）如图所示，在中，已知点分别是的中点，且的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24八年级下·广东揭阳·期末）如图，在折线段中，，，线段上有一点P，将线段分成两个部分，分别以B点和P点为旋转中心旋转，．当，，三条线段首尾顺次相连构成等腰三角形时，的长是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．3或5或7
7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，连接，，的周长为10．则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
8．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）对于问题：如图，已知，只用直尺和圆规判断是否为直角？小意同学的方法如图：在、上分别取、，以点为圆心，长为半径画弧，交的反向延长线于点，若测量得，则．则小意同学判断的依据是( )
A．垂线段最短
B．等腰三角形“三线合一”
C．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．等腰三角形的两个底角相等
9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（22-23八年级下·陕西汉中·期中）命题“若，则”的逆命题是 ．
12．（23-24七年级下·陕西西安·期末）在中，和的平分线交于点，若，则的度数为 ．
13．（23-24九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，在等腰三角形中，，，，则的度数为 ．
14．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若，，则的长为 ．
15．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图，，，根据图中尺规作图的痕迹，可知的度数为 ．
16．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，则的面积为 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知点．求的面积．
18．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，是的高，．
(1)若点是边上的一点，当，时，求的度数；
(2)若，，，求的长度．
19．（23-24八年级下·江西上饶·开学考试）如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图．
(1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形；
(2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形．
20．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，是某地水渠的平面示意图，其中．
(1)在水渠上找到一点，使最短；
(2)现要过点在的左侧再修一条水渠，要求水渠（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
21．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，，D是的中点，平分．
(1)试说明：；
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
22．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜．
温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】
（1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？
（2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？
（3）你可能得到的最高分是多少？
23．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知四边形，，．
(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，，连接，平分交于，交延长线于，连接．
①求的度数；
②若，，求的长．
24．（23-24七年级下·广东江门·期中）数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明．
(1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明；
(2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明；
(3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明．
25．（24-25八年级上·全国·假期作业）（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：；
（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，求与的面积之和．
