备战2025年高考数学：平面向量及其应用模拟题训练（含答案）
文档属性
| 名称 | 备战2025年高考数学：平面向量及其应用模拟题训练（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 657.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-19 18:07:33 | ||
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文档简介
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备战2025年高考数学：平面向量及其应用模拟题训练
一、选择题
1．（2023·广州模拟）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·雅安模拟）已知平面向量，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2024高三下·社旗模拟）已知中，a b c为角A B C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·湖北月考）在中，，，，则点A到边BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·金华模拟）已知正方形的边长为分别是边上的点（均不与端点重合），记的面积分别为.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·雄安模拟）已知直线与曲线有三个交点，，，且，则以下能作为直线的方向向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重启模拟）已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2024高三下·保定模拟）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多项选择题
9．（2024·永嘉模拟）已知单位向量共面，则下列说法中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则<>=
D．若，则<>=
10．（2024高三下·湖南模拟）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
11．（2024·金华模拟）某数学建模活动小组在开展“空中不可到达两点的测距问题”探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定之间的距离的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·诸暨模拟）若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是 ．
13．（2024·重庆市模拟）已知，则的最小值为 .
14．（2022·焦作模拟）的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积为 ．
四、解答题
15．（2024·永嘉模拟） ABC 的对应边是 a，b，c 三角形的重心是 O.已知 OA=3，OB=4，OC=5.
（1） 求 a 的长.
（2） 求 ABC 的面积.
16．（2024·金华模拟）记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
17．（2024高三下·宜春模拟） 在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
（1）求的外接圆面积；
（2）设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
18．（2024·雅安模拟）如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．
（1）求的值；
（2）设，求.
19．（2024高三下·凯里模拟）一般地，个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为．类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说，，，是线性无关的．
（1）判断向量组，，是否线性相关？
（2）若，，，当且时，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以
（2）解：由（1）得，又O是重心，
所以的面积
16．【答案】（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
17．【答案】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
18．【答案】（1）解： 因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，
所以DB平分，所以，因为，所以，BC=CD，
所以‖，所以，因为，，所以，
所以
（2）解： 因为在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以，
在中，由余弦定理得，.
19．【答案】（1）解：设，则，
由①②消去得，由①③消去得，
则该方程有无数解，不妨取，则，，
，
，，是线性相关的向量组．
（2）证明：，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，当时，，
即，
，．
同理可证：，．
，
，
．
当且时，
．
综上，当且时，．
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备战2025年高考数学：平面向量及其应用模拟题训练
一、选择题
1．（2023·广州模拟）已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·雅安模拟）已知平面向量，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．（2024高三下·社旗模拟）已知中，a b c为角A B C的对边，，若与的内角平分线交于点I，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·湖北月考）在中，，，，则点A到边BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·金华模拟）已知正方形的边长为分别是边上的点（均不与端点重合），记的面积分别为.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·雄安模拟）已知直线与曲线有三个交点，，，且，则以下能作为直线的方向向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重启模拟）已知圆是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
8．（2024高三下·保定模拟）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
二、多项选择题
9．（2024·永嘉模拟）已知单位向量共面，则下列说法中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则<>=
D．若，则<>=
10．（2024高三下·湖南模拟）在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则为直角三角形
C．若为锐角三角形，的最小值为1
D．若为锐角三角形，则的取值范围为
11．（2024·金华模拟）某数学建模活动小组在开展“空中不可到达两点的测距问题”探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定之间的距离的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·诸暨模拟）若正四面体的棱长为1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体，，，则外接圆的半径是 ．
13．（2024·重庆市模拟）已知，则的最小值为 .
14．（2022·焦作模拟）的内角、、所对的边分别为、、，且，，则的面积为 ．
四、解答题
15．（2024·永嘉模拟） ABC 的对应边是 a，b，c 三角形的重心是 O.已知 OA=3，OB=4，OC=5.
（1） 求 a 的长.
（2） 求 ABC 的面积.
16．（2024·金华模拟）记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
17．（2024高三下·宜春模拟） 在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．
（1）求的外接圆面积；
（2）设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
18．（2024·雅安模拟）如图，在平面四边形中，已知点C关于直线BD的对称点在直线AD上，，．
（1）求的值；
（2）设，求.
19．（2024高三下·凯里模拟）一般地，个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为．类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说，，，是线性无关的．
（1）判断向量组，，是否线性相关？
（2）若，，，当且时，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】A
4．【答案】A
5．【答案】D
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以
（2）解：由（1）得，又O是重心，
所以的面积
16．【答案】（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
17．【答案】（1）解：由的面积为，可得，解得，
又由的周长为，可得，即，
由余弦定理得
，解得，
设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，
所以的外接圆面积为．
（2）解：若选择①：
法1：由（1）知，及，
由，可得
，
所以，即．
法2：不妨设，由及，解得，
在和中，可得，
由余弦定理得，解得．
若选择②，不妨设，由及，解得，
法1：由，
可得，解得．
法2：由张角定理，得，
即，解得，
18．【答案】（1）解： 因为C点关于直线BD的对称点在直线AD上，
所以DB平分，所以，因为，所以，BC=CD，
所以‖，所以，因为，，所以，
所以
（2）解： 因为在中，由正弦定理得，所以，，所以，所以，
在中，由余弦定理得，.
19．【答案】（1）解：设，则，
由①②消去得，由①③消去得，
则该方程有无数解，不妨取，则，，
，
，，是线性相关的向量组．
（2）证明：，
先证：，，
设，，则，
在上单调递增，当时，，
即，
，．
同理可证：，．
，
，
．
当且时，
．
综上，当且时，．
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