1.2空间向量基本定理同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.2空间向量基本定理同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
2．在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，则可以表示为（ ）

A． B．
C． D．
3．如图，四棱柱的底面为平行四边形，为与的交点，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．给出下列四个命题：
①若存在实数，使，则 与共面；
②若 与共面， 则存在实数， 使
③若存在实数，使 ，则点共面；
④若点共面， 则存在实数， 使
其中（ ）是真命题．
A．②④ B．①③ C．①② D．③④
6．已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在四面体中， 为的中点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
二、多选题
9．已知空间向量，，不共面，则以下每组向量能做基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．下列命题中正确的是（ ）
A．若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面
B．若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线
C．若是空间的一个基底，仍是空间的另一个基底
D．若是空间的一个基底，是空间的另一个基底
11．已知正三棱柱的所有棱长均相等，，分别是的中点，点满足，下列选项中一定能得到的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．空间向量基本定理
（1）定理:如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得 .
（2）基底：如果三个向量 ，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量生成的，我们把叫作空间的一个 ，都叫作 ..
13．如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ．
14．如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．

四、解答题
15．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
16．已知空间向量、、都是单位向量，且，，与的夹角为60°，若P为空间任意一点，且，满足，求的最大值．
17．在正方体中，设，，，，分别是，的中点．
(1)用向量，，表示，；
(2)若，求实数，，的值．
18．已知，，是空间中不共面的向量，若，，.
(1)若三点共线，求的值；
(2)若四点共面，求的最大值．
19．如图所示，在三棱柱中，，是的中点.
(1)用表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得.
【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线，
对A：有，故A错误；
对B：设，则有，
该方程无解，故可与构成基底，故B正确；
对C：有，故C错误；
对D：有，故D错误.
故选：B.
2．C
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】依题意可得
.
故选：C
3．C
【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】因为为与的交点，
则
故选：C.
4．D
【分析】由条件可知，延长与交于，连接，则由题意可得∥，令，，则利用不同的方法将用表示，可求出，然后利用三角形相似可求得结果.
【详解】由条件可知，延长与交于，连接，
因为平面，
平面，平面平面，
所以∥，
令，，
则有，
，
根据向量基底表示法的唯一性，
得解得
∥，
，，
．
故选：D．
5．B
【分析】利用空间向量共面定理依次判断即可.
【详解】①：由共面向量定理知，故①正确；
②：共线，则不与共线，
则不存在实数x，y，使，故②错误；
③：共面向量定理知，故③正确；
④：共线，不与共线，
则不存在实数x，y，使，故④错误．
故选：B
6．C
【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d
【详解】因为，
由空间向量的共面定理可知，点四点共面，
即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d，
由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形，
则，，
由等体积法得，，所以，
所以的最小值为.
故选：C
7．A
【分析】由题意可知，设在基底下的坐标为，根据空间向量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.
【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为，
所以，
所以，
所以在基底下的坐标为.
故选：A
8．B
【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.
【详解】，
又，所以，
所以.
故选：B
9．BC
【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，所以、、共面，这组向量不能做基底；
对于B选项，假设，，共面，
则存在、使得，
因为构成空间的一个基底，则无解，假设不成立，
故，，不共面，这组向量能做基底；
对于C选项，假设，，共面，
则存在、，使得，
因为构成空间的一个基底，则无解，所以假设不成立，
故，，不共面，这组向量能做基底；
选项D，因为，则，，共面，这组向量不能做基底.
故选：BC.
10．ABC
【分析】利用向量基底的意义，逐项判断得解.
【详解】对于A，三个非零向量不能构成空间的一个基底，则必定共面，A正确；
对于B，任取非零向量，非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
则，，则，，因此共线，B正确；
对于C，假定共面，则存在实数，使得，
即，而不共面，于是，显然此方程组无解，
即假定是错的，因此不共面，是空间的一个基底，C正确；
对于D，由，得共面，
不能作为空间的一个基底，D错误.
故选：ABC
11．BCD
【分析】以，，为基底向量，若，则，根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，依题意，，，在同一平面内，连接、、，即可证明平面，要使，则需在上，再由四点共面判断D.
【详解】设正三棱柱的棱长为2，
以，，为基底向量，则，
，，
可得
，
若，则，
则，
即，
所以，所以且x为任意取值，故B、C正确，A错误；
又，故，，，在同一平面内，
连接、、，依题意，，，平面，
所以平面，要使，所以需在上，
由， 所以，，，四点共面，故在上，故D正确.
故选：BCD．
12． 不共面 基底 基向量
【详解】略
13．
【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可.
【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
所以
.
故答案为：
14．
【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.
【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，

所以
，
所以.
故答案为：.
15．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
16．/
【分析】根据空间向量基本定理设，由，得①，设，则，代入①式，得，结合已知可求得的范围，从而得a的范围.
【详解】设，
则
，
又，
，
，
设，则，
所以，即．
由题设可得，故且，
故，
解得，故．
当且仅当，时等号成立．
故的最大值为．
17．(1)，
(2)，，．
【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；
（2）用，，表示，再利用空间向量基本定理求解即可．
【详解】（1）连接，则交于点，
，
．
（2）连接，
，
又，所以，，．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由三点共线可设，列方程求；
（2）由四点共面可设，列方程可得的关系，由此可求的最大值．
【详解】（1）因为三点共线，则，
又， ，
有}解得；
（2）因为四点共面，则，
则，
有 解得，
所以，
当时，取到最大值
19．(1)；
(2)存在，时，.
【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得；
（2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可.
【详解】（1）
（2）假设存在点，使，设，
显然.
因为，所以，
即
.
设，又，
即，
解得，
所以当时，.
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