1.1空间向量及其运算同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册

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1.1空间向量及其运算同步练习卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
2．在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在斜三棱柱中，，，，则（ ）
A．48 B．32 C． D．
4．如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（ ）
A． B．1 C． D．
5．给出下列命题：①若空间向量、满足，则；②空间任意两个单位向量必相等；③若空间向量、、满足，则；④在正方体中，必有.其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知向量，，，若，，共面，则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．1
7．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是（ ）
A．若是空间任意四点，则有
B．若表示向量的有向线段所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
C．若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行
D．对空间任意一点与不共线的三点、、，若（其中、、），则、、、四点共面
二、多选题
9．在正方体中，下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．正方体的体积为
10．如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）

A． B．
C． D．
11．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ）
A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
B．平行且模相等的两个向量是相等向量
C．若，则
D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
三、填空题
12．空间两个向量共线(平行)的充要条件:
对任意两个空间向量的充要条件是存在实数，使 .
13．已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ．
14．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时， ．
四、解答题
15．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；
(2)；
(3).
16．如图所示，平行六面体中，，.

(1)用向量表示向量，并求；
(2)求.
17．已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心．
(1)证明：；
(2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
18．如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．

(1)求；
(2)求的长．
19．如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
(1)用向量表示；
(2)求.
参考答案：
1．A
【分析】利用空间向量共线定理求解即可.
【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得
又，，，
所以
则
则解得：
故选：A.
2．C
【分析】根据已知可得，代入即可得出答案.
【详解】
因为点G是CD的中点，
所以，
所以.
故选:C.
3．C
【分析】把变成，然后再根据空间向量的数量积公式及运算律直接计算即可.
【详解】.
故选：C
4．A
【分析】以为基底表示后可求的值.
【详解】由正三棱柱可得，，
而，
故
.
故选：A.
5．C
【分析】根据向量定义判断A，B，应用特殊值法判断C选项，根据向量相等判断D选项.
【详解】对于A：模长相等方向未知不能确定向量相等，A选项错误；
对于B：模长相等都是1，方向未知不能确定向量相等，B选项错误；
对于C：满足，
但是不满足，C选项错误；
对于D：在正方体中，且方向相同，D选项正确.
假命题个数为3.
故选：C.
6．D
【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解.
【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得，
即，即，解得.
故选：D
7．D
【分析】将两边平方，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】设与的夹角为，
由得，两边平方得
，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
8．A
【分析】根据题意，由已知条件结合空间向量共面定理，以及向量共线的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由空间向量的加法运算可知，故A正确；
空间中任意两个向量都共面，故B错误；
若共线，则表示向量与的有向线段所在直线平行或重合，故C错误；
若，且，则、、、四点共面，故D错误；
故选：A
9．ABC
【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设正方体的棱长为，
A选项，
，A选项正确；
B选项，
，B选项正确；
C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确；
D选项，，所以D选项错误.
故选：ABC
10．ABC
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解.
【详解】A：，故A符合题意；

B：，故B符合题意；

C：，故C符合题意；

D：，故D不符合题意；

故选：ABC.
11．BCD
【分析】根据相等向量的有关概念判断．
【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确；
对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错；
对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错；
对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错，
故选：BCD．
12．
【分析】应用空间向量共线的条件结合充要条件填空
【详解】充分性：当时，可以两个向量方向相同或相反可以得出；
必要性：当,若,则，
若时,可得向量方向相同或相反可以得出.
故答案为：.
13．/
【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算.
【详解】
正四面体的棱长为1，
，
又点是的中点，，
又，
.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意可知，平面，直线，从而得出：当、最短时，点为的中心，为线段的中点，从而可得出，并可得出，代入进行数量积的运算即可求出答案．
【详解】解：由共面向量定理和共线向量定理可知，平面，直线，
当、最短时，平面，，
所以为的中心，为的中点，
此时，
平面，平面，
，
．
又，
．
故答案为：．
15．(1)，图见解析
(2)，图见解析
(3)，图见解析
【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可.
【详解】（1），
向量如图所示，

（2）；
向量如图所示，

（3），
设是线段的中点，
则.
向量如图所示，

16．(1)，
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；
（2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得，
可得
，
所以.
（2）解：由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形重心的向量表示及向量运算可证结论；
（2）利用向量模长的公式可求答案.
【详解】（1）证明：因为G是的重心，所以，
则，
即.
（2）由（1）得，
所以，
，即．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果；
（2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知.
【详解】（1）.
（2）因为，
所以
，
所以的长为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算，再开方即可求解.
【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
所以；
（2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，
所以，，
所以，
所以
，所以.
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