2023-2024学年湖南省衡阳市高一下学期期末考试数学试题（含解析）

2023-2024学年湖南省衡阳市高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何体中，顶点个数最少的是
A. 四棱锥 B. 长方体 C. 四棱台 D. 四面体
2.
A. B. C. D.
3.已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为
A. B. C. D.
5.将颜色为红、黄、白的个小球随机分给甲、乙、丙个人，每人个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是
A. 甲分得黄球 B. 甲分得白球
C. 丙没有分得白球 D. 甲分得白球，乙分得黄球
6.在矩形中，若，，，且，则
A. B. C. D.
7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点在同一水平面上测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离
A. B. C. D.
8.在正三棱柱中，，是的中点，是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在长方体中，点，，，分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确的是
A. B.
C. D. 平面
10.国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类．年国天然气进口吨，其中液化天然气进口吨，气态天然气进口吨．年国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是
A. 年国从国进口的液化天然气比从国进口的多
B. 年国没有从国进口液化天然气
C. 年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多
D. 年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多
11.在中，是的中点，，，下列结论正确的是
A. 若，则 B. 面积的最大值为
C. D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则__________．
13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到个类样本，个类样本．若类样本的平均数为，总体的平均数为，则类样本的平均数为__________．
14.已知某圆台的母线长为，下底面的半径为，若球与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球的表面积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若向量，，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
证明：．
若，，求的周长．
17.本小题分
为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试．已知此次考试共有名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组，第二组，，第六组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．
该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；
若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取人进行面对面调查分析，求这人中恰有人成绩在内的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，．
证明：．
求三棱锥的体积．
求二面角的余弦值．
19.本小题分
在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打场，每场比赛中，胜、平、负分别积，，分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同例如：若，，三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同已知某小组内的，，，四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立．
求球队在小组赛的场比赛中只积分的概率；
已知在已结束的小组赛的场比赛中，球队胜场，负场，求球队最终小组出线的概率．
答案解析
1.
【解析】解：四棱锥有个顶点，长方体和四棱台有个顶点，四面体有个顶点．
2.
【解析】解： ，
故选B．
3.
【解析】解：、若，则或或，故A错误
B、若，则，故B正确；
C、若，则或与异面，故C错误
D、若，则或，故D错误．
故选B．
4.
【解析】解：
因为，所以，
，，
所以与的夹角为．
5.
【解析】解：“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球，乙分得红球”，
即“丙分得白球”，与“丙没有分得白球”互为对立事件．
6.
【解析】解：，．
7.
【解析】解：，
，
在中利用余弦定理得：
8.
【解析】解：如图，作，垂足为，连接在正三棱柱中，平面平面，
因为平面平面，，所以平面．
故为直线与平面所成的角．
当取得最大值时，取得最大值，取得最小值．
不妨设，则，的最小值为，．
9.
【解析】解：因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，所以A正确；
因为平面 平面，平面平面，
平面平面，
所以，所以B正确；
由图知，直线 和直线是异面直线，所以C错误；
由长方体性质得，，
又平面，平面，
所以平面，所以D正确．
10.
【解析】解：年国从国进口天然气吨，全部为气态天然气，
所以年国没有从国进口液化天然气，B正确．
年国从国进口天然气吨，其中气态天然气吨，液化天然气吨，
所以年国从国进口的液化天然气比从国进口的多，A正确．
假设年国气态天然气其余部分全部来自国，共吨，
则国从国进口液化天然气吨，仍然大于从国进口的天然气的总量，
所以年国从国进口的液化天然气一定比从国进口的多，C正确．
年国从国进口液化天然气吨，
年国从国进口的天然气总量为吨，若全部为液化天然气，
则年国从国进口的液化天然气比从国进口的少，D错误．
11.
【解析】解：在中，，所以，，A错误．
面积的最大值为，B正确．
，C正确．
在中，由正弦定理可得，得C.
在中，由余弦定理可得，
即．
在中，由余弦定理可得，
即，所以，
整理得，解得舍去，D正确．
12.
【解析】解：由题意，复数，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】解：设类样本的平均数为，则，解得．
14.
【解析】解：如图，在轴截面梯形中，，，
设球的半径为，则．
，
解得，因为，
所以，
所以球的表面积为．
15.解：因为，，所以．
由，可得，
即，解得，
所以，
故．
依题意得．
因为，所以，
解得，则．
，，，
所以，，
所以与夹角的余弦值为．
【解析】由求出，可得；
由，解得，由，得答案．
16.解：证明：因为，所以，
所以B.
因为，
所以，
则或，舍去，即．
解：因为，，所以，．
．
由，可得，
．
故的周长为．
【解析】利用正弦定理得到，然后得到．
先得到，然后得到的周长为
．
17.解：由频率分布直方图，可得学生成绩在内的频率为，在内的频率为，
故估计这名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数为．
学生成绩在内的频率为，
则抽取的人中，成绩在内的有人，在内的有人．
记成绩在内的名学生为，，，，在内的名学生为，，
则从人中任选人，样本空间可记为，
共包含个样本．
用事件表示“这人中恰有人成绩在内”，
则，包含个样本．
故所求概率．
【解析】先得到学生成绩在内的频率为，在内的频率为，
然后利用即可．
先得到抽取的人中，成绩在内的有人，在内的有人．
记成绩在内的名学生为，，，，在内的名学生为，，
然后利用古典概型即可．
18.解：证明：因为底面，所以．
因为四边形为正方形，所以．
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
在中，，是的中点，则．
因为，所以平面．
因为平面，所以．
因为，，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
解：因为是的中点，所以．
，，，，
所以，，所以．
解：由可得平面，因为平面，平面，所以，．
即二面角的平面角．
，．
因为∽，所以，解得．
因为，即，所以．
故二面角的余弦值为．
【解析】由题意可证平面，由线面垂直的性质，可得；
由题意求得即可．
由题意即二面角的平面角，求得所以即可．
19.解：球队在小组赛的场比赛中只积分，有两种情况．
第一种情况：球队在场比赛中都是平局，其概率为．
第二种情况：球队在场比赛中胜场，负场，其概率为．
故所求概率为
不妨假设球队参与的场比赛的结果为与比赛，胜与比赛，胜
与比赛，胜此情况下，积分，积分，，各积分．
在剩下的场比赛中：
若与比赛平局，则，每队最多只能加分，此时，的积分都低于的积分，可以出线
若与比赛平局，后面场比赛的结果无论如何，都有两队的积分低于，可以出线
若与比赛平局，同理可得可以出线故当剩下的场比赛中有平局时，一定可以出线．
若剩下的场比赛中没有平局，则当，，各赢场比赛时，可以出线．
当，，中有一支队伍胜场时，
若胜场，胜场，，，争夺第一、二名，则淘汰的概率为
若胜场，胜场，，，争夺第一、二名，则淘汰的概率为．
其他情况均可以出线．
综上，球队最终小组出线的概率为．
【解析】分两种情况，球队在场比赛中都是平局，球队在场比赛中胜场，负场，分别求概率，求和即可．
求出淘汰的概率，利用对立事件概率可得答案．
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