2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷（含答案）

2023-2024学年吉林省长春市部分校高一下学期期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向
3.已知一组数，，，的平均数是，方差，则数据，，，的平均数和方差分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，在矩形中，，，点在边上且，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
6.在母线长为的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.平行六面体中，底面为正方形，，，为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，，，若，，共面，则实数的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.袋中有红球个，白球个，黑球个，从中任取个，则互斥的两个事件是( )
A. 至少有一个白球与都是白球 B. 恰有一个红球与白、黑球各一个
C. 至少一个白球与至多有一个红球 D. 至少有一个红球与两个白球
10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则( )
A. B.
C. D.
11.下列命题中，正确的是( )
A. 在中，，
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 在中，若，则必是等腰直角三角形
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.样本数据的上四分位数是_________．
13.在中，，则的形状为________三角形．
14.已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设，．
已知，求的值；
若，且，求的坐标．
16.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
试用表示；
求的长度．
17.本小题分
已知，向量，且满足
求点的坐标；
若点在直线为坐标原点上运动，当取最小值时，求点的坐标．
18.本小题分
从某学校的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人．
求第七组的频率；
估计该校的名男生的身高的平均数和中位数；
若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求．
19.本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱平面，，，，，为棱的中点，为棱的中点．
证明：；
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.直角
14.
15.解：由题知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 或 ．
16.解： ．
，
，
所以
．
17.解：设 ， ， ，则 ， ，
因为 ．
所以
解得 ．
所以 ，， ．
因为点 在直线 为坐标原点上运动，
所以 ， ， ．
所以 ， ， ，
， ， ．
所以
．
当 时， 取得最小值．
， ，
18.解：第六组的频率为，
第七组的频率为：
．
身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，
，
估计这所学校的名男生的身高的中位数为，
则，
由，
解得，
可估计这所学校的名男生的身高的中位数为．
平均数为．
第六组的人数为人，设为，，，，
第八组的人数为人，设为，，
则有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，
事件包含的基本事件为，，，，，，，共种情况，
故．
19.解：证明：根据题意，在四棱柱中，
因为侧棱平面，所以，
又因为，则以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，，
所以，，所以，
所以，故BC；
根据题意，，，而为棱的中点，则，
，，．
所以异面直线与所成角的余弦值．
设平面的法向量为，，，
则，取，得，
点到平面的距离为：
．
第1页，共1页