2024年中考数学解答题分类汇编——方程与不等式（含解析）

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2024年中考数学解答题分类汇编——方程与不等式
一．解答题（共30小题）
1．（2024 资阳）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
2．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
3．（2024 达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
4．（2024 牡丹江）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
5．（2024 赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
6．（2024 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　 　．
7．（2024 湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
8．（2024 山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
9．（2024 威海）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．
应用 如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
10．（2024 苏州）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 　 　分钟，从B站到C站行驶了 　 　分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
①＝　 　．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．
11．（2024 江西）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
12．（2024 自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
13．（2024 甘孜州）（1）计算：|﹣|﹣2sin45°+（）0；
（2）解不等式组：．
14．（2024 青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
15．（2024 长春）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
16．（2024 广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：÷ ．
17．（2024 北京）解不等式组：．
18．（2024 山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
19．（2024 临夏州）解不等式组：．
20．（2024 扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
21．（2024 南充）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
22．（2024 成都）（1）计算：+2sin60°﹣（π﹣2024）0+|﹣2|；
（2）解不等式组：．
23．（2024 上海）解方程组：．
24．（2024 盐城）求不等式≥x﹣1的正整数解．
25．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
26．（2024 凉山州）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．
27．（2024 眉山）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上．
28．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
29．（2024 广西）解方程组：．
30．（2024 兰州）解不等式组：．
方程与不等式
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2024 资阳）2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．
（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；
（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？
【分析】（1）根据题意，购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200，列出二元一次方程组，求解即可．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，列出一元一次不等式即可．
【解答】解：（1）设出A，B两款纪念品的进货单价分别为x，y．
则，
解得，
答：A，B两款纪念品的进货单价分别为80元和60元．
（2）设购买m件B种纪念品，（70﹣m）件A种纪念品，
根据题意，得60m+80（70﹣m）≤5000，
解得m≥30，
答：至少应购买B款纪念品30个．
【点评】本题考查了一元一次不等式以及二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意，根据题意建立等量关系．
2．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价x/元 … 45 55 65 …
日销售量y/件 … 55 45 35 …
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，明理由．
【分析】（1）依据题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），可得，求出k，b即可得解；
（2）依据题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，又销售额是2600元，从而可得x2﹣100x+2600＝0，又Δ＝（﹣100）2﹣4×2600＝﹣400＜0，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设一次函数的关系式为y＝kx+b，
又结合表格数据图象过（45，55），（55，45），
∴．
∴．
∴所求函数关系式为y＝﹣x+100．
（2）由题意，销售额＝x（﹣x+100）＝﹣x2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600＝﹣x2+100x．
∴x2﹣100x+2600＝0．
∴Δ＝（﹣100）2﹣4×2600
＝10000﹣10400
＝﹣400＜0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
【点评】本题主要一元二次方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
3．（2024 达州）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元，且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．
（1）求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
（2）已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元，乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、B两种柑橘礼盒共1000盒，且A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【分析】（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，根据出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，根据A品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍，总成本不超过54050元，列出一元一次不等式组，解得595≤m≤600，再设收益为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种柑橘礼盒每件的售价为x元，则B种柑橘礼盒每件的售价为（x+20）元，
由题意得：25x+15（x+20）＝3500，
解得：x＝80，
∴x+20＝100，
答：A种柑橘礼盒每件的售价为80元，B种柑橘礼盒每件的售价为100元；
（2）设销售A种柑橘礼盒为m盒，则销售B种柑橘礼盒为（1000﹣m）盒，
由题意得：，
解得：595≤m≤600，
设收益为w元，
由题意得：w＝（80﹣50）m+（100﹣60）（1000﹣m）＝﹣10m+40000，
∵﹣10＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝595时，w有最大值＝﹣10×595+40000＝34050，
此时，1000﹣m＝1000﹣595＝405，
答：使农户收益最大，应该安排销售A种柑橘礼盒为595盒，B种柑橘礼盒为405盒，农户在这次农产品展销活动中的最大收益为34050元．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．
4．（2024 牡丹江）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题：
（1）特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
（2）某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案．
【分析】（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可；
（2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可；
（3）分别根据（2）中三种方案分别求解即可．
【解答】解：（1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，
则，
解得：，
故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元；
（2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇（80﹣m）箱，
则，
解得：40≤m≤42，
∵m为正整数，
∴m＝40，41，42，
故该商店有三种进货方案，
分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱；
②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱；
③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱；
（3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时：
根据题意得（40﹣1）×（50﹣40）+（40﹣1）×（180﹣150）+（50 ﹣40）+（180 ﹣150）＝1577，
解得：a＝9；
当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时：
根据题意得（41﹣1）×（50﹣40）+（39﹣1）×（180﹣150）+（50 ﹣40）+（180 ﹣150）＝1577，
解得：a≈9.9（是小数，不符合要求）；
当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时：
根据题意得（42﹣1）×（50﹣40）+（38﹣1）×（180﹣150）+（50 ﹣40）+（180 ﹣150）＝1577，
解得：a≈10.7（不符合要求）；
故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
5．（2024 赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．
（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；
（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？
【分析】（1）依据题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，则＝，计算即可得解；
（2）依据题意，设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15﹣m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米，从而可得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135，又m≥2（15﹣m），则m≥10，再结合一次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，
则＝，
∴x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
∴x+3＝9．
答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米．
（2）设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15﹣m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米，
由题意得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135．
又m≥2（15﹣m），
∴m≥10．
又﹣3＜0，
∴w随x的增大而减小．
∴当m＝10时，w有最大值，最大值为w＝﹣3×10+135＝105．
答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6．（2024 天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 　x≤1　；
（Ⅱ）解不等式②，得 　x≥﹣3　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为 　﹣3≤x≤1　．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式进行求解即可．
【解答】解：解不等式①得，
x≤1．
解不等式②得，
x≥﹣3．
将不等式①和②的解集在数轴上表示出来，如图所示，
所以原不等式组的解集为：﹣3≤x≤1．
故答案为：x≤1，x≥﹣3，﹣3≤x≤1．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式（组）的步骤是解题的关键．
7．（2024 湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富．已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．
（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；
（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？
【分析】（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵，根据总费用不超过38000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；
（2）设可以购买脐橙树苗m棵，则购买黄金贡柚树苗（1000﹣m）棵，
由题意得：50m+30（1000﹣m）≤38000，
解得：m≤400，
答：最多可以购买脐橙树苗400棵．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找出数量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
8．（2024 山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【分析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，根据从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，
根据题意得：，
解得：，
即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2024 威海）定义 我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a．
应用 如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
【分析】（1）根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解；
（2）先表示点A，B到原点距离之和，再分类讨论求出最小值．
【解答】解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度，
则：|（﹣3+x）﹣（12﹣2x）|＝3，
解得：x＝4或x＝6，
答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；
（2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y，
则y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|，
当x≤3时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝3﹣x+12﹣2x＝﹣3x+15，
当x＝3时，y值最小，为6，
当3＜x≤6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x+12﹣2x＝﹣x+9，
当x＝6时，y值最小，为3，
当x＞6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x﹣12+2x＝3x﹣15，
当x＝6时，y有极小值，为3，
综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和绝对值，找到相等关系是解题的关键．
10．（2024 苏州）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
（1）D1001次列车从A站到B站行驶了 　90　分钟，从B站到C站行驶了 　60　分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为v1，离A站的路程为d1；G1002次列车的行驶速度为v2，离A站的路程为d2．
①＝　　．
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则t＝75），已知v1＝240千米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25≤t≤150），若|d1﹣d2|＝60，求t的值．
【分析】（1）直接根据表中数据解答即可；
（2）①分别求出D1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可；
②先求出v2，A与B站之间的路程，G1002次列车经过B站时，对应t的值，从而得出当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，然后分25≤t＜90，90≤t≤100，100＜t≤110，110＜t≤150讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可．
【解答】解：（1）D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟，从B站到C站行驶了60分钟，
故答案为：90，60；
（2）①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90+60＝150分钟，G1002次列车从A站到C站共需35+60+30＝125分钟，
∴150v1＝125v2，
∴，
故答案为：；
②∵v1＝4（千米/分钟），，
∴v2＝4.8（千米/分钟），
∵4×90＝360（千米），
∴A与B站之间的路程为360千米，
∵360÷4.8＝75（分钟），
∴当t＝100时，G1002次列车经过B站，
由题意可知，当90≤t≤110时，D1001次列车在B站停车，
∴G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，
i．当25≤t＜90时，d1＞d2，
∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，
∴4t﹣4.8（t﹣25）＝60，
t＝75（分钟）；
ⅱ．当90≤t≤100时，d1≥d2，
∴|d1﹣d2|＝d1﹣d2，
∴360﹣4.8（t﹣25）＝60，
t＝87.5（分钟），不合题意，舍去；
ⅱi．当100＜t≤110时，d1＜d2，
∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，
∴4.8（t﹣25）﹣360＝60，
t＝112.5（分钟），不合题意，舍去；
iv．当110＜t≤150时，d1＜d2，
∴|d1﹣d2|＝d2﹣d1，
∴4.8（t﹣25）﹣[360+4（t﹣110）]＝60，
t＝125（分钟）；
综上所述，当t＝75或125时，|d1﹣d2|＝60．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
11．（2024 江西）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【分析】（1）根据数学本和语文本的厚度，结合数学书和语文书的本书即可解决问题．
（2）用书架宽减去10本语文书的厚度，再利用数学书的本书即可解决问题．
【解答】解：（1）设书架上数学书x本，则语文书（90﹣x）本，
根据题意得，
0.8x+1.2（90﹣x）＝84，
解得x＝60，
所以90﹣x＝30，
答：书架上数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
则10×1.2+0.8m≤84，
解得m≤90，
所以数学书最多还可以摆90本．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，能根据题意找出题中的等量关系并建立方程及不等式是解题的关键．
12．（2024 自贡）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【分析】设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，根据“甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同”列出分式方程，求解即可．
【解答】解：设乙组同学平均每小时包x个粽子，则甲组同学平均每小时包（x+20）个粽子，
根据题意得＝，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，
x+20＝100．
答：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学平均每小时包80个粽子．
【点评】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键．
13．（2024 甘孜州）（1）计算：|﹣|﹣2sin45°+（）0；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的意义计算，然后进行二次根式的混合运算即可；
（2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）原式＝
＝1
＝1；
（2）由①得：x＞1，
由②得：x≤3，
则不等式组的解集为1＜x≤3．
【点评】本题考查的了实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（2024 青海）（1）解一元二次方程：x2﹣4x+3＝0；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【分析】（1）利用因式分解法即可求出方程的解；
（2）根据勾股定理分类讨论即可求出答案．
【解答】解：（1）x2﹣4x+3＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（2）当3是直角三角形的斜边时，第三边＝＝2，
当1和3是直角三角形的直角边时，第三边＝＝，
∴第三边的长为2或．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和勾股定理，利用分类讨论得出是解题关键．
15．（2024 长春）《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数和金价各是多少？请解答这个问题．
【分析】设合伙人数为x人，根据每人出400钱，剩余3400钱，每人出300钱，剩余100钱，列一元一次方程，解得x的值，可得合伙人数和金价各是多少．
【解答】解：设合伙人数为x人，
由题意得，400x﹣3400＝300x﹣100，
解得：x＝33，
∴400x﹣3400＝9800（钱），
答：合伙人数为33人，金价为9800钱．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，设合伙人数为x人，根据每人出400钱，剩余3400钱，每人出300钱，剩余100钱，列方程求解是本题的关键．
16．（2024 广州）关于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有两个不等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：÷ ．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．
（2）根据m的取值范围化简即可．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，
解得m＞3；
（2）∵m＞3，
∴m﹣3＞0，
∴÷
＝
＝﹣2．
【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题意得到关于m的不等式是解题的关键．
17．（2024 北京）解不等式组：．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可解决问题．
【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜4+2x得，
x＜7，
解不等式得，
x＞﹣1，
所以不等式组的解集为：﹣1＜x＜7．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
18．（2024 山西）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【分析】设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50﹣x）个，根据学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，列出一元一次不等，解不等式即可．
【解答】解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50﹣x）个，
根据题意得：540x+380（50﹣x）≤21000，
解得：x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
19．（2024 临夏州）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（2024 扬州）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后求出整数解的和即可．
【解答】解：解不等式2x﹣6≤0，得：x≤3，
解不等式x，得：x，
则不等式组的解集为x≤3，
所以整数解为1，2，3，整数解的和为6．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
21．（2024 南充）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0的两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）根据k的取值范围确定整数k的值为2，3，4，当k＝2时，解一元二次方程得到x1＝1，x2＝3，满足x1，x2都是整数，当k＝3或4时，此时方程解不为整数，故k的值为2．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k+1）＝4k2﹣4k2+4k﹣4＝4k﹣4＞0，
解得k＞1．
（2）∵1＜k＜5，
∴整数k的值为2，3，4，
当k＝2时，方程为 x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
当k＝3或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，k的值为2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根即Δ＞0，并且考查了根与系数的关系．
22．（2024 成都）（1）计算：+2sin60°﹣（π﹣2024）0+|﹣2|；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先化简二次根式，然后根据零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原式＝4+2×﹣1+2﹣
＝4+﹣1+2﹣
＝5；
（2）解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜9，
所以不等式组的解集是﹣2≤x＜9．
【点评】本题考查了实数的运算和解一元一次不等式组等知识点，能根据实数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解（2）的关键．
23．（2024 上海）解方程组：．
【分析】由①得出（x﹣4y）（x+y）＝0，求出x﹣4y＝0或x+y＝0，求出x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y代入②得出4y+2y＝6，求出y＝1，求出x，再把x＝﹣y代入②得出﹣y+2y＝6，再求出x即可．
【解答】解：，
由①，得（x﹣4y）（x+y）＝0，
x﹣4y＝0或x+y＝0，
x＝4y或x＝﹣y，
把x＝4y代入②，得4y+2y＝6，
解得：y＝1，
即x＝4×1＝4；
把x＝﹣y代入②，得﹣y+2y＝6，
解得：y＝6，
即x＝﹣6，
所以方程组的解是，．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能根据x2﹣3xy﹣4y2＝0求出x﹣4y＝0或x+y＝0是解此题的关键．
24．（2024 盐城）求不等式≥x﹣1的正整数解．
【分析】根据解一元一次不等式的步骤对所给不等式进行求解，并写出正整数解即可．
【解答】解：，
1+x≥3x﹣3，
x﹣3x≥﹣3﹣1，
﹣2x≥﹣4，
x≤2．
所以此不等式的正整数解为：1，2．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
25．（2024 连云港）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】根据不等式的运算法则进行计算．
【解答】解：，
x﹣1＜2（x+1），
x﹣1＜2x+2，
x﹣2x＜2+1，
﹣x＜3，
x＞﹣3．
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
【点评】本题考查了解不等式，要注意在不等式两边都除以一个负数时，要改变不等号的方向．
26．（2024 凉山州）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：﹣3＜4x﹣7≤9，
即，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1＜x≤4，
所以不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解是2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
27．（2024 眉山）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：﹣1≤，
2（x+1）﹣6≤3（2﹣x），
2x+2﹣6≤6﹣3x，
2x+3x≤6+6﹣2，
5x≤10，
x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．（2024 吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．
【分析】设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，根据键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设白色琴键的个数为x个，黑色琴键的个数为y个，
由题意得：，
解得：，
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
29．（2024 广西）解方程组：．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①+②，得2x＝4，解得x＝2；
①﹣②，得4y＝2，解得y＝；
∴方程组的解为．
【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
30．（2024 兰州）解不等式组：．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，得出解集．
【解答】解：，
由①得：x＞﹣6，
由②得：x＜1，
∴﹣6＜x＜1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再求出公共部分是解题的关键．