2024年中考数学解答题分类汇编——数与式（含解析）

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2024年中考数学解答题分类汇编——数与式
一．解答题（共21小题）
1．（2024 资阳）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
2．（2024 兰州）先化简，再求值：，其中a＝4．
3．（2024 黑龙江）先化简，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．
4．（2024 包头）（1）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝2．
（2）解方程：﹣2＝．
5．（2024 浙江）计算：．
6．（2024 北京）计算：．
7．（2024 苏州）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝﹣3．
8．（2024 扬州）（1）计算：|π﹣3|+2sin30°﹣（﹣2）0；
（2）化简：÷（x﹣2）．
9．（2024 烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（+）÷，再求值．
10．（2024 凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　 　，前15行的点数之和为 　 　，那么，前n行的点数之和为 　 　．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　 　（填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
11．（2024 眉山）计算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|．
12．（2024 云南）计算：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°．
13．（2024 滨州）计算：．
14．（2024 上海）计算：．
15．（2024 山东）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝1．
16．（2024 遂宁）先化简：（1﹣）÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
17．（2024 重庆）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）（1+）÷．
18．（2024 台湾）「健康饮食餐盘」是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积比，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量比．某研究机构对于一般人如何搭配「谷类」、「蛋白质」、「蔬菜」、「水果」这四大类食物的摄取份量，以「健康标语」说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图1，并绘制了「健康饮食餐盘」如图2．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）请根据图1的「健康标语」，判断一个人每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量之间的大小关系．
（2）将图2的「健康饮食餐盘」简化为一个矩形，且其中四大类食物的区块皆为矩形，如图3所示．若要符合图1的「健康标语」，在纸上画出图3的图形，其中餐盘长为16公分，宽为10公分，则a、b是否可能同时为正整数？
19．（2024 滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝）为欧拉分式．
（1）写出P0对应的表达式；
（2）化简P1对应的表达式．
20．（2024 安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42 … 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42 …
一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　 　
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24＝（ 　 　）2﹣（ 　 　）2；
（ⅱ）4n＝　 　；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2＝　 　为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2﹣y2为奇数． 而4n﹣2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
21．（2024 福建）已知实数a，b，c，m，n满足，．
（1）求证：b2﹣12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．
数与式
参考答案与试题解析
一．解答题（共21小题）
1．（2024 资阳）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．
【分析】先根据异分母分式加减法的计算法则对括号里的算式进行化简，再将分式的除法运算转化为乘法，进行化简，可再将x＝3代入化简后的式子里计算求值即可．
【解答】解：（﹣1）÷
＝÷
＝
＝，
当x＝3时，原式＝＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．
2．（2024 兰州）先化简，再求值：，其中a＝4．
【分析】利用分式的混合运算的法则化简后，将a＝4代入运算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝
＝，
当a＝4时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
3．（2024 黑龙江）先化简，再求值：÷（﹣1），其中m＝cos60°．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用特殊锐角的三角函数值得出m的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝1﹣m，
当m＝cos60°＝时，
原式＝1﹣＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
4．（2024 包头）（1）先化简，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝2．
（2）解方程：﹣2＝．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（x+1）2﹣2（x+1）
＝x2+2x+1﹣2x﹣2
＝x2﹣1，
当x＝2时，
原式＝8﹣1＝7；
（2）﹣2＝，
x﹣2﹣2（x﹣4）＝x，
去括号，得x﹣2﹣2x+8＝x，
移项、合并同类项，得﹣2x＝﹣6．
化系数为1，得x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣4≠0，
∴x＝3是原方程的根．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（2024 浙江）计算：．
【分析】利用负整数指数幂，立方根的定义，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣2+5
＝7．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．（2024 北京）计算：．
【分析】先化简零指数幂，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可．
【解答】解：
＝1+﹣2×+
＝．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幂，特殊三角函数值等相关知识．
7．（2024 苏州）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝﹣3．
【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（+1）÷
＝
＝
＝，
当x＝﹣3时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
8．（2024 扬州）（1）计算：|π﹣3|+2sin30°﹣（﹣2）0；
（2）化简：÷（x﹣2）．
【分析】（1）先化简绝对值，三角函数，零指数幂，再按实数的运算法则进行计算；
（2）按步骤依次化简分式．
【解答】解：（1）|π﹣3|+2sin30°﹣（﹣2）0
＝
＝π﹣3；
（2）÷（x﹣2）
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握法则与性质是解题的关键．
9．（2024 烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：（+）÷，再求值．
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出m的值，代入运算即可．
【解答】解：（+）÷
＝（﹣）
＝
＝，
根据计算器可得m＝±＝±＝±2，
∵4﹣2m≠0，
∴m≠2，
当m＝﹣2时，
原式＝＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值和计算器—数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2024 凉山州）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　36　，前15行的点数之和为 　120　，那么，前n行的点数之和为 　　．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　不能　（填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【分析】（1）依次求出前n（n为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：1+2；
三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3；
三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4；
…，
所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n＝．
当n＝8时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当n＝15时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，．
（2）不能．
令得，
解得n＝，
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
（3）由题知，
前n排盆景的总数可表示为n（n+1），
令n（n+1）＝420得，
解得n1＝﹣21，n2＝20．
因为n为正整数，
所以n＝20，
即一共能摆20排．
【点评】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前n行点数之和的变化规律是解题的关键．
11．（2024 眉山）计算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|．
【分析】先化简零指数幂、负整数指数幂、三角函数、绝对值，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|
＝1+4+2×﹣（）
＝1+4+
＝6．
【点评】本题考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
12．（2024 云南）计算：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°．
【分析】先化简零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式、三角函数，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：70+（）﹣1+|﹣|﹣（）2﹣sin30°
＝1+6+﹣5﹣
＝2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
13．（2024 滨州）计算：．
【分析】先化简负整数指数幂、二次根式，再根据实数的运算法则进行计算．
【解答】解：
＝
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式等考点的运算．
14．（2024 上海）计算：．
【分析】先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．
15．（2024 山东）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝1．
【分析】（1）根据求算术平方根和负整数指数幂、有理数的减法的运算法则计算即可；
（2）先通分，然后求解即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）（2）原式＝÷
＝×
＝a﹣3；
将a＝1代入，得：
原式＝1﹣3＝﹣2．
【点评】本题主要考查实数的运算、分式的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数与分式的运算法则．
16．（2024 遂宁）先化简：（1﹣）÷，再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先化简分式，再将x＝3代入求出结果．
【解答】解：（1﹣）÷
＝
＝
＝x﹣1，
∵x﹣1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠1，x≠2，
当x＝3时，原式＝2．
【点评】本题考查了分式的化简，要注意分母不为0．
17．（2024 重庆）计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）（1+）÷．
【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减；
（2）先计算括号里面的分式加减，再进行因式分解、约分．
【解答】解：（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
（2）（1+）÷
＝
＝
＝．
【点评】此题考查了代数式的混合运算能力，关键是能准确确定计算方法和顺序，并能进行正确地计算．
18．（2024 台湾）「健康饮食餐盘」是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积比，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量比．某研究机构对于一般人如何搭配「谷类」、「蛋白质」、「蔬菜」、「水果」这四大类食物的摄取份量，以「健康标语」说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图1，并绘制了「健康饮食餐盘」如图2．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）请根据图1的「健康标语」，判断一个人每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量之间的大小关系．
（2）将图2的「健康饮食餐盘」简化为一个矩形，且其中四大类食物的区块皆为矩形，如图3所示．若要符合图1的「健康标语」，在纸上画出图3的图形，其中餐盘长为16公分，宽为10公分，则a、b是否可能同时为正整数？
【分析】（1）根据图1中的关系列出等式即可求解；
（2）根据图1的关系列出方程即可求解；
【解答】解：（1）因为蔬菜和水果合计占一半，所有蔬菜+水果＝肉类+蛋白质，
因为蔬菜＝肉类，
所以，水果＝蛋白质；
答：每日所应摄取的「水果」和「蛋白质」份量相同；
（2）存在，a＝4，b＝5，
由（1）可知，图3中水果和蔬菜两个矩形的宽的和为8公分，蛋白质和肉类的长为8公分，
水果的面积为10a，肉类的面积为8（10﹣b），蔬菜的面积为10（8﹣a），蛋白质的面积为8b，
10a＝8b，8（10﹣b）＝10（8﹣a），
5a＝4b，
因为a＜8，b＜10，
a、b同时为正整数为a＝4，b＝5．
【点评】本题考查了等式的性质和二元一次方程组，解题关键是根据题意列出方程．
19．（2024 滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称Pn＝）为欧拉分式．
（1）写出P0对应的表达式；
（2）化简P1对应的表达式．
【分析】（1）根据题意，可以写出P0对应的表达式；
（2）根据题意，先写出P1对应的表达式，然后化简即可；
【解答】解：（1）由题意可得，
P0＝++＝++；
（2）由题意可得，
P1＝++
＝﹣+
＝
＝
＝
＝0．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（2024 安徽）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）”的问题．
（1）指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
N 奇数 4的倍数
表示结果 1＝12﹣02 3＝22﹣12 5＝32﹣22 7＝42﹣32 9＝52﹣42 … 4＝22﹣02 8＝32﹣12 12＝42﹣22 16＝52﹣32 20＝62﹣42 …
一般结论 2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2 4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2　
按上表规律，完成下列问题：
（ⅰ）24＝（ 　7　）2﹣（ 　5　）2；
（ⅱ）4n＝　（n+1）2﹣（n﹣1）2　；
（2）兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…这些形如4n﹣2（n为正整数）的正整数N不能表示为x2﹣y2（x，y均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设4n﹣2＝x2﹣y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k）2﹣（2m）2＝4（k2﹣m2）为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k+1，y＝2m+1，其中k，m均为自然数， 则x2﹣y2＝（2k+1）2﹣（2m+1）2＝　4（k2﹣m2+k﹣m）　为4的倍数． 而4n﹣2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2﹣y2为奇数． 而4n﹣2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容．
【分析】（1）由所给数据可推出24＝4×6＝（6+1）2﹣（6﹣1）2＝72﹣52；
（2）结合第一问推导数据发现规律：4n＝4 n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2；
（3）利用平方差公式因式分解即可得到答案．
【解答】解：（1）4＝4×1＝（1+1）2﹣（1﹣1）2，
8＝4×2＝（2+1）2﹣（2﹣1）2，
12＝4×3＝（3+1）2﹣（3﹣1）2，
20＝4×5＝（5+1）2﹣（5﹣1）2，
24＝4×6＝（6+1）2﹣（6﹣1）2＝72﹣52，
.....．
4n＝4 n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2．
故答案为：7，5；
（2）由（1）推导的规律可知4n＝4 n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2．
故答案为：（n+1）2﹣（n﹣1）2．
（3）（2k+1）2﹣（2m+1）2＝（2k+1+2m+1）（2k+1﹣2m﹣1）＝4（k2﹣m2+k﹣m）．
故答案为：4（k2﹣m2+k﹣m）．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，结合考查了数字规律变化题型，与往年18题中考形式一致，理解题意掌握因式分解等相关知识是解题关键．
21．（2024 福建）已知实数a，b，c，m，n满足，．
（1）求证：b2﹣12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．
【分析】（1）根据题意，可得 b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac 为非负数．
（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．
【解答】解：（1）证明：∵，
∴b＝a（3m+n），c＝amn，
则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn
＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn
＝a2（9m2﹣6mn+n2）
＝a2（3m﹣n）2，
∵a，m，n是实数，
∴a2（3m﹣n）2≥0，
∴b2﹣12ac 为非负数．
（2）m，n不可能都为整数．
理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
又∵，
∴b＝a（3m+n），
∵a为奇数，
∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
又∵，
∴c＝amn，
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，m，n不可能都为整数．
【点评】本题考查的是因式分解的应用和整式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．