2024年中考数学填空题分类汇编——方程与不等式（含解析）

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2024年中考数学填空题分类汇编——方程与不等式
一．填空题（共15小题）
1．（2024 辽宁）方程的解为 　 　．
2．（2024 甘孜州）方程＝1的解为 　 　．
3．（2024 内蒙古）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 　 　．
4．（2024 长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　 　．
5．（2024 广州）定义新运算：a b＝例如：﹣2 4＝（﹣2）2﹣4＝0，2 3＝﹣2+3＝1．若x 1＝﹣，则x的值为 　 　．
6．（2024 深圳）一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　 　．
7．（2024 北京）方程的解为 　 　．
8．（2024 新疆）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　 　．
9．（2024 扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　 　分钟．
10．（2024 云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　 　．
11．（2024 达州）若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　 　．
12．（2024 山东）写出满足不等式组的一个整数解 　 　．
13．（2024 山东）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　．
14．（2024 成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　 　．
15．（2024 重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程﹣＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 　．
方程与不等式
参考答案与试题解析
一．填空题（共15小题）
1．（2024 辽宁）方程的解为 　x＝3　．
【分析】先把分式方程变形成整式方程，求解后再检验即可．
【解答】解：，
方程的两边同乘（x+2），得
5＝x+2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝3．
故答案为：x＝3．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
2．（2024 甘孜州）方程＝1的解为 　x＝3　．
【分析】先在方程两边同时乘x﹣2，得关于x的整式方程，按照解一元一次方程的方法，求出x的值，在进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘x﹣2得：
x﹣2＝1，
x＝3，
检验：把x＝3代入x﹣2≠0，
∴x＝3是原方程的解，
故答案为：x＝3．
【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤．
3．（2024 内蒙古）对于实数a，b定义运算“※”为a※b＝a+3b，例如5※2＝5+3×2＝11，则关于x的不等式x※m＜2有且只有一个正整数解时，m的取值范围是 　0≤m＜　．
【分析】根据所给定义，得出关于x的不等式，再根据此不等式只有一个正整数解，得出关于m的不等式组，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
x※m＝x+3m，
所以x+3m＜2，
解得x＜﹣3m+2．
因为此不等式有且只有一个正整数解，
所以1＜﹣3m+2≤2，
解得0≤m＜．
故答案为：0≤m＜．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
4．（2024 长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 　2009　．
【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解．
【解答】解：设这位参与者的出生年份x，选取的数字为m，
（10m+4.6）×10+1978﹣x＝915
∴100m+46+1978﹣x＝915，
∴x＝1109+100m，
∵此时中学生的出生时间应该在2000年后，
∴m＝9，
∴x＝2009．
故答案为：2009．
【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题关键．
5．（2024 广州）定义新运算：a b＝例如：﹣2 4＝（﹣2）2﹣4＝0，2 3＝﹣2+3＝1．若x 1＝﹣，则x的值为 　﹣或　．
【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可．
【解答】解：∵x 1＝﹣，
∴当x≤0时，x2﹣1＝﹣，
解得x＝﹣或x＝（不合题意，舍去）；
当x＞0时，﹣x+1＝﹣，
解得x＝；
由上可得，x的值为﹣或，
故答案为：﹣或．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
6．（2024 深圳）一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝　2　．
【分析】将x＝1代入一元二次方程，求出a的值即可．
【解答】解：由题知，
将x＝1代入一元二次方程得，
1﹣3+a＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
7．（2024 北京）方程的解为 　x＝﹣1　．
【分析】方程两边同乘x（2x+3），将分式化为整式方程求解即可．
【解答】解：
x+（2x+3）＝0
3x+3＝0
x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
8．（2024 新疆）关于x的一元二次方程x2+3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 　k＜　．
【分析】根据当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得Δ＝9﹣4k＞0，再解即可．
【解答】解：由题意得：
Δ＝9﹣4k＞0，
解得：k＜，
故答案为：k＜．
【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
9．（2024 扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　2.5　分钟．
【分析】根据题意，设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，可列：100+60x＝100x，求解即可．
【解答】解：设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人，
根据题意可列：100+60x＝100x，
解得：x＝2.5，
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是一元一次方程的应用与数学常识，根据题意正确列出方程是解题的关键．
10．（2024 云南）若一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，则实数c的取值范围为 　c＞1　．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，然后解不等式，从而可确定c的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+c＝0无实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＜0，
∴c＞1，
故答案为：c＞1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．（2024 达州）若关于x的方程﹣＝1无解，则k的值为 　2或﹣1　．
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：方程去分母得：3﹣（kx﹣1）＝x﹣2
解得：x＝，
①当x＝2时分母为0，方程无解，
即＝2，
∴k＝2时方程无解；
②当k+1＝0即k＝﹣1时，方程无解；
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
12．（2024 山东）写出满足不等式组的一个整数解 　﹣1（答案不唯一）　．
【分析】先解出一元一次不等式组的解集为﹣1≤x＜3，然后即可得出1个整数解．
【解答】解：∵，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴不等式组的一个整数解为：﹣1；
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．
13．（2024 山东）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝4﹣16m＝0，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14．（2024 成都）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为 　7　．
【分析】先利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，即可得到m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m，则m+（n﹣2）2可化为m2﹣5m+9，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，
∴m2﹣5m+2＝0，m+n＝5，
∴m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m
∴m+（n﹣2）2
＝m+（3﹣m）2
＝m2﹣5m+9
＝﹣2+9
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
15．（2024 重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程﹣＝1的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 　12　．
【分析】先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数a的值，再进行相加求解．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＜a+2，
由题意得a+2＞4，
解得a＞2；
解方程﹣＝1得，
y＝，且y≠﹣2，
当a＝8时，y＝＝﹣1；
当a＝6时，y＝＝﹣2（不合题意，舍去）；
当a＝4时，y＝＝﹣3，
∴符合条件的a有8，4，
∴8+4＝12，
即所有满足条件的整数a的值之和是12．
【点评】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．