2024年中考数学填空题分类汇编——函数（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024年中考数学填空题分类汇编——函数（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 795.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-22 10:36:57 | ||
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文档简介
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2024年中考数学填空题分类汇编——函数
一．填空题（共30小题）
1．（2024 资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．
2．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
3．（2024 通辽）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
4．（2024 广元）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
5．（2024 广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
6．（2024 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
7．（2024 包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
8．（2024 齐齐哈尔）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为 ．
9．（2024 绥化）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ．
10．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤．
其中正确的是 （填写序号）．
11．（2024 绥化）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为 ．
12．（2024 广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
13．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
14．（2024 乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y＝；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
15．（2024 陕西）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
16．（2024 福建）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 ．
17．（2024 威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2＝（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．
18．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
19．（2024 烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
20．（2024 凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
21．（2024 甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
22．（2024 滨州）将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
23．（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 ．
24．（2024 上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
25．（2024 山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
26．（2024 广安）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
27．（2024 南充）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是 .（填写序号）
28．（2024 德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 （请填写序号）．
29．（2024 自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 m2．
30．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
函数
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2024 资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 5 分钟．
【分析】根据图象求出v0，再求出小王全程以v0（米/分）的速度步行所需要的时间，进而得出答案．
【解答】解：v0＝800÷10＝80（米/分钟），
2000÷80＝25（分钟），
14+16﹣25＝5（分钟）．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据一次函数的图象得出信息是解题的关键．
2．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 4 ．
【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
3．（2024 通辽）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解．
【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
又若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．
∴m＝4，故②错误．
由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，
∴对称轴是直线x＝﹣＝m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），
∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为（m，m﹣4）．
∴顶点在直线y＝x﹣4上．
又直线y＝x与y＝x﹣4平行，
∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．
又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°，
且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×＝2．
∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
4．（2024 广元）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为 （0，4） ．
【分析】依据题意，由A在y＝x上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函数y＝上，进而可得k＝2×2＝4，进而可得反比例函数为y＝，再由翻折的性质，BC⊥OA，进而可设BC为y＝﹣x+b，则B为（0，b），设直线BC与直线OA的交点为P，建立求出P（b，b），又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函数y＝上，最后可得b×b＝4，求出b可以得解．
【解答】解：由题意，∵A在y＝x上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函数y＝上，
∴k＝2×2＝4．
∴反比例函数为y＝．
由翻折的性质，BC⊥OA，
∴可设BC为y＝﹣x+b，
∴B为（0，b）．
设直线BC与直线OA的交点为P，
∴．
∴P（b，b）．
又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函数y＝上，
∴b×b＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
5．（2024 广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可．
【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，故①正确；
②∵点B、点D在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOB＝S△AOD＝，
∴S△OBM＝S梯形AMDA′，
∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确；
③随着线段AB向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以AE的最小值逐渐趋向于OA的长度，故③错误；
④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键．
6．（2024 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 （1，3） ．
【分析】根据所给滚动方式，依次求出点An（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（2，0），
点A2的坐标为（2，0），
点A3的坐标为（），
点A4的坐标为（3，2），
点A5的坐标为（3，2），
点A6的坐标为（），
点A7的坐标为（1，3），
点A8的坐标为（1，3），
点A9的坐标为（），
点A10的坐标为（0，1），
点A11的坐标为（0，1），
点A12的坐标为（），
点A13的坐标为（2，0），
…，
由此可见，点An的坐标每12个循环一次，
因为2024÷12＝168余8，
所以点A2024的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意发现点An的坐标每12个循环一次是解题的关键．
7．（2024 包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
【分析】根据反比例函数性质分别求出a、b值，代入计算即可．
【解答】解：∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴y随x增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2，
∵反比例函数y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴y随x增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝﹣1，
∴ab＝2﹣1＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
8．（2024 齐齐哈尔）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为 ﹣6 ．
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出AB＝OC＝1，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
∵D（﹣1，3），S ABCO＝3，
∴OC OD＝3OC＝3，
∵ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积计算是关键．
9．（2024 绥化）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ﹣15 ．
【分析】作BE⊥x轴，DG⊥x轴，根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），
∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，
∴EF＝BC＝OA＝7，
∴OE＝17+7＝24，
∵BE∥DG，
∴△ODG∽△OBE，
∵OD：OB＝1：4，
∴＝，
∴，
∴DG＝，OG＝6，
∴D（﹣，6），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键．
10．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【分析】通过对称轴可判断①；（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，所以若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，判断②正确；根据抛物线的最大值判断③；根据点A和点B离对称轴的距离判断④．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，
又∵a＜0，
∴x＝m﹣1时，y＞1，
∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；
由①可得，
∴，即﹣1＜b＜0，
当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，
设顶点线坐标为，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），
∴﹣1﹣b+c＝1，
∴c＝b+2，
∴，
∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，
∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，
又，
∴点A（x1，y1）离较远，
∴对称轴，
解得：，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键．
11．（2024 绥化）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为 （） ．
【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（1，﹣），
点A2的坐标为（3，﹣），
点A3的坐标为（4，0），
点A4的坐标为（6，0），
点A5的坐标为（7，），
点A6的坐标为（9，），
点A7的坐标为（10，0），
点A8的坐标为（11，），
点A9的坐标为（13，），
点A10的坐标为（14，0），
点A11的坐标为（16，0），
点A12的坐标为（17，），
点A13的坐标为（19，），
点A14的坐标为（20，0），
…，
由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现，
又因为2024÷7＝289余1，
所以1+289×10＝2891，
则点A2024的坐标为（2891，）．
故答案为：（2891，）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键．
12．（2024 广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
【分析】以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将P（0，）代入上式，求出a的值，进而求出抛物线表达式，最后将y＝0代入表达式中即可得出答案．
【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，
由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，
将P（0，）代入上式，
解得：a＝﹣，
即抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4，
M为抛物线与x轴的交点，
即y＝﹣（x﹣5）2+4＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OM＝m．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键．
13．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 （4，1） ．
【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标．
【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，
在中，令x＝0，则y＝6，
∴点A（0，6），
令y＝0，则，
解得x＝2或x＝6，
∴点B（2，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝4，
∴A′（8，6），
∴A″（8，3），
设直线A″B的解析式为y＝kx+b，
代入A″、B的坐标得，
解得，
∴直线A″B的解析式为y＝x﹣1，
当x＝4时，y＝1，
∴C（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
14．（2024 乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 ③ （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y＝；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 0＜m≤或﹣≤m＜0 ．
【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合可作判断；
（2）分两种情况：m＞0或m＜0，分别画图计算边界点可解答．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，﹣x+3，
∴x＝3，
∴y＝﹣x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0），
∴函数y＝﹣x+3的图象上不存在“近轴点”；
②∵y＝中，在每一象限内y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝2，
当y＝1时，x＝2，
∴函数y＝的图象上不存在“近轴点”；
③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣1；
∴函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上存在“近轴点”；
故答案为：③；
（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），
∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），
分两种情况：
①当m＞0时，如图1，
当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴﹣1≤﹣2m＜0，
∴0＜m≤；
②当m＜0时，如图2，
由①知：点A的坐标为（1，﹣2m），
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴0≤﹣2m＜1，
∴﹣≤m＜0；
综上，m的取值范围为：0＜m≤或﹣≤m＜0．
故答案为：0＜m≤或﹣≤m＜0．
【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
15．（2024 陕西）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 ＜ 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得y1＝，y2＝﹣，再根据0＜m＜1，得y2＜﹣5，即可得出y1+y2＜﹣5＝﹣＜0．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝，y2＝﹣，
∵0＜m＜1，
∴y2＜﹣5，
∴y1+y2＜﹣5＝﹣＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质．
16．（2024 福建）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 （2，1） ．
【分析】根据反比例函数图象中心对称性质先求出直线AB解析式和反比例函数解析式，联立两个函数解析式求出交点坐标即可．
【解答】解：根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得，
2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，
∵点A（1，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为y＝，
联立方程组，解得或．
∴B（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性质是关键．
17．（2024 威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2＝（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ﹣1≤x＜0或x≥2 ．
【分析】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：
当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．
故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．
18．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 2 ．
【分析】作DG⊥x轴，垂足为G，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果．
【解答】解：设点B坐标为（m，），则C（m，0），
∵A（1，0），
∴AC＝m﹣1，
由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG＝，DG＝，
∴D（，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴（） ＝k ①，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，即＝（m﹣1）②，
由①②解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化、折叠问题，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
19．（2024 烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ①②④ ．
【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤．
【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2024 凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 9 ．
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C坐标，根据三角形面积公式计算面积即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOC＝＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
21．（2024 甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 能 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【分析】根据题意求出当x＝2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之不能，据此求解即可．
【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68），
∴6﹣4＝2，
在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出范围是解题的关键．
22．（2024 滨州）将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 （1，2） ．
【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，根据平移的规律求得平移后抛物线的解析式是解题的关键．
23．（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 （，） ．
【分析】根据两点之间线段最短，连接OC和AB，它们的交点P即为所求，然后求出直线OC和直线AB的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点P的坐标．
【解答】解：连接OC、AB，交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax+b，
∵点C（5，4）在直线OC上，点A（﹣1，3），B（3，﹣1）在直线AB上，
∴4＝5k，，
解得k＝，，
∴直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点P所在的位置．
24．（2024 上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 4 ．
【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”．
【解答】解：∵抛物线＝﹣（x﹣）2+，
∴x′﹣＝﹣（x′﹣）2+﹣，
解得x′﹣＝﹣2，
∴抛物线“开口大小”为2|x′﹣|＝2×|﹣2|＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
25．（2024 山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 （2，1） ．
【分析】根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是找到规律点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）．
26．（2024 广安）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
【分析】由直线l：y＝x﹣可知，点A1坐标为（1，0），可得OA1＝1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点，把y＝代入直线解析式即可求得A2的横坐标，可得A2C1＝，由于△B2A2B1是等边三角形，可得点A2；同理，A3，发现规律即可得解．
【解答】解：∵直线l：y＝x﹣与x轴负半轴交于点A1，
∴点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过B1，B2作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A1B1于点D，交x轴于点N，
∵△A1B1O为等边三角形，
∴∠OB1M＝30°，
∴MO＝A1O＝，
∴B1M＝＝，
∴B1（，），
当y＝时，＝x﹣，
解得：x＝，
∴A2C1＝，，，
∴C1D＝A2C1＝，
∴B2D＝＝，
∴B2N＝+＝，
∴当y＝时，＝x﹣，
解得：x＝，
∴A1；
而＝，
同理可得：A4的横坐标为＝，
∴点A2024的横坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解答本题的关键．
27．（2024 南充）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是 ①②④ .（填写序号）
【分析】解析式联立解方程即可判断①；由抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，则两抛物线的关于直线x＝﹣1对称，即可判断②④；由题意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，故mn＞0不一定成立，即可判断③．
【解答】解：令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝x2+mx+m得，y＝1，
∴C1与C2交点为（﹣1，1），故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线沿直线x＝﹣1对折能够重合，
∴两抛物线的关于直线x＝﹣1对称，
∴A，D两点关于（﹣1，0）对称，故④正确；
﹣﹣＝﹣2，
∴m+n＝4，故②正确；
∵抛物线C1：y＝x2+mx+m的对称轴为直线x＝﹣，抛物线C2：y＝x2+nx+n的对称轴为直线x＝﹣，C1与C2交点为（﹣1，1），
∴m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，
∴mn＞0不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
28．（2024 德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）．
【分析】依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出a＝b，根据图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；根据抛物线与直线y＝4无交点即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），
∴﹣＝﹣．
∴a＝b，
∵抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴5b+2c＜0，故②正确．
∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③错误．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，
∴顶点A（﹣，n）在直线y＝4的下方，
∴n＜4，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
29．（2024 自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 46.4 m2．
【分析】要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就 必须尽量使用原来的围墙，那么由图可知，我们尽量利用围墙的AO段 和CO段，也就是说：矩形的两个边，一边在射线OA上．一边在射线OC上．设射线OA上的这一段边长为x m．x可能小于等于AO的长8，也有可能大于 AO的长8，所以分成两种情况进行讨论
【解答】解：设矩形在射线OA上的一段长为x m．
（1）当x≤8时，，
当x＝8时，S＝46.4，
（2）当x＞8时，，
由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．
所以由（1）（2）得最大面积为 46.4m2．
故答案为：46.4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决问题．
30．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ﹣＜m＜1 ．
【分析】先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得﹣＜m＜1，
故答案为：＞，﹣＜m＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
2024年中考数学填空题分类汇编——函数
一．填空题（共30小题）
1．（2024 资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 分钟．
2．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 ．
3．（2024 通辽）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
4．（2024 广元）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为 ．
5．（2024 广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
6．（2024 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 ．
7．（2024 包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
8．（2024 齐齐哈尔）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为 ．
9．（2024 绥化）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ．
10．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤．
其中正确的是 （填写序号）．
11．（2024 绥化）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为 ．
12．（2024 广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
13．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 ．
14．（2024 乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y＝；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
15．（2024 陕西）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
16．（2024 福建）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 ．
17．（2024 威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2＝（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ．
18．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 ．
19．（2024 烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
20．（2024 凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
21．（2024 甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
22．（2024 滨州）将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 ．
23．（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 ．
24．（2024 上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
25．（2024 山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
26．（2024 广安）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
27．（2024 南充）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是 .（填写序号）
28．（2024 德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 （请填写序号）．
29．（2024 自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 m2．
30．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ．
函数
参考答案与试题解析
一．填空题（共30小题）
1．（2024 资阳）小王前往距家2000米的公司参会，先以v0（米/分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程S（单位：米）与距家的时间t（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以v0（米/分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 5 分钟．
【分析】根据图象求出v0，再求出小王全程以v0（米/分）的速度步行所需要的时间，进而得出答案．
【解答】解：v0＝800÷10＝80（米/分钟），
2000÷80＝25（分钟），
14+16﹣25＝5（分钟）．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，根据一次函数的图象得出信息是解题的关键．
2．（2024 辽宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为（3，0），若点C（2，3）在抛物线上，则AB的长为 4 ．
【分析】依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），可得，求出a，b后可得抛物线的解析式，再求得对称轴，依据对称性可得A的坐标，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+3过B（3，0），C（2，3），
∴．
∴．
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．
∵抛物线与x轴的一交点为B（3，0），
∴另一交点为A（1﹣2，0），即A（﹣1，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
3．（2024 通辽）关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4（m是常数），下列结论正确的是 ①④ （填写所有正确结论的序号）．
①当m＝0时，抛物线的对称轴是y轴；
②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣4；
③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2；
④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于2．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，逐个进行判断即可得解．
【解答】解：当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴是y轴，故①正确．
又若此抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣4）＝﹣4m+16＝0．
∴m＝4，故②错误．
由题意，∵抛物线为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4，
∴对称轴是直线x＝﹣＝m．
又抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵A（m﹣2，y1），B（m+1，y2），
∴m﹣（m﹣2）＝2＞m+1﹣m＝1．
∴y1＞y2，故③错误．
由题意，∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣4的对称轴是直线x＝m，
∴顶点为（m，m﹣4）．
∴顶点在直线y＝x﹣4上．
又直线y＝x与y＝x﹣4平行，
∴顶点到直线y＝x的距离等于两条平行线间的距离．
又直线y＝x﹣4与y轴的夹角为45°，
且y＝x﹣4是y＝x向下平移4个单位得到的，
∴两平行线间的距离为4sin45°＝4×＝2．
∴顶点到直线y＝x的距离为2，故④正确．
故答案为：①④．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
4．（2024 广元）已知y＝x与y＝（x＞0）的图象交于点A（2，m），点B为y轴上一点，将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y＝（x＞0）上点C处，则B点坐标为 （0，4） ．
【分析】依据题意，由A在y＝x上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函数y＝上，进而可得k＝2×2＝4，进而可得反比例函数为y＝，再由翻折的性质，BC⊥OA，进而可设BC为y＝﹣x+b，则B为（0，b），设直线BC与直线OA的交点为P，建立求出P（b，b），又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函数y＝上，最后可得b×b＝4，求出b可以得解．
【解答】解：由题意，∵A在y＝x上，
∴m＝2．
∴A（2，2）．
又A在反比例函数y＝上，
∴k＝2×2＝4．
∴反比例函数为y＝．
由翻折的性质，BC⊥OA，
∴可设BC为y＝﹣x+b，
∴B为（0，b）．
设直线BC与直线OA的交点为P，
∴．
∴P（b，b）．
又B与C关于直线OA对称，且B（0，b），
∴C（b，b）．
又C在反比例函数y＝上，
∴b×b＝4．
∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．
∴B（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
5．（2024 广州）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，A（1，0），C（0，2）．将线段AB沿x轴正方向平移得线段A'B'（点A平移后的对应点为A′），A'B'交函数y＝（x＞0）的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则下列结论：
①k＝2；
②△OBD的面积等于四边形ABDA′的面积；
③A'E的最小值是；
④∠B'BD＝∠BB'O．
其中正确的结论有 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征判断①，根据反比例函数k值几何意义判断②，根据矩形性质判断③④即可．
【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），
∴B（1，2），
∵矩形OABC的顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝2，故①正确；
②∵点B、点D在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△AOB＝S△AOD＝，
∴S△OBM＝S梯形AMDA′，
∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正确；
③随着线段AB向右平移的过程，平移后的线段与反比例函数的交点D也逐渐下移，此时过点D作y轴的垂线交点E也下移，所以AE的最小值逐渐趋向于OA的长度，故③错误；
④向右平移的过程中角B′BD与角BB′O变化相同，这两个角刚好是矩形BB′ND的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确．
故正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化，熟练掌握平移性质是关键．
6．（2024 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为（3，0），△OAB是等边三角形，点B坐标是（1，0），△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M（→…）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是（2，0）；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是（2，0）；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A3的坐标是（3﹣，）；如此下去，……，则A2024的坐标是 （1，3） ．
【分析】根据所给滚动方式，依次求出点An（n为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（2，0），
点A2的坐标为（2，0），
点A3的坐标为（），
点A4的坐标为（3，2），
点A5的坐标为（3，2），
点A6的坐标为（），
点A7的坐标为（1，3），
点A8的坐标为（1，3），
点A9的坐标为（），
点A10的坐标为（0，1），
点A11的坐标为（0，1），
点A12的坐标为（），
点A13的坐标为（2，0），
…，
由此可见，点An的坐标每12个循环一次，
因为2024÷12＝168余8，
所以点A2024的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能根据题意发现点An的坐标每12个循环一次是解题的关键．
7．（2024 包头）若反比例函数y1＝，y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则ab＝ ．
【分析】根据反比例函数性质分别求出a、b值，代入计算即可．
【解答】解：∵反比例函数y1＝，当1≤x≤3时，函数y1的最大值是a，
∴y随x增大而减小，当x＝1时，函数最大值a＝2，
∵反比例函数y2＝﹣，当1≤x≤3时，函数y2的最大值是b，
∴y随x增大而增大，当x＝3时，函数最大值b＝﹣1，
∴ab＝2﹣1＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
8．（2024 齐齐哈尔）如图，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为 ﹣6 ．
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出AB＝OC＝1，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
∵D（﹣1，3），S ABCO＝3，
∴OC OD＝3OC＝3，
∵ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数图象上，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积计算是关键．
9．（2024 绥化）如图，已知点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），在平行四边形ABCO中，它的对角线OB与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点D，且OD：OB＝1：4，则k＝ ﹣15 ．
【分析】作BE⊥x轴，DG⊥x轴，根据点的坐标及相似三角形性质可求出点D坐标继而求出k值．
【解答】解：如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵点A（﹣7，0），B（x，10），C（﹣17，y），
∴BE＝10，OF＝17，OA＝7，
∴EF＝BC＝OA＝7，
∴OE＝17+7＝24，
∵BE∥DG，
∴△ODG∽△OBE，
∵OD：OB＝1：4，
∴＝，
∴，
∴DG＝，OG＝6，
∴D（﹣，6），
∵点D在反比例函数图象上，
∴k＝﹣＝﹣15．
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键．
10．（2024 武汉）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论：
①b＞0；
②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1；
③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2＞﹣，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m≤．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【分析】通过对称轴可判断①；（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，所以若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，判断②正确；根据抛物线的最大值判断③；根据点A和点B离对称轴的距离判断④．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∵a＜0，
∴b＜0，故①错误；
∵0＜m＜1，
∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1，
又∵a＜0，
∴x＝m﹣1时，y＞1，
∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确；
由①可得，
∴，即﹣1＜b＜0，
当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c，
设顶点线坐标为，
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），
∴﹣1﹣b+c＝1，
∴c＝b+2，
∴，
∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2，
∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确；
∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2，
又，
∴点A（x1，y1）离较远，
∴对称轴，
解得：，故④正确；
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数系数与图象的关系，二次函数图象上的点的特征等，掌握二次函数性质是解题的关键．
11．（2024 绥化）如图，已知A1（1，﹣），A2（3，﹣），A3（4，0），A4（6，0），A5（7，），A6（9，），A7（10，0），A8（11，﹣）…，依此规律，则点A2024的坐标为 （） ．
【分析】观察所给图形及点的坐标，发现横纵坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
点A1的坐标为（1，﹣），
点A2的坐标为（3，﹣），
点A3的坐标为（4，0），
点A4的坐标为（6，0），
点A5的坐标为（7，），
点A6的坐标为（9，），
点A7的坐标为（10，0），
点A8的坐标为（11，），
点A9的坐标为（13，），
点A10的坐标为（14，0），
点A11的坐标为（16，0），
点A12的坐标为（17，），
点A13的坐标为（19，），
点A14的坐标为（20，0），
…，
由此可见，每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现，
又因为2024÷7＝289余1，
所以1+289×10＝2891，
则点A2024的坐标为（2891，）．
故答案为：（2891，）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键．
12．（2024 广西）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m．若实心球落地点为M，则OM＝ m．
【分析】以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，将P（0，）代入上式，求出a的值，进而求出抛物线表达式，最后将y＝0代入表达式中即可得出答案．
【解答】解：如图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立直角坐标系，
由题意可知，P（0，），B（5，4），其中B点为抛物线顶点，
设抛物线顶点式为：y＝a（x﹣5）2+4，
将P（0，）代入上式，
解得：a＝﹣，
即抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+4，
M为抛物线与x轴的交点，
即y＝﹣（x﹣5）2+4＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OM＝m．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系是解题的关键．
13．（2024 新疆）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD＝3．当AD+BC的值最小时，点C的坐标为 （4，1） ．
【分析】作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时，AD+BC的值最小，利用解析式求得A、B点的坐标，根据抛物线的对称性求得A′的坐标，进一步求得A″的坐标，利用待定系数法求得直线A″B的解析式，即可求得点C的坐标．
【解答】解：作A点关于对称轴的对称点A′，A′向下平移3个单位，得到A″，连接A″B，交对称轴于点C，此时AD+BC的值最小，AD+BC＝A″B，
在中，令x＝0，则y＝6，
∴点A（0，6），
令y＝0，则，
解得x＝2或x＝6，
∴点B（2，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝4，
∴A′（8，6），
∴A″（8，3），
设直线A″B的解析式为y＝kx+b，
代入A″、B的坐标得，
解得，
∴直线A″B的解析式为y＝x﹣1，
当x＝4时，y＝1，
∴C（4，1）．
故答案为：（4，1）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
14．（2024 乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点（0，1）是函数y＝x+1图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 ③ （填序号）；
①y＝﹣x+3；
②y＝；
③y＝﹣x2+2x﹣1．
（2）若一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 0＜m≤或﹣≤m＜0 ．
【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合可作判断；
（2）分两种情况：m＞0或m＜0，分别画图计算边界点可解答．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，﹣x+3，
∴x＝3，
∴y＝﹣x+3与两坐标的交点分别为（0，3）和（3，0），
∴函数y＝﹣x+3的图象上不存在“近轴点”；
②∵y＝中，在每一象限内y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝2，
当y＝1时，x＝2，
∴函数y＝的图象上不存在“近轴点”；
③∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，
当x＝1时，y＝0；当x＝0时，y＝﹣1；
∴函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上存在“近轴点”；
故答案为：③；
（2）∵y＝mx﹣3m＝m（x﹣3），
∴一次函数y＝mx﹣3m经过（3，0），
分两种情况：
①当m＞0时，如图1，
当x＝1时，y＝m﹣3m＝﹣2m，
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴﹣1≤﹣2m＜0，
∴0＜m≤；
②当m＜0时，如图2，
由①知：点A的坐标为（1，﹣2m），
∵一次函数y＝mx﹣3m图象上存在“近轴点”，
∴0≤﹣2m＜1，
∴﹣≤m＜0；
综上，m的取值范围为：0＜m≤或﹣≤m＜0．
故答案为：0＜m≤或﹣≤m＜0．
【点评】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
15．（2024 陕西）已知点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上．若0＜m＜1，则y1+y2 ＜ 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得y1＝，y2＝﹣，再根据0＜m＜1，得y2＜﹣5，即可得出y1+y2＜﹣5＝﹣＜0．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1）和点B（m，y2）均在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝，y2＝﹣，
∵0＜m＜1，
∴y2＜﹣5，
∴y1+y2＜﹣5＝﹣＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和不等式的性质，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质．
16．（2024 福建）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 （2，1） ．
【分析】根据反比例函数图象中心对称性质先求出直线AB解析式和反比例函数解析式，联立两个函数解析式求出交点坐标即可．
【解答】解：根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得，
2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，
∵点A（1，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为y＝，
联立方程组，解得或．
∴B（2，1）．
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性质是关键．
17．（2024 威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝ax+b（a≠0）与双曲线y2＝（k≠0）交于点A（﹣1，m），B（2，﹣1）．则满足y1≤y2的x的取值范围 ﹣1≤x＜0或x≥2 ．
【分析】根据两个函数的图象及两个交点坐标的横坐标直接写出不等式的解集即可．
【解答】解：由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知：
当y1≤y2时，x的取值范围为：﹣1≤x＜0或x≥2．
故答案为：﹣1≤x＜0或x≥2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合是解答本题的关键．
18．（2024 扬州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为 2 ．
【分析】作DG⊥x轴，垂足为G，利用对称性质和解直角三角形解答即可得到结果．
【解答】解：设点B坐标为（m，），则C（m，0），
∵A（1，0），
∴AC＝m﹣1，
由对称可知：AD＝m﹣1，∠DAB＝∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°，
作DG⊥x轴，垂足为G，
∴AG＝，DG＝，
∴D（，），
∵点D在反比例函数图象上，
∴（） ＝k ①，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，
∴BC＝AC，即＝（m﹣1）②，
由①②解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化、折叠问题，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
19．（2024 烟台）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ①②④ ．
【分析】利用待定系数法求出a、b、c的值即可判断①；利用根的判别式即可判断②；利用二次函数的性质可判断③；利用对称性可判断④；画出函数图形可判断⑤．
【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（2024 凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 9 ．
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C坐标，根据三角形面积公式计算面积即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOC＝＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
21．（2024 甘肃）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 能 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【分析】根据题意求出当x＝2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之不能，据此求解即可．
【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68），
∴6﹣4＝2，
在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出范围是解题的关键．
22．（2024 滨州）将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 （1，2） ．
【分析】利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，后抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，根据平移的规律求得平移后抛物线的解析式是解题的关键．
23．（2024 滨州）如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（﹣1，3），O（0，0），B（3，﹣1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小，则P点坐标为 （，） ．
【分析】根据两点之间线段最短，连接OC和AB，它们的交点P即为所求，然后求出直线OC和直线AB的解析式，将它们联立方程组，求出方程组的解，即可得到点P的坐标．
【解答】解：连接OC、AB，交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴PO+PC的最小值就是线段OC的长，PA+PB的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小的点就是点P，
设OC所在直线的解析式为y＝kx，AB所在直线的解析式为y＝ax+b，
∵点C（5，4）在直线OC上，点A（﹣1，3），B（3，﹣1）在直线AB上，
∴4＝5k，，
解得k＝，，
∴直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点评】本题考查一次函数的应用、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出点P所在的位置．
24．（2024 上海）对于一个二次函数y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′﹣m＝y′﹣k≠0，则称2|x′﹣m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 4 ．
【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据题意即可求得抛物线“开口大小”．
【解答】解：∵抛物线＝﹣（x﹣）2+，
∴x′﹣＝﹣（x′﹣）2+﹣，
解得x′﹣＝﹣2，
∴抛物线“开口大小”为2|x′﹣|＝2×|﹣2|＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次函数的性质、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
25．（2024 山东）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 （2，1） ．
【分析】根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是找到规律点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）．
26．（2024 广安）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
【分析】由直线l：y＝x﹣可知，点A1坐标为（1，0），可得OA1＝1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点，把y＝代入直线解析式即可求得A2的横坐标，可得A2C1＝，由于△B2A2B1是等边三角形，可得点A2；同理，A3，发现规律即可得解．
【解答】解：∵直线l：y＝x﹣与x轴负半轴交于点A1，
∴点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过B1，B2作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A1B1于点D，交x轴于点N，
∵△A1B1O为等边三角形，
∴∠OB1M＝30°，
∴MO＝A1O＝，
∴B1M＝＝，
∴B1（，），
当y＝时，＝x﹣，
解得：x＝，
∴A2C1＝，，，
∴C1D＝A2C1＝，
∴B2D＝＝，
∴B2N＝+＝，
∴当y＝时，＝x﹣，
解得：x＝，
∴A1；
而＝，
同理可得：A4的横坐标为＝，
∴点A2024的横坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解答本题的关键．
27．（2024 南充）已知抛物线C1：y＝x2+mx+m与x轴交于两点A，B（A在B的左侧），抛物线C2：y＝x2+nx+n（m≠n）与x轴交于两点C，D（C在D的左侧），且AB＝CD．下列四个结论：①C1与C2交点为（﹣1，1）；②m+n＝4；③mn＞0；④A，D两点关于（﹣1，0）对称．其中正确的结论是 ①②④ .（填写序号）
【分析】解析式联立解方程即可判断①；由抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，则两抛物线的关于直线x＝﹣1对称，即可判断②④；由题意可知，m＞1，n＜1或m＜1，n＞1，故mn＞0不一定成立，即可判断③．
【解答】解：令x2+mx+m＝x2+nx+n，解得x＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝x2+mx+m得，y＝1，
∴C1与C2交点为（﹣1，1），故①正确；
∵抛物线C1：y＝x2+mx+m与抛物线C2：y＝x2+nx+n的开口方向和大小相同，且AB＝CD，
∴两抛物线沿直线x＝﹣1对折能够重合，
∴两抛物线的关于直线x＝﹣1对称，
∴A，D两点关于（﹣1，0）对称，故④正确；
﹣﹣＝﹣2，
∴m+n＝4，故②正确；
∵抛物线C1：y＝x2+mx+m的对称轴为直线x＝﹣，抛物线C2：y＝x2+nx+n的对称轴为直线x＝﹣，C1与C2交点为（﹣1，1），
∴m＞2，n＜2或m＜2，n＞2，
∴mn＞0不一定成立，故③错误．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，数形结合是解题的关键．
28．（2024 德阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②5b+2c＜0；③若抛物线经过点（﹣6，y1），（5，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，则n＜4．其中正确结论是 ①②④ （请填写序号）．
【分析】依据题意，利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断①；利用抛物线的对称轴求出a＝b，根据图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断②；利用二次函数的性质即可判断③；根据抛物线与直线y＝4无交点即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（﹣，n），
∴﹣＝﹣．
∴a＝b，
∵抛物线开口方向向下，即a＜0，
∴b＜0，
当x＝0时，y＝c＞0，
∴abc＞0，故①正确．
由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0，
∴5b+2c＜0，故②正确．
∵直线x＝﹣是抛物线的对称轴，
∴点（﹣6，y1）到对称轴的距离大于点（5，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③错误．
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4无实数根，
∴顶点A（﹣，n）在直线y＝4的下方，
∴n＜4，故④正确．
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
29．（2024 自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙AB⊥CD于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 46.4 m2．
【分析】要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就 必须尽量使用原来的围墙，那么由图可知，我们尽量利用围墙的AO段 和CO段，也就是说：矩形的两个边，一边在射线OA上．一边在射线OC上．设射线OA上的这一段边长为x m．x可能小于等于AO的长8，也有可能大于 AO的长8，所以分成两种情况进行讨论
【解答】解：设矩形在射线OA上的一段长为x m．
（1）当x≤8时，，
当x＝8时，S＝46.4，
（2）当x＞8时，，
由于在x＞8的范围内，S均小于46.4．
所以由（1）（2）得最大面积为 46.4m2．
故答案为：46.4．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决问题．
30．（2024 成都）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若0＜x1＜1，x2＞4，则y1 ＞ y2（填“＞”或“＜”）；若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是 ﹣＜m＜1 ．
【分析】先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∵0＜x1＜1，x2＞4，
∴2﹣x1＜x2﹣2，即（x1，y1）比（x2，y2）离对称轴直线的水平距离近，
∴y1＞y2；
∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，
∴x1＜x2＜x3，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，
∴x1＜2，x3＞2，且A（x1，y1）离对称轴最远，B（x2，y2）离对称轴最近，
∴2﹣x1＞x3﹣2＞|x2﹣2|，
∴x1+x3＜4，且 x2+x3＞4，
∵2m+2＜x1+x3＜2m+4，2m+3＜x2+x3＜2m+5，
∴2m+2＜4，且2m+5＞4，
解得﹣＜m＜1，
故答案为：＞，﹣＜m＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
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