2024年中考数学选择题题分类汇编——图形的变化（含解析）

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2024年中考数学选择题题分类汇编——图形的变化
一．选择题（共30小题）
1．（2024 资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
3．（2024 长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）
4．（2024 泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024 牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（　　）
A．8cm B． C． D．
6．（2024 深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　）
（参考数据：，，
A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
7．（2024 天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE
8．（2024 北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
9．（2024 山西）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024 湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　）
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC
11．（2024 湖北）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）
12．（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（　　）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
13．（2024 威海）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（　　）
A．若＝，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
14．（2024 福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　）
A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB
C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°
15．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2024 盐城）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（　　）
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
17．（2024 连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
18．（2024 德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米．
A．20 B．15 C．12 D．10+5
19．（2024 德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
20．（2024 南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2024 泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（　　）
A． B． C． D．
22．（2024 南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF＝，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为5+5．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
23．（2024 重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
24．（2024 台湾）如图1，等腰梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，且E点在BC上，DE∥AB．今以DE为折线将C点向左折后，C点恰落在AB上，如图2所示．若CE＝2，DE＝4，则图2的BC与AC的长度比为何？（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
25．（2024 自贡）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．5
26．（2024 自贡）如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4）
27．（2024 资阳）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）
28．（2024 黑龙江）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
29．（2024 湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　）
A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
30．（2024 眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（　　）
A． B． C． D．
图形的变化
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．（2024 资阳）第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值．
【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x，
∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，
∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x，
∴AE＝4x，
∵∠AEB＝90°，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2024 广元）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】连接BD，根据旋转的性质得出∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，再根据勾股定理求出BD的长，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的长即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，
∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，
又CD＝3，BC＝1，
∴BD＝，
∴AD＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．
3．（2024 长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）
【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题．
【解答】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2，
所以点P′的坐标为（3，7）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．
4．（2024 泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
所以中心对称图形有3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（2024 牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：
第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
第二步，如图②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕MN于点E，则线段EN的长为（　　）
A．8cm B． C． D．
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质推出∠ANM＝∠D′AN，进而得出EA＝AN，设EA＝AN＝x cm，则EM＝（12﹣x）cm，根据勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，列出方程求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10cm，
由折叠可得：，AD＝AD′＝12cm，MN⊥AB，∠DAN＝∠D′AN，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN∥AD，MN＝AD＝12cm，
∴∠DAN＝∠ANM，
∴∠ANM＝∠D′AN，
∴EA＝EN，
设EA＝EN＝x cm，则EM＝（12﹣x）cm，
在Rt△AME中，根据勾股定理可得：AM2+ME2＝AE2，
即52+（12﹣x）2＝x2，
解得：，
即，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
6．（2024 深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为（　　）
（参考数据：，，
A．22.7m B．22.4m C．21.2m D．23.0m
【分析】根据题意可得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，然后设BD＝CN＝x m，则EM＝BF＝（x+5）m，分别在Rt△AEM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AM和AN的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：EF＝BM＝1.8m，CD＝BN＝1.5m，DF＝5m，EM＝BF，BD＝CN，EM⊥AB，CN⊥AB，
设BD＝CN＝x m，
∴EM＝BF＝DF+BD＝（x+5）m，
在Rt△AEM中，∠AEM＝45°，
∴AM＝EM tan45°＝（x+5）m，
在Rt△ACN中，∠ACN＝53°，
∴AN＝CN tan53°≈x（m），
∵AM+BM＝AN+BN＝AB，
∴x+5+1.8＝x+1.5，
解得：x＝15.9，
∴AN＝x＝21.2（m），
∴AB＝AN+BN＝21.2+1.5＝22.7（m），
∴电子厂AB的高度约为22.7m，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
7．（2024 天津）如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ACB＝∠ACD B．AC∥DE C．AB＝EF D．BF⊥CE
【分析】先根据旋转性质得∠BCE＝∠ACD＝60°，结合∠B＝30°，即可得证BF⊥CE，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析AC∥DE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的．
【解答】解：设BF与CE相交于点H，如图所示：
∵△ABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE＝∠ACD＝60°，
∵∠B＝30°，
∴在△BHC中，∠BHC＝180°﹣∠BCE﹣∠B＝90°，
∴BF⊥CE，故D选项正确；
设∠ACH＝x°，
∴∠ACB＝60°﹣x°，
∵∠B＝30°，
∴∠EDC＝∠BAC＝180°﹣30°﹣（60°﹣x°）＝90°+x°，
∴∠EDC+∠ACD＝90°+x°+60°＝150°+x°，
∵x°不一定等于30°，
∴∠EDC+∠ACD不一定等于180°，
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不正确；
∵∠ACB＝60°﹣x°，∠ACD＝60°，x°不一定等于0°，
∴∠ACB＝∠ACD不一定成立，故A选项不正确；
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴AB＝ED＝EF+FD，
∴BA＞EF，故C选项不正确；
故选：D．
【点评】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
8．（2024 北京）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，O为对角线的交点．将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A′B′C′D′，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形BFB′GDHD′E给出下面四个结论：
①该八边形各边长都相等；
②该八边形各内角都相等；
③点O到该八边形各顶点的距离都相等；
④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】通过△AD'H≌△C'DH和△A'BE≌△C'DH可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过角度计算判断②；通过长度计算判断③．
【解答】解：延长BD和DB，连接OH，
∵菱形ABCD，∠BAD＝60°，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，∠AOD＝∠AOB＝90°，
∵菱形ABCD绕点O逆时针旋转 90° 得到菱形 A'B'C'D'，
∴点A′，D′，B′，C′一定在对角线AC，BD上，且 OD＝OD'＝OB＝OB'，OA＝OA'＝OC＝OC'，
∴AD'＝C'D，∠D'AH＝∠DC'H＝30°，
∵∠D′HA＝∠DHC′，
∴△AD'H≌△C'DH（AAS），
∴D′H＝DH，C′H＝AH，
同理可证 D'E＝BE，BF＝B'F，B'G＝DG，
∵∠EA'B＝∠HC'D＝30°，A′B＝C′D，∠A'BE＝∠C'DH＝120°，
∴△A'BE≌△C'DH（ASA），
∴DH＝BE，
∴DH＝BE＝D′H＝D′E＝BF＝FB′＝B′G＝DG，
∴该八边形各边长都相等，故①正确；
根据角的平分线的性质定理，得点O到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；
根据题意，得∠ED'H＝120°，
∵∠D'OD＝90°，∠OD'H＝∠ODH＝60°，
∴∠D'HD＝150°，
∴该八边形各内角不相等，故②错误；
∵OD＝OD′，D′H＝DH，OH＝OH，
∴△D'OH≌△DOH（SSS），
∴∠D'OH＝∠DOH＝45°，∠D'HO＝∠DHO＝75°，
∴OD≠OH，
∴点O到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．（2024 山西）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形．
【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的概念，要注意看不见的线应当画虚线．
10．（2024 湖南）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点．下列结论中，错误的是（　　）
A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC
C．BC＝2DE D．S△ADE＝S△ABC
【分析】根据题中所给条件可得出△ADE与△ABC相似，再根据相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：∵点D，E分别为边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE．
故A、C选项不符合题意．
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
故B选项不符合题意．
∵△ADE∽△ABC，
∴，
则．
故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积及三角形中位线定理，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2024 湖北）平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）
【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质求解．
【解答】解：过A作AC⊥y轴于点C，过A′作A′B⊥x轴于点B，
则：AC＝4，CO＝6，∠ACO＝∠A′BO＝90°，
∴∠A+∠AOC＝∠AOC+∠CAA′＝90°，
∴∠A＝∠COA′，
∵AO＝A′O，
∴△AOC≌△A′OB（AAS），
∴A′B＝AC＝4，OB＝OC＝6，
∴A′（6，4），
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变换﹣旋转，掌握旋转的性质及全等三角形的性质是解题的关键．
12．（2024 威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，{a，b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（a≥0）或负方向（a＜0）平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向（b≥0）或负方向（b＜0）平移|b|个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（﹣2，1）．
②加法运算法则：{a，b}+{c，d}＝{a+c，b+d}，其中a，b，c，d为实数．
若{3，5}+{m，n}＝{﹣1，2}，则下列结论正确的是（　　）
A．m＝2，n＝7 B．m＝﹣4，n＝﹣3 C．m＝4，n＝3 D．m＝﹣4，n＝3
【分析】根据题中所给定义，建立关于m和n方程即可解决问题．
【解答】解：由题知，
3+m＝﹣1，5+n＝2，
解得m＝﹣4，n＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移及实数的运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于m和n的方程是解题的关键．
13．（2024 威海）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（　　）
A．若＝，则EF∥BD
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，则EF∥BD
C．若EF∥BD，CE＝CF，则∠EAC＝∠FAC
D．若AB＝AD，AE＝AF，则EF∥BD
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可判断A；根据题意可得四边形CA是∠BCD的角平分线，进而判断四边形ABCD是菱形，证明Rt△ACE≌Rt△AFC可得CE＝CF，则AC垂直平分EF，即可判断B选项；证明四边形ABCD是菱形，即可判断C选项；D选项给的条件，若加上BE＝DF，则成立，据此，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
A．若，即，
又∵∠ECF＝∠BCD，
∴△CEF∽△CBD，
∴∠CEF＝∠CBD，
∴EF∥BD，
故A选项正确；
B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF，
∴CA是∠BCD的角平分线，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△ACE和Rt△AFC中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFC（HL），
∴CE＝CF，
又∵AE＝AF，
∴AC⊥EF
∴EF∥BD，
故B选项正确；
C．∵CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵EF∥BD，
∴∠CBD＝∠CEF，∠CDB＝∠CFE，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵EF∥BD，
∴AC⊥EF，
∵CE＝CF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE＝AF，
∴∠EAC＝∠FAC，
故C选项正确；
D．若AB＝AD，则四边形ABCD是菱形，
当AE＝AF，且BE＝DF时，可得AC垂直平分EF，
∵AC⊥BD，
∴EF∥BD，
故D选项不正确，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理与相似三角形的判定定理．
14．（2024 福建）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（　　）
A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB
C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°
【分析】先根据轴对称的性质得出△OAB≌△ODC，所以∠AOB＝∠COD，再由等腰三角形三线合一的性质可知∠AOE＝∠BOD＝∠AOB，∠COF＝∠DOF＝∠COD，故∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，再由OE⊥OF即可判断A；由轴对称的性质可判断B；由全等三角形的性质可判断出C；根据A中的结论可判断D．
【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，∠COF＝∠DOF＝∠COD，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∵∠BOE＝∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF＝90°，
∴OB⊥OD，故A正确；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误；
∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE＝OF，故C正确；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD＝90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC＝90°，
∵∠COF＝∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC＝90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC＝90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°，
即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，等腰三角形的性质及全等三角形的性质，熟知关于轴对称的两个三角形全等是解题的关键．
15．（2024 滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
16．（2024 盐城）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（　　）
A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板
C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车
【分析】依次对选项中的现实运动作出判断即可．
【解答】解：因为工作中的雨刮器的运动方式属于旋转，
所以A选项不符合题意．
因为移动中的黑板的运动方式属于平移，
所以B选项不符合题意．
因为折叠中的纸片的运动方式属于翻折，
所以C选项符合题意．
因为骑行中的自行车的运动方式属于平移，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了生活中的平移现象及生活中的旋转现象，熟知平移、旋转及翻折的性质是解题的关键．
17．（2024 连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（　　）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
18．（2024 德阳）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° （AB、CD在同一平面内，B、D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（　　）米．
A．20 B．15 C．12 D．10+5
【分析】设过点A的水平线于CD交于点E，在Rt△BCD中，用CD表示BD，在Rt△ACE中，用CD表示AE，再利用AE＝BD列方程即可求出CD．
【解答】解：设过点A的水平线于CD交于点E，如图，
由题意，知：四边形ABDE是矩形DE＝AB＝10米，AE＝BD，
在Rt△BCD中，
BD＝＝CD，
在Rt△ACE中，
AE＝＝（CD﹣DE＝（CD﹣10），
∴（CD﹣10）＝CD，
解得CD＝15（米），
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．（2024 德阳）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形（AB＜BC），点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据题意可知点P在以BC为直径的圆上，得出AD与此圆的位置关系即可解决问题．
【解答】解：∵PB⊥PC，
∴点P在以BC为直径的圆上．
如图所示，
∵四边形ABCD是黄金矩形，
∴令AB＝CD＝（）a，AD＝BC＝2a，
∴⊙M的半径为a．
∵＞0，
∴AD边与⊙M相离，
∴AD边上满足PB⊥PC的点P的个数为0．
故选：D．
【点评】本题考查黄金分割及矩形的性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
20．（2024 南充）如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE＝mAB，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】令AB的长为2a，根据题中所给作图步骤，可得出BC的长为a，再用勾股定理表示出AC的长，进而可得出AD（即AE）的长，据此可解决问题．
【解答】解：令AB的长为2a，
则BC＝，
在Rt△ABC中，
AC＝．
因为CD＝CB，AE＝AD，
所以AE＝，
则AE＝AB，
所以m的值为．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割，能用含a的代数式表示AE及AB的长是解题的关键．
21．（2024 泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，再根据翻折的性质及等角对等边得出EC＝EA，最后利用勾股定理表示出DE及AE即可．
【解答】解：由题知，
令AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，
由翻折可知，
∠EAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
令DE＝x，
则AE＝EC＝2a﹣x，
在Rt△ADE中，
[（）a]2+x2＝（2a﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝，AE＝2a﹣＝．
在Rt△DAE中，
sin∠DAE＝．
故选：A．
【点评】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，熟知黄金分割的定义、矩形的性质及正弦的定义是解题的关键．
22．（2024 南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB＝10．下列三个结论：①若tan∠ADF＝，则EF＝2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG′的最大值为5+5．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】根据∠ADF的正切值，结合勾股定理可求出EF的值．根据△ABG的面积与正方形EFGH面积之间的关系，得出关于AG和FG的方程，据此可解决问题．得出点G′的运动轨迹即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ADF中，
tan∠ADF＝＝．
令AF＝3x，DF＝4x，
则（3x）2+（4x）2＝102，
解得x＝2（舍负），
所以AF＝6，DF＝8．
因为外部的四个直角三角形全等，
所以DE＝AF＝6，
所以EF＝8﹣6＝2．
故①正确．
因为Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
所以＝3FG2．
因为BG＝AF＝AG﹣FG，
所以，
整理得，
6FG2+FG AG﹣AG2＝0．
则，
解得（舍负），
则点F是AG的三等分点．
故②正确．
由旋转可知，
∠AG′D＝∠AGB＝90°，
所以点G′在以AD为直径的圆上．
在Rt△ABM中，
BM＝．
当点B，M，G′共线时，BG′取得最大值，
此时BG′＝．
故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查旋转的性质、勾股定理及解直角三角形，熟知图形旋转的性质及勾股定理是解题的关键．
23．（2024 重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
24．（2024 台湾）如图1，等腰梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝∠C，且E点在BC上，DE∥AB．今以DE为折线将C点向左折后，C点恰落在AB上，如图2所示．若CE＝2，DE＝4，则图2的BC与AC的长度比为何？（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5
【分析】先证得△BCE∽△ECD，得出＝，即＝，求得BC＝1，再由AC＝AB﹣BC可得AC＝3，即可求得答案．
【解答】解：如图2，
由折叠得：∠DEC′＝∠DEC，∠DCE＝∠DC′E，DC＝DC′，CE＝C′E＝2，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE＝AB＝4，
∴AB＝DC＝DE＝DC′，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵∠B＝∠DCE，
∴∠B＝∠DCE＝∠DEC＝∠DEC′，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC﹣∠DEC′，∠CDE＝180°﹣∠DCE﹣∠DEC，
∴∠BEC＝∠CDE，
∴△BCE∽△ECD，
∴＝，即＝，
∴BC＝1，
∴AC＝AB﹣BC＝4﹣1＝3，
∴＝，
故选：B．
【点评】本题考查了梯形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．
25．（2024 自贡）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A′，B′处，EF，A′F分别交AC于点G，H．若GH＝2，HC＝8，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．5
【分析】由AD∥BC，推出＝，＝，推出＝，推出＝，可得＝．解得AG＝，再证明FG＝AG，利用勾股定理求出CF，再利用平行线分线段成比例定理求出BF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴＝，＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
∴AG＝，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF＝∠FAC，
∵EF∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠GFA，
∴FG＝AG＝，
∵CF＝＝＝，
∵BF：CF＝AG：CG＝1：3，
∴BF＝CF＝．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（2024 自贡）如图，在平面直角坐标系中，D（4，﹣2），将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置．则点B坐标为（　　）
A．（2，4） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（﹣2，4）
【分析】根据点D的坐标得出OC＝4，CD＝2，根据旋转得出OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，从而得到B的坐标为（2，4）．
【解答】解：∵D（4，﹣2），
∴OC＝4，CD＝2，
∵旋转，
∴OA＝OC＝4，AB＝CD＝2，
∴B（2，4），
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中旋转的特点，掌握旋转前后两个图形全等是解题的关键．
27．（2024 资阳）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，2） C．（﹣3，1） D．（﹣1，1）
【分析】根据直角平面坐标系内点的平移规律求解．
【解答】解：将点（﹣2，1）沿y轴向上平移1个单位后，得到的点的坐标为（﹣2，2），
故答案为：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握直角平面坐标系内点的平移规律是解题的关键．
28．（2024 黑龙江）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
29．（2024 湖北）如图，点A的坐标是（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（　　）
A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6）
【分析】根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N，
由旋转可知，
OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝∠A+∠AOM＝90°，
∴∠A＝∠BON．
在△AOM和△OBN中，
，
∴△AOM≌△OBN（AAS），
∴BN＝MO，ON＝AM．
∵点A的坐标为（﹣4，6），
∴BN＝MO＝4，ON＝AM＝6，
∴点B的坐标为（6，4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键．
30．（2024 眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cos∠CEF的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质可得AD＝BC＝8，由折叠的性质可得AF＝AD＝8，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，在Rt△EFC中，由勾股定理可求EF的长，再由三角函数定义即可求解．
【解答】解：方法一：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣，
在Rt△EFC中，
CE＝DC﹣DE＝6﹣EF，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+（8﹣）2，
∴EF＝，
∴CE＝6﹣＝，
∴cos∠CEF＝＝＝，
故选：A．
方法二：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CEF+∠EFC＝90°，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠CEF＝∠AFB，
∵AB＝6，
∴BF＝＝＝，
∴cos∠CEF＝cosAFB＝＝＝
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，二次根式的运算，灵活运用这些性质是解题的关键．