2024年中考数学选择题题分类汇编——图形的性质（含解析）

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2024年中考数学选择题题分类汇编——图形的性质
一．选择题（共30小题）
1．（2024 辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．（2024 南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．120°
3．（2024 通辽）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2
4．（2024 长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CM D．OM＝AB
5．（2024 长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
6．（2024 长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
7．（2024 内蒙古）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（　　）
A．8 B．16 C．12 D．24
8．（2024 泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
9．（2024 泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．65° B．55° C．50° D．75°
10．（2024 泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024 泰安）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30°；
②AP垂直平分线段BF；
③CE＝2BE；
④．
其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024 赤峰）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
13．（2024 广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　）
A．18 B．9 C．9 D．6
14．（2024 赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
15．（2024 雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．30°
16．（2024 黑龙江）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
17．（2024 河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　）
A．115° B．120° C．135° D．144°
18．（2024 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
19．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
20．（2024 武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．
21．（2024 武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
22．（2024 绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
23．（2024 浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　）
A．5 B． C． D．4
24．（2024 浙江）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
25．（2024 湖北）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB＝50°，则∠CBD的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
26．（2024 广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．10
27．（2024 重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
28．（2024 天津）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
29．（2024 黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：
①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC＝；④BN＝BM；⑤若AH＝HD，则S△BND＝S△AHM．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
30．（2024 达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
图形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．（2024 辽宁）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【分析】根据平行线的性质和等边三角形的性质即可解答．
【解答】证明：∵△EBC是等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠AEB＝∠CBE＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2024 南充）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1＝∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【分析】根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，得出∠3＝∠4即可．
【解答】解：如图：∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴∠3＝∠4＝100°，
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握经过两次反射后的光线与入射光线平行．
3．（2024 通辽）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2 D．AD2+OA2＝OD2
【分析】由菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OA2+OB2＝AD2，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵AD2+OA2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴不能证得 ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
4．（2024 长春）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180°
C．AM＝CM D．OM＝AB
【分析】由作图过程可知，∠AOM＝∠B，则OM∥BC，根据平行线的性质可得∠OMC+∠C＝180°．根据O是边AB的中点，OM∥BC，可得点M为AC的中点，即AM＝CM，进而可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，∠AOM＝∠B，
故A选项正确，不符合题意；
∵∠AOM＝∠B，
∴OM∥BC，
∴∠OMC+∠C＝180°，
故B选项正确，不符合题意；
∵O是边AB的中点，OM∥BC，
∴点M为AC的中点，
∴AM＝CM，
故C选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能得出OM＝AB，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．（2024 长沙）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE＝x，AF＝y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，根据直角三角形 到现在得到DH＝，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
在菱形ABCD中，AB＝6，AB∥CD，AB＝CD＝AD＝6，AD∥BC，
∴∠DCH＝∠B＝30°，∠ADF＝∠DEH，
∴DH＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠EHD＝90°，
∴△ADF∽△DEH，
∴，
∴＝，
∴y＝，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，含30°直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（2024 长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【分析】利用垂径定理，勾股定理求解即可．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴AE＝EB＝4，
∴OA＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．（2024 内蒙古）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积是（　　）
A．8 B．16 C．12 D．24
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，AD平分∠BAC，可得CD＝ED，证明Rt△ACD≌Rt△AED，可得S△ADE＝S△ACD＝8．由题意可得∠EAD＝∠B，则AD＝BD，即△ABD为等腰三角形，则S△ADE＝S△BDE＝8，进而可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AD平分∠BAC，
∴CD＝ED．
∵AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS），
∴S△ADE＝S△ACD＝8．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD＝30°，
∴∠EAD＝∠B，
∴AD＝BD，
即△ABD为等腰三角形，
∴S△ADE＝S△BDE＝8，
∴△ABD的面积为S△ADE+S△BDE＝16．
故选：B．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2024 泰安）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（　　）
A．2 B． C． D．4
【分析】E作EM⊥BC，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到AF＝MH，因为AG≥GF，所以求出MH的值即可得解．
【解答】解：如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AF⊥GM于点F，
∵∠EMF+∠EGF＝180°，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四边形MHAF是矩形，
∴MH＝AF，
∵BE＝8，
∴EM＝BE cos30°＝4，
∴MH＝EM＝2＝AF，
∴AG≥AF＝2，
∴AG最小值是2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．
9．（2024 泰安）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．65° B．55° C．50° D．75°
【分析】先利用圆周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定义得∠ABC＝25°，根据圆周角定理得∠C＝90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOD＝50°，
∴∠ABD＝∠AOD＝25°，
∵BA平分∠CBD，
∴∠ABC＝∠ABD＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．（2024 泰安）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O′的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，得三角形AOO′是等边三角形，求出AB＝，S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′＝﹣，再根据S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，AO′，作AB⊥OO′于点B，
∵OA＝OO′＝AO′＝2，
∴三角形AOO′是等边三角形，
∴∠AOO′＝60°，OB＝OO′＝1，
∴AB＝＝，
∴S弓形AO′＝S扇形AOO′﹣S△AOO′
＝﹣2××
＝﹣，
∴S阴影＝S弓形AO′+S扇形AO′O
＝﹣+
＝﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，熟练掌握扇形的面积公式是关键．
11．（2024 泰安）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：
①∠C＝30°；
②AP垂直平分线段BF；
③CE＝2BE；
④．
其中，正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】首先证明∠C＝∠EAC＝∠BAE＝30°，推出AC＝2AB，AE＝2BE，可得①②③④正确．
【解答】解：由作图可知MN垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C，
由作图可知AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠CAE＝∠BAE＝30°，故①正确，
∴AC＝2AB，
∵AF＝FC，
∴AB＝AF，
∴AP垂直平分线段BF，故②正确，
∵AE＝2BE，EA＝EC，
∴EC＝2BE，故③正确，
∴S△BEF＝S△BCF，
∵AF＝FC，
∴S△BFC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，故④正确．
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
12．（2024 赤峰）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝C′D；④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④
【分析】①先求出点B旋转的角度为36°，半径为1，即可求出路径长；②∠B′AB＝∠ABC＝36°，所以B′A∥BC；③∠DC′B＝∠ABC＝36°，所以BD＝C′D；④△B′BD∽△BAC，所以．
【解答】解：∵AB＝BC，∠C＝72°，
∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°﹣2∠C＝36°，
由旋转的性质得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，
∴∠AC′C＝∠C＝72°，
∴∠CAC'＝36°，
∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，
∴∠B′AB＝72°﹣36°＝36°，
由旋转的性质得AB′＝AB，
∴，
①点B在旋转过程中经过的路径长是，①说法正确；
②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②说法正确；
③∵∠DC′B＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，
∴BD＝C′D，③说法正确；
④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，
∴△B′BD∽△BAC，
∴，④说法正确；
综上，①②③④都是正确的，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质等，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
13．（2024 广州）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE＝CF，则四边形AEDF的面积为（　　）
A．18 B．9 C．9 D．6
【分析】由等腰直角三角形的性质可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可证△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D为边BC的中点，
∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴S△ADE＝S△CDF，
∴四边形AEDF的面积＝S△ADC＝S△ABC＝9，
故选：C．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．（2024 赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
【分析】根据垂径定理得＝，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根据圆周角定理得∠D＝∠AOC＝21°，再根据OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D＝∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
15．（2024 雅安）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）
A．55° B．45° C．35° D．30°
【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度数，因为对顶角∠2＝∠AOC，即得∠2的度数．
【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，
∴∠AOC＝55°，
∴∠2＝∠AOC＝55°，
故选：A．
【点评】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质．
16．（2024 黑龙江）如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先由菱形性质可得对角线AC与BD交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得OA＝OC＝OM＝2，进而由菱形对角线求出边长，由sin∠MAC＝sin∠OBC＝解三角形即可求出MC＝ACsin∠MAC＝，MN＝BMtan∠OBC＝．
【解答】解：连接AC，如图，
∵菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
又∵点O是BD的中点，
∴A、O、C三点在同一直线上，
∴OA＝OC，
∵OM＝2，AM⊥BC，
∴OA＝OC＝OM＝2，
∵BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，
∴BC＝＝＝2，tan∠OBC＝＝＝，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠OBC＝90°，
∴∠MAC＝∠OBC
∴sin∠MAC＝sin∠OBC＝＝＝，
∴MC＝ACsin∠MAC＝，
∴BM＝BC MC＝2 ＝，
∴MN＝BMtan∠OBC＝×＝，
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．熟练掌握各知识点是解题的关键．
17．（2024 河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　）
A．115° B．120° C．135° D．144°
【分析】先求出正六边形的每个内角为120°，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解∠ENM+∠NMB的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【解答】解：正六边形每个内角为：，
而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°，
∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°，
∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°，
∴α+β＝360°﹣240°＝120°，
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
18．（2024 吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【分析】根据BE∥AD，得出∠ADC＝∠BEC＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠ADC＝∠BEC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
19．（2024 包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），则四边形OABC的面积为（　　）
A．14 B．11 C．10 D．9
【分析】过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，利用三角形面积公式和梯形的面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△BCF+S梯形ABFE+S△AOE进行计算．
【解答】解：过A点作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图，
∵O（0，0），A（1，2），B（3，3），C（5，0），
∴OE＝1，AE＝2，BF＝3，CF＝2，EF＝2，
∴四边形OABC的面积＝S△AOE+S△BCF+S梯形ABFE
＝×1×2+×3×2+
＝9，
故选：D．
【点评】本题主要考查了梯形的面积、三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．也考查了坐标与图形性质．
20．（2024 武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB+AD＝2，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．
【分析】过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，由角平分线的性质推出MC＝CN，判定四边形AMCN是正方形，得到AM＝AN，由圆周角定理得到＝，推出CD＝BC，即可证明Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），得到ND＝MB，推出AB+AD＝2AM＝2，求出AM＝1，判定△ACM是等腰直角三角形，求出AC＝AM＝，由圆周角定理得到∠AOC＝2∠B＝120°，由等腰三角形的性质推出AH＝AC＝，∠AOH＝∠AOC＝60°，由sin∠AOH＝＝，求出OA＝，得到⊙O的半径是．
【解答】解：过C作CM⊥AB于M，CN⊥AD交AD延长线于N，过O作OH⊥AC于H，连接OA，OC，
∵∠BAC＝∠CAD＝45°，
∴AC平分∠BAN，
∴MC＝CN，
∵∠MAN＝∠BAC+∠CAD＝90°，∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴四边形AMCN是正方形，
∴AM＝AN，
∵∠BAC＝∠CAD，
∴＝，
∴CD＝BC，
∵CN＝CM，
∴Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），
∴ND＝MB，
∵AB+AD＝AM+MB+AD＝AM+DN+AD＝AM+AN＝2AM＝2，
∴AM＝1，
∵∠BAC＝45°，∠AMC＝90°，
∴△ACM是等腰直角三角形，
∴AC＝AM＝，
∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵OA＝OC，OH⊥AC，
∴AH＝AC＝，∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵sin∠AOH＝sin60°＝＝，
∴OA＝，
∴⊙O的半径是．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，关键是由Rt△CDN≌Rt△CBM（HL），推出ND＝MB，得到AB+AD＝2AM．
21．（2024 武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD；（1）画∠MAN；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接BC，CD，BD．若∠A＝44°，则∠CBD的大小是（　　）
A．64° B．66° C．68° D．70°
【分析】由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的性质和三角形内角和定理求出答案即可．
【解答】解：由（1）（2）（3）可知四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，BC∥AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，
∵∠A＝44°，
∴∠ABD+∠ADB＝180°﹣∠A＝180°﹣44°＝136°，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝68°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角和菱形的判定与性质，解题关键是根据已知条件中的作图判定四边形ABCD的形状．
22．（2024 绥化）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【分析】由菱形的性质和勾股定理求出AC＝6，再由菱形的面积求出AE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，
∴BC＝CD＝5，BO＝DO＝4，OA＝OC，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OC＝＝＝3，
∴AC＝2OC＝6，
∵菱形ABCD的面积＝AE BC＝BD×AC＝OB AC，
∴AE＝＝＝，
故选：A．
【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
23．（2024 浙江）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE＝4，BE＝3，则DE＝（　　）
A．5 B． C． D．4
【分析】由全等三角形的性质得DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，则EH＝AE﹣AH＝1，而∠DHE＝90°，所以DE＝＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵Rt△DAH≌Rt△ABE，
∴DH＝AE＝4，AH＝BE＝3，
∴EH＝AE﹣AH＝4﹣3＝1，
∵四边形形EFGH是正方形，
∴∠DHE＝90°，
∴DE＝＝＝，
故选：C．
【点评】此题重点考查全等三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，求得DH＝4，EH＝1，并且证明∠DHE＝90°是解题的关键．
24．（2024 浙江）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝2，．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．x﹣y C．xy D．x2+y2
【分析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB＝DC，AD∥BC，得到AE＝DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE＝x，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2，得到xy＝2．
【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE＝DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），
∴CH＝BE＝x，
∵BC＝y，
∴EC＝BC﹣BE＝y﹣x，BH＝BC+CH＝y+x，
∵AE2＝AC2﹣EC2，DH2＝BD2﹣BH2，
∴22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2，
∴xy＝2．
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由Rt△DCH≌Rt△ABE（HL），得到CH＝BE，由勾股定理得到22﹣（y﹣x）2＝﹣（y+x）2．
25．（2024 湖北）如图，AB是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点D，画射线BD，连接AC．若∠CAB＝50°，则∠CBD的度数是（　　）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【分析】由圆周角定理得到∠ACB＝90°，由直角三角形的性质得到∠ABC＝40°，根据角平分线的定义即可求得答案．
【解答】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
由题意得，BD为∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝20°．
故选：C．
【点评】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．
26．（2024 广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．10
【分析】根据正方形的性质及相似三角形的性质求得四边形MNPQ的边长，从而即可求得四边形MNPQ的面积．
点评
【解答】解：正方形的边长为5，则CD＝5，CF＝2.5，
由勾股定理得，DF＝，
由题意得△DQG∽△DFC，
：．DQ：QG＝CD：CF＝2：1，得
DQ＝2QG＝，
∵E，F，G，H分别为各边中点．
∴DQ＝PQ＝
∴四边形MNPQ的面积＝，
故选：C．
【点评】本题利用了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求解．
27．（2024 重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明AE＝AF；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明EM＝FM；设DM＝x，将EM、MC和CE分别表示出来，在Rt△MCE中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的定义、勾股定理是解题的关键．
28．（2024 天津）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】由直角三角形两锐角互余可求出∠BAC＝50°，由作图得∠BAD＝25°，由三角形的外角的性质可得∠ADC＝65°，故可得答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝40°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
由作图知，AP平分∠BAC，
∴，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠ADC＝40°+25°＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握尺规作图的方法是解题的关键．
29．（2024 黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF＝90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：
①∠HBF＝45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC＝；④BN＝BM；⑤若AH＝HD，则S△BND＝S△AHM．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【分析】连接DG，可得，AC垂直平分BD，先证明点B、H、D、F四点共圆，即可判断①；根据AC垂直平分BD，结合互余可证明DG＝FG，即有DG＝FG＝BG，则可判断②正确；证明△ABM∽△DBN，即有，可判断④；根据相似有 ，根据 可得3AH＝AD，再证明△AHM﹣△CBM，可得，即可判断⑤；根据点H是AD的中点，设AD＝2，即求出 ，同理可证明△AHM∽△CBM，可得 ，即可得 ，进而可判断③．
【解答】解：连接DG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝45°，，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC垂直平分BD，
∴∠CDP＝90°，
∵DF平分∠CDP，
∴，
∴∠BDF＝∠CDF+∠CDB＝90°，∠BHF＝90°＝∠BDF，
∴点B、H、D、F四点共圆，
∴∠HFB＝∠HDB＝45°，∠DHF＝∠DBF，
∴∠HBF＝180°﹣∠HFB﹣∠FHB＝45°，故①正确，
∵AC垂直平分BD，
∴BG＝DG，
∴∠BDG＝∠DBG，
∵∠BDF＝90°，
∴∠BDG+∠GDF＝90°＝∠DBG+∠DFG，
∴∠GDF＝∠DFG，
∴DG＝FG，
∴DG＝FG＝BG，
∴点G是BF的中点，故②正确，
∵∠BHF＝90°＝∠BAH，
∴∠AHB+∠DHF＝90°＝∠AHB+∠ABH，
∴∠DHF＝∠ABH，
∵∠DHF＝∠DBF，
∴∠ABH＝∠DBF，
又∵∠BAC＝∠DBC＝45°，AD∥BC，
∴△ABM∽△DBN，
∴，
∴，故④正确，
∴，
若，则，
∴3AH＝AD，
∴，即，
∵AD∥DC，
∴△AHM∽△CBM，
∴，
∵，
∴S△ABM＝3S△AHM，
∴，
∴S△BND＝2S△ABM＝6S△AHM，故⑤错误，
如图，③若点H是AD的中点，
设AD＝2，即AB＝BC＝AD＝2，
∴，
∴，
同理可证明△AHM∽△CBM，
∴， ，
∵，
∴，
∵BC＝2，
在Rt△BNC 中， ，故③正确，则正确的有：①②③④，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B、H、D、F四点共圆，△ABM∽△DBN，是解答本题的关键．
30．（2024 达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】①先求出，，则，由此可证△CAE∽△ABD，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确；
②根据△CAE∽△ABD得∠CAE＝∠ABD，再根据三角形外角性质得∠BFE＝45°，由此可对结论②进行判断确；
③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，证明点F在弧AB上运动，则当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，然后求出△ABH的面积即可对结论③进行判断确；
④根据点F在弧AB上运动，得当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，然后求出线段CP的长即可对结论④进行判断确，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴，
∵AD＝CE，
∴，
∴，
又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，
∴△CAE∽△ABD，
∴，
故结论①正确；
②∵△CAE∽△ABD，
∴∠CAE＝∠ABD，
∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，
∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，
故结论②正确；
③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如下图所示：
∴∠AOB＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，
∵∠DFE＝135°，
∴点F在上运动，
∵AB＝4，
∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，
根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，
∴AK＝OK＝2，
在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，
∴OA＝OH＝OB＝OP＝，
∴KH＝OH﹣OK＝，
∴S△ABH＝AB KH＝＝，
故结论③正确；
④∵点F在上运动，
∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，
∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，
∴四边形OMBK为矩形，
∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，
∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，
在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，
∴CP＝CO﹣OP＝，
即CF的最小值是，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④．
故选：D．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，点与圆的位置关系，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，构造辅助圆，证明点F在上运动，利用点与圆的位置关系求出△ABF面积的最大值和线段CF的最小值是解决问题的难点．