【提升版】北师大版数学八上2.1认识无理数 同步练习
一、选择题
1．（2017八上·雅安期末）在给出的一组数0，π， ，3.14， ，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：π，，共有3个．
故选C．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
2．（2023八上·吉林期中）在实数-3，，2-8，-0.518，，0.101001……中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 实数-3，，2-8，-0.518，，0.101001……中， 无理数有
， ，0.101001……
所以无理数的个数为3个。
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义直接进行识别即可。
3．（2021八上·深圳月考）下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数不一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无限小数不一定都是无理数，如 是有理数，故①符合题意；
无理数一定是无限小数，故②符合题意；
带根号的数不一定都是无理数，如 是有理数，故③符合题意；
不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，故④不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可。
4．（2021八上·涟源期末）下列说法中，正确的个数为（ ）
①无限小数都是无理数：
②无限不循环小数都是无理数；
③无理数都是无限小数：
④无理数也有负数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：①无限不循环小数是无理数，故原说法错误；
②无限不循环小数都是无理数，正确；
③无理数都是无限小数，正确；
④无理数也有负数，正确；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，错误，
故正确的说法只有三个.
故答案为：C.
【分析】利用无理数是无限不循环的小数，可对①②③作出判断；无理数分为正无理数、负无理数可对④⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
5．（2023八下·青秀月考）在，，，-1，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”），这7个数中，无理数共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，-1，是有理数；
，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数.
故答案为：C.
【分析】无理数是指无限不循环小数；根据定义并结合题意可求解.
6．（2021八下·高唐期中）在实数﹣2，，3.1415926，，﹣π＋1，0.1010010010001中，无理数有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数﹣2，
，3.1415926，
，﹣π＋1，0.1010010010001中，无理数分别有
，﹣π＋1两个．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
7．（2021八上·登封期末）如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（ ）
A．1 条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵a= ，b= ，c= ，d=2，
∴长度是无理数的线段有2条，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，进而根据开放开不尽的数就是无理数即可得出结果.
8．（2020八上·兰州期中）如图为5×5的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有 （ ）
A．b、c、d B．c、d C．a、d D．b、c
【答案】D
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】由图可知： ，
，
，
，
因此b、c为无理数.
故答案为：D.
【分析】分别利用勾股定理求出a，b，c的值，利用无理数的定义，可得到是无理数的线段.
二、填空题
9．（2023八上·平桥开学考）在实数：，，，．，，，中，无理数有 ．
【答案】，，
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数为：，，.
故答案为：，，.
【分析】根据无理数的定义（无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比）即可判断.
10．（2019八上·泰兴期中）若 、 都是无理数，且 ，则 、 的值可以是 （填上一组满足条件的值即可）.
【答案】1+π，1-π（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】∵a+b=2，
∴b=2-a.
例如a=1+π，则b=1-π.
故答案为：1+π，1-π；.
【分析】根据无理数的概念先确定a或b的值，然后利用a+b=2，求出另一个数即可（答案不唯一）.
11．（2018八上·盐城月考）下列各数：①-0.3，②0，③ ，④π2，⑤|-2|，⑥ ，⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0），⑧- 中无理数有 （只填序号）.
【答案】③④⑦
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：①-0.3，②0，⑤|-2|，⑥ ，⑧- 是有理数；
③ ，④π2，⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0）是无理数.
故答案为：③④⑦.
【分析】根据开方开不尽是数是无理数；无限不循环的小数是无理数，有规律但不循环的小数是无理数，就可得到已知数中是无理数的个数。
12．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.1《认识无理数》同步训练）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共 个．
【答案】4
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．
故答案为：8．
【分析】由勾股定理和无理数的意义即可知，这样的点有8个。
三、解答题
13．（2024七下·滑县期中）把下面各数分别填在相应的集合中：
，0，20.1414414441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），，1.732，，50%，，
【答案】有理数集合：0，1.732，，50%，；
无理数集合：，20.141441441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），，
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
14．（勾股定理++++++++++++++6 ）如图，每个小正方形的边长都是1．按要求画图（所画图形的顶点都是格点，标字母，写结论）
①面积为13的正方形（边长是无理数）；
②三条边长都是无理数的直角三角形．
【答案】解：①由勾股定理得：
= ，
正方形如图1所示：
②由勾股定理得：
= ， = ，
（ ）2+（ ）2=（ ）2，
直角三角形如图2所示：
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【分析】（1）由勾股定理得出边长为 的正方形即可；（2）由勾股定理得出两条边长为 ，另一条为 的三角形，根据勾股定理的逆定理画出图形即可．
15．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设,a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
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一、选择题
1．（2017八上·雅安期末）在给出的一组数0，π， ，3.14， ，中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
2．（2023八上·吉林期中）在实数-3，，2-8，-0.518，，0.101001……中，无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2021八上·深圳月考）下列说法正确的有（ ）
①无限小数不一定是无理数；②无理数一定是无限小数；③带根号的数不一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
4．（2021八上·涟源期末）下列说法中，正确的个数为（ ）
①无限小数都是无理数：
②无限不循环小数都是无理数；
③无理数都是无限小数：
④无理数也有负数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023八下·青秀月考）在，，，-1，，，（每两个“1”之间依次多一个“0”），这7个数中，无理数共有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021八下·高唐期中）在实数﹣2，，3.1415926，，﹣π＋1，0.1010010010001中，无理数有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021八上·登封期末）如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（ ）
A．1 条 B．2条 C．3条 D．4条
8．（2020八上·兰州期中）如图为5×5的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段有 （ ）
A．b、c、d B．c、d C．a、d D．b、c
二、填空题
9．（2023八上·平桥开学考）在实数：，，，．，，，中，无理数有 ．
10．（2019八上·泰兴期中）若 、 都是无理数，且 ，则 、 的值可以是 （填上一组满足条件的值即可）.
11．（2018八上·盐城月考）下列各数：①-0.3，②0，③ ，④π2，⑤|-2|，⑥ ，⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0），⑧- 中无理数有 （只填序号）.
12．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.1《认识无理数》同步训练）如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共 个．
三、解答题
13．（2024七下·滑县期中）把下面各数分别填在相应的集合中：
，0，20.1414414441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），，1.732，，50%，，
14．（勾股定理++++++++++++++6 ）如图，每个小正方形的边长都是1．按要求画图（所画图形的顶点都是格点，标字母，写结论）
①面积为13的正方形（边长是无理数）；
②三条边长都是无理数的直角三角形．
15．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设,a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有：π，，共有3个．
故选C．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 实数-3，，2-8，-0.518，，0.101001……中， 无理数有
， ，0.101001……
所以无理数的个数为3个。
故答案为：B.
【分析】根据无理数的定义直接进行识别即可。
3．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无限小数不一定都是无理数，如 是有理数，故①符合题意；
无理数一定是无限小数，故②符合题意；
带根号的数不一定都是无理数，如 是有理数，故③符合题意；
不带根号的数不一定是有理数，如π是无理数，故④不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可。
4．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：①无限不循环小数是无理数，故原说法错误；
②无限不循环小数都是无理数，正确；
③无理数都是无限小数，正确；
④无理数也有负数，正确；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数，错误，
故正确的说法只有三个.
故答案为：C.
【分析】利用无理数是无限不循环的小数，可对①②③作出判断；无理数分为正无理数、负无理数可对④⑤作出判断，综上所述可得到正确结论的个数.
5．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：，，-1，是有理数；
，，（每两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数.
故答案为：C.
【分析】无理数是指无限不循环小数；根据定义并结合题意可求解.
6．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数﹣2，
，3.1415926，
，﹣π＋1，0.1010010010001中，无理数分别有
，﹣π＋1两个．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵a= ，b= ，c= ，d=2，
∴长度是无理数的线段有2条，
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，进而根据开放开不尽的数就是无理数即可得出结果.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】由图可知： ，
，
，
，
因此b、c为无理数.
故答案为：D.
【分析】分别利用勾股定理求出a，b，c的值，利用无理数的定义，可得到是无理数的线段.
9．【答案】，，
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数为：，，.
故答案为：，，.
【分析】根据无理数的定义（无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比）即可判断.
10．【答案】1+π，1-π（答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】∵a+b=2，
∴b=2-a.
例如a=1+π，则b=1-π.
故答案为：1+π，1-π；.
【分析】根据无理数的概念先确定a或b的值，然后利用a+b=2，求出另一个数即可（答案不唯一）.
11．【答案】③④⑦
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：①-0.3，②0，⑤|-2|，⑥ ，⑧- 是有理数；
③ ，④π2，⑦3.1010010001…（每两个1之间多一个0）是无理数.
故答案为：③④⑦.
【分析】根据开方开不尽是数是无理数；无限不循环的小数是无理数，有规律但不循环的小数是无理数，就可得到已知数中是无理数的个数。
12．【答案】4
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共 8个．
故答案为：8．
【分析】由勾股定理和无理数的意义即可知，这样的点有8个。
13．【答案】有理数集合：0，1.732，，50%，；
无理数集合：，20.141441441……（相邻两个1之间4的个数逐次加1），，
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
14．【答案】解：①由勾股定理得：
= ，
正方形如图1所示：
②由勾股定理得：
= ， = ，
（ ）2+（ ）2=（ ）2，
直角三角形如图2所示：
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【分析】（1）由勾股定理得出边长为 的正方形即可；（2）由勾股定理得出两条边长为 ，另一条为 的三角形，根据勾股定理的逆定理画出图形即可．
15．【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
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