【培优版】北师大版数学八上 2.1认识无理数 同步练习

【培优版】北师大版数学八上 2.1认识无理数 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·新会模拟）以下是无理数的是（　　）．
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.0是整数，是有理数，不是无理数，此选项不符合题意；
B．是无理数，此选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，不是无理数，此选项不符合题意；
D．是小数，属于有理数，不是无理数，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义"无理数即无限不循环小数"并结合各选项即可判断求解．
2．（2020八上·兰州期中）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数0的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为： ，
∴OA=OB= .
∴A表示的数是 .
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出OB的长，再根据OA=OB，可得到OA的长，即可得到点A表示的数.
3．（2023八上·济南开学考）下列说法正确的个数为（　　）
①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①有理数与 无理数的差都是无理数，不符合题意；
②无限不循环小数都是无理数，不符合题意；
③无理数都是无限小数，符合题意；
④两个无理数的和不一定是无理数，符合题意；
⑤无理数分为正无理数、负无理数，零是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据有理数、无理数的定义即可判断。
4．（2020八上·达县期末）如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE，其中长度是有理数的有 （　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】 ， ， ，
， ，
、 的长度均是有理数，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求线段的长度，再逐项判定即可。
5．（2019九上·成华期中）下列判断中，错误的有（　　）
①0的绝对值是0；② 是无理数；③4的平方根是2；④1的倒数是-1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；平方根；无理数的概念
【解析】【解答】①|0|=0，故①符合题意；
② 是有理数，故②不符合题意；
③± =±2，故④不符合题意；
④1的倒数是1，故④不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据绝对值可判断①，根据无理数是无限不循环小数，可判断②，根据平方根的意义，可判断③，根据倒数的意义，可判断④．
6．（2019八上·河南月考）如图点A，B，C在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长为1，则下列关于△ABC边长的说法，正确的是（　　）
A．AB，BC长均为有理数，AC长为无理数
B．AC长是有理数，AB，BC长均为无理数
C．AB长是有理数，4C，BC长均为无理数
D．三边长均为无理数
【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC= ，是有理数，不是无理数；BC= ，是无理数；AB= ，是无理数，即网格上的△ABC三边中，AC长是有理数，AB，BC长均为无理数，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可.
7．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.1《认识无理数》同步训练）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是（　　）
A．3.0C．3.2【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB= ，
∴3.1＜AB＜3.2．
故答案为：B．
【分析】由勾股定理可求得AB=，再根据=961，=1024可知3.1＜AB＜3.2。
8．（2024七下·普陀期末）下列实数中，无理数是（　　）
A． B．3.1415 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
9．（2020八上·商水月考）在实数 、 、 、 、 、 …中，无理数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数 、 、 、 、 、 …中，
有理数： 、 、 ；无理数有： 、 、 …，共3个.
故答案为C.
【分析】根据开方开不尽的数是无理数；含的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数，由此可得到无理数的个数。
二、填空题
10．（2024九下·宁德模拟）无理数在数轴上的位置如图所示，则无理数可能是　 　．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的概念
11．（2024九下·大荔模拟）在，，，，这个数中，无理数是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的概念
12．（2024九下·门头沟模拟）在中，，，，点P在线段上（不与B、C两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】垂线段最短及其应用；无理数的概念
三、解答题
13．（2021八上·绍兴期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题．
（1）图中线段AB的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出AB的长度
（2）再以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）请直接写出符合(2)中条件的等腰三角形ABC的顶点C的个数.
【答案】（1）解：由勾股定理，得： AB＝ ；
（2）解：要使△ABC为等腰三角形，且另两边长度均为无理数，
①若AB为底边，则顶点在线段AB的中垂线上，这种情况不成立．故AB边应为腰．
②若AB为腰，经观察可知有C点满足条件，此时，BC的长度也为无理数，如下图1所示：
（3）解：6个
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：（3）6个，见下图
【分析】（1）利用勾股定理可得AB的值；
（2）①若AB为底边，则顶点在线段AB的中垂线上，这种情况不成立；②若AB为腰，经观察可知有C点满足条件，此时BC的长度也为无理数；
（3）画出所有的以AB为腰的等腰三角形，以点A为顶点，AB为腰，符合条件的有C1、C2；以点B为顶点，AB为腰，符合条件的有C3、C4、C5、C6
14．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设,a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
15．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册 11.2.1无理数、实数 同步练习）已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
【答案】解：该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：
设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：
60x3=1620，
解得x=3，
∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，
∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，
∴该长方体的长、宽、高不是无理数.
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x，根据长方体的体积=1620，建立关于x的方程，求出x的值，再求出长、宽、高，根据无理数的定义判断可解答。
16．（2020八上·邢台期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
， ， ，0， ， ，
其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是　 　．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；
【答案】（1）甲
（2）解：正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：
正实数为 ， ，负分数为
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】（1） 是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；
【分析】（1）根据无理数的概念即可判断；（2）根据实数相关概念填空即可．
1 / 1【培优版】北师大版数学八上 2.1认识无理数 同步练习
一、选择题
1．（2024九下·新会模拟）以下是无理数的是（　　）．
A．0 B． C． D．
2．（2020八上·兰州期中）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数0的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023八上·济南开学考）下列说法正确的个数为（　　）
①有理数与无理数的差都是有理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④两个无理数的和不一定是无理数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2020八上·达县期末）如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE，其中长度是有理数的有 （　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．（2019九上·成华期中）下列判断中，错误的有（　　）
①0的绝对值是0；② 是无理数；③4的平方根是2；④1的倒数是-1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2019八上·河南月考）如图点A，B，C在正方形网格中的格点上，每个小正方形的边长为1，则下列关于△ABC边长的说法，正确的是（　　）
A．AB，BC长均为有理数，AC长为无理数
B．AC长是有理数，AB，BC长均为无理数
C．AB长是有理数，4C，BC长均为无理数
D．三边长均为无理数
7．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册2.1《认识无理数》同步训练）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则AB的取值范围是（　　）
A．3.0C．3.28．（2024七下·普陀期末）下列实数中，无理数是（　　）
A． B．3.1415 C． D．
9．（2020八上·商水月考）在实数 、 、 、 、 、 …中，无理数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
10．（2024九下·宁德模拟）无理数在数轴上的位置如图所示，则无理数可能是　 　．（写出一个即可）
11．（2024九下·大荔模拟）在，，，，这个数中，无理数是　 　．
12．（2024九下·门头沟模拟）在中，，，，点P在线段上（不与B、C两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是　 　．（写出一个即可）
三、解答题
13．（2021八上·绍兴期中）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中解答下面问题．
（1）图中线段AB的两端点都落在格点（即小正方形的顶点）上，求出AB的长度
（2）再以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；
（3）请直接写出符合(2)中条件的等腰三角形ABC的顶点C的个数.
14．定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以，是无理数．
可以这样证明：
设,a与b 是互质的两个整数，且b≠0．
则a2=2b2因为b是整数且不为0，所以，a是不为0的偶数，设a=2n，（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，与a，b是互质的正整数矛盾．所以，是无理数．仔细阅读上文，然后，请证明：是无理数．
15．（2018-2019学年数学华师大版八年级上册 11.2.1无理数、实数 同步练习）已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？
16．（2020八上·邢台期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：
， ， ，0， ， ，
其中，甲说“ ”，乙说“ ”，丙说“ ”
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是　 　．
（2）请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.0是整数，是有理数，不是无理数，此选项不符合题意；
B．是无理数，此选项符合题意；
C．是分数，属于有理数，不是无理数，此选项不符合题意；
D．是小数，属于有理数，不是无理数，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义"无理数即无限不循环小数"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为： ，
∴OA=OB= .
∴A表示的数是 .
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出OB的长，再根据OA=OB，可得到OA的长，即可得到点A表示的数.
3．【答案】A
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①有理数与 无理数的差都是无理数，不符合题意；
②无限不循环小数都是无理数，不符合题意；
③无理数都是无限小数，符合题意；
④两个无理数的和不一定是无理数，符合题意；
⑤无理数分为正无理数、负无理数，零是有理数，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据有理数、无理数的定义即可判断。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】 ， ， ，
， ，
、 的长度均是有理数，
故答案为：B.
【分析】先利用勾股定理求线段的长度，再逐项判定即可。
5．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数；平方根；无理数的概念
【解析】【解答】①|0|=0，故①符合题意；
② 是有理数，故②不符合题意；
③± =±2，故④不符合题意；
④1的倒数是1，故④不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据绝对值可判断①，根据无理数是无限不循环小数，可判断②，根据平方根的意义，可判断③，根据倒数的意义，可判断④．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AC= ，是有理数，不是无理数；BC= ，是无理数；AB= ，是无理数，即网格上的△ABC三边中，AC长是有理数，AB，BC长均为无理数，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理求出三边的长度，再判断即可.
7．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB= ，
∴3.1＜AB＜3.2．
故答案为：B．
【分析】由勾股定理可求得AB=，再根据=961，=1024可知3.1＜AB＜3.2。
8．【答案】C
【知识点】无理数的概念
9．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：在实数 、 、 、 、 、 …中，
有理数： 、 、 ；无理数有： 、 、 …，共3个.
故答案为C.
【分析】根据开方开不尽的数是无理数；含的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数，由此可得到无理数的个数。
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的概念
11．【答案】
【知识点】无理数的概念
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】垂线段最短及其应用；无理数的概念
13．【答案】（1）解：由勾股定理，得： AB＝ ；
（2）解：要使△ABC为等腰三角形，且另两边长度均为无理数，
①若AB为底边，则顶点在线段AB的中垂线上，这种情况不成立．故AB边应为腰．
②若AB为腰，经观察可知有C点满足条件，此时，BC的长度也为无理数，如下图1所示：
（3）解：6个
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：（3）6个，见下图
【分析】（1）利用勾股定理可得AB的值；
（2）①若AB为底边，则顶点在线段AB的中垂线上，这种情况不成立；②若AB为腰，经观察可知有C点满足条件，此时BC的长度也为无理数；
（3）画出所有的以AB为腰的等腰三角形，以点A为顶点，AB为腰，符合条件的有C1、C2；以点B为顶点，AB为腰，符合条件的有C3、C4、C5、C6
14．【答案】解：设=与b是互质的两个整数，且b≠0．则，a2=5b2，
因为b是整数且不为0，
所以a不为0且为5的倍数，设a=5n，（n是整数），
所以b2=5n2，
所以b也为5的倍数，
与a，b是互质的正整数矛盾．
所以是无理数．
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】先设=，再由已知条件得出，a2=5b2，又知道b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数，再设a=5n，（n是整数），
则b2=5n2，从而得到b也为5的倍数，与a，b是互质的正整数矛盾，从而证明了答案．
15．【答案】解：该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：
设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：
60x3=1620，
解得x=3，
∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，
∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，
∴该长方体的长、宽、高不是无理数.
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x，根据长方体的体积=1620，建立关于x的方程，求出x的值，再求出长、宽、高，根据无理数的定义判断可解答。
16．【答案】（1）甲
（2）解：正实数包括正有理数与正无理数，故答案为：
正实数为 ， ，负分数为
【知识点】有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】（1） 是负分数，即是有理数范围内的，不是无理数，故甲错；
【分析】（1）根据无理数的概念即可判断；（2）根据实数相关概念填空即可．
1 / 1