【培优版】北师大版数学八上 2.2平方根 同步练习题
一、选择题
1．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
2．（2021八上·东明期中）下列说法正确的是（ ）
A．（﹣2）2的平方根是﹣2 B．4是 的算术平方根
C． 的平方根是 D． 是 的算术平方根
3．（2021八上·郑州期中）下列说法：① -0.25的平方根是±0.5；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0.其中正确的是（ ）
A．④ B．①② C．②③ D．③
4．（2021八上·滕州月考）下列各式正确的有（ ）
① =0.2；② = ；③- 的平方根是 ；④ 的算术平方根是-3；⑤ 是1 的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021八上·滕州月考）对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则b－a的算术平方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．（2020八上·新乡期中）如果a是 算术平方根，则 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020八上·林甸期末）下列说法正确的个数有（）
① 的算术平方根是3
②± 是 的平方根
③ =±
④ =0.2
⑤0.1是0.01的一个平方根
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）有一列数如下排列 ， ， ， ， ， …，则第2015个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2019八上·大东期中）定义运算“ ”的运算法则为： ，则 .
10．（2023八上·太原月考）如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则的长为 ．
11．（2022八上·临汾期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4.9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是 ．
12．（2021八上·紫金期末）的算术平方根是
13．（2021八上·海安期末）旧知回顾：在七年级学方根”时，我们会直接开方解形如 的方程（解为 ）.解题运用：方程 解为 .
三、解答题
14．（2022七下·椒江期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.
例如：-9，-4，-1这三个数， ， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”.
（1）-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
15．（1）计算：
= ，= ，= ．
= ，= ，= ．
（2）观察上面的计算结果，你发现什么规律？填空：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）被开方数的小数点每向左移动 位，相应的算术平方根的小数点就向 移动1位．
（4）已知 =0.837，=2.646，则= ， = ．
16．（2023八上·兴县期中）综合与探究
如图，在数轴上，点，，所表示的数分别为0，1，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点在数轴上表示的数为（点在点的左边）.
（1）求的值.
（2）在数轴上有两点，表示的数为，，且，求的平方根.
（3）现将点向左移动5个单位长度得到点，设点表示的数为，在数轴上是否存在一点所表示的数，使得.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
2．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、（﹣2）2的平方根是±2，故此选项不符合题意；
B、4是16的算术平方根，故此选项不符合题意；
C、 ＝2， 的平方根是 ，故此选项符合题意；
D、 是 的算术平方根，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义判断即可。
3．【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：① -0.25没有平方根，故原说法错误；
②任何数的平方都是非负数，而负数没有平方根，故原说法错误；
③任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如， 的平方根是 ，而 ，故原说法错误；
④平方根等于本身的数是0，说法正确.
故答案为：A.
【分析】根据负数没有平方根可判断①②；根据的平方根是 ，可判断③；平方根等于本身的数是0，据此判断④.
4．【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：① ，此选项错误；
② ，故此选项错误；
③ 没有平方根，故此选项错误；
④ ，故3的算术平方根是 ，故此选项错误；
⑤（± ）2 ，故此选项正确．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质，平方根，算术平方根的定义对每个说法一一判断即可。
5．【答案】B
【知识点】算术平方根；定义新运算
【解析】【解答】解： min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，
， ，
a和b为两个连续正整数，
，
，
b－a的算术平方根为 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 ， ，再求出，最后计算求解即可。
6．【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由a是 算术平方根，10是100的算术平方根，则有 的算术平方根为： ；故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解.
7．【答案】B
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解： ，3的算术平方根是 ，①不符合题意
的平方根是± ，②符合题意
，③不符合题意
，④不符合题意
0.1是0.01的一个平方根，⑤符合题意
故答案为B．
【分析】根据开方运算，可得一个正数的平方根，算术平方根。
8．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】解答：观察可以发现：第一个数字是 ；
第二个数字是 ；
第三个数字是 ；
第四个数字是 ；
…；
可得第2015个数即是 ，故选D．
分析：本题主要考查了数字变化，算式平方根的性质，数列规律问题，找出一般规律是解题．
9．【答案】6
【知识点】算术平方根；定义新运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为6.
【分析】利用新定义运算，先列式再开算术平方根。
10．【答案】
【知识点】算术平方根；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：S3=AB2=S1+S2=4+8=12，
∴AB=。
故答案为：.
【分析】首先根据勾股定理求得AB2=12，然后求得12的算术平方根即可得出AB的长。
11．【答案】16
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，
∴最小算术平方根与最大算术平方根的和是．
故答案为：16．
【分析】根据题干中的计算方法分别求出最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，再计算即可。
12．【答案】0.3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：，
0.09的算术平方根是0.3．
故答案为：0.3．
【分析】利用算术平方根的计算方法求解即可。
13．【答案】 ， .
【知识点】平方根；整式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
合并同类项，得 ，
移项，得 ，
解得 ， .
故答案为： ， .
【分析】先将原方程利用多项式乘以多项式的法则去括号合并得 ，进而类比题目中解方程的方法求解即可.
14．【答案】（1）解：是.
∵ ， ， ，
∴-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）解：①当 时，
解得 ；
②当 时，
解得
综上所述，m的值为-48或-12.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，利用“完美组合数”的定义，进行判断，可得到-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）利用“完美组合数”的定义，由已知三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，分情况讨论：当 时，当 时，分别解方程求出m的值.
15．【答案】（1）5；50；500；0.3；3；30
（2）右；1
（3）2；左
（4）8.37；26.46
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），，，，，，
（2）通过观察发现： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位；
故答案为：右，1；
（3）通过观察发现： 被开方数的小数点每向左移动2位，相应的算术平方根的小数点就向左移动1位；
故答案为：左，1；
（4）∵ =0.837，∴，
∵=2.646，∴.
故答案为：8.37，26.46.
【分析】（1）先根据算术平方根的定义计算各个式子；
（2）观察第一组3个式子可得结论；
（3）观察第二组3个式子，可得结论；
（4）根据开始总结的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；反之算术平方根的被开方数缩小100倍，算术平方根缩小10倍”可得答案.
16．【答案】（1）解：由图可知，.
∵点在点的左边，∴.
∵点到点的距离与点到点的距离相等，∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，.
∵，∴
∴，∴，∴
∴，
∴的平方根为.
（3）解：存在的值为或.
理由：根据题意可知，点表示的数，∴.
分两种情况：①当点在点的左边时，.
∵，
∴，
∴，解得.
②当点在点的右边时，.
∵，∴
∴，解得，
∴存在点，的值为或.
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；实数的绝对值；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）先求出，再将其代入计算即可；
（2）利用非负数之和为0的性质求出，，再将其代入计算即可；
（3）分类讨论：①当点在点的左边时，②当点在点的右边时，再分别求解即可.
1 / 1【培优版】北师大版数学八上 2.2平方根 同步练习题
一、选择题
1．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）若a2=4，b2=9，且ab＜0，则a-b的值为（ ）
A．-2 B．±5 C．5 D．-5
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】∵a2=4，b2=9，∴a=±2，b=±3，∵ab＜0，∴a=2，则b=-3，a=-2，b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
【分析】用平方根的定义得出a，b的值，进而利用ab的符号得出a，b异号，即可得出a-b的值；此题有两个答案，勿漏算．
2．（2021八上·东明期中）下列说法正确的是（ ）
A．（﹣2）2的平方根是﹣2 B．4是 的算术平方根
C． 的平方根是 D． 是 的算术平方根
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：A、（﹣2）2的平方根是±2，故此选项不符合题意；
B、4是16的算术平方根，故此选项不符合题意；
C、 ＝2， 的平方根是 ，故此选项符合题意；
D、 是 的算术平方根，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据平方根、算术平方根的定义判断即可。
3．（2021八上·郑州期中）下列说法：① -0.25的平方根是±0.5；②任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；③任何一个非负数的平方根都不大于这个数；④平方根等于本身的数是0.其中正确的是（ ）
A．④ B．①② C．②③ D．③
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：① -0.25没有平方根，故原说法错误；
②任何数的平方都是非负数，而负数没有平方根，故原说法错误；
③任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如， 的平方根是 ，而 ，故原说法错误；
④平方根等于本身的数是0，说法正确.
故答案为：A.
【分析】根据负数没有平方根可判断①②；根据的平方根是 ，可判断③；平方根等于本身的数是0，据此判断④.
4．（2021八上·滕州月考）下列各式正确的有（ ）
① =0.2；② = ；③- 的平方根是 ；④ 的算术平方根是-3；⑤ 是1 的平方根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解：① ，此选项错误；
② ，故此选项错误；
③ 没有平方根，故此选项错误；
④ ，故3的算术平方根是 ，故此选项错误；
⑤（± ）2 ，故此选项正确．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的性质，平方根，算术平方根的定义对每个说法一一判断即可。
5．（2021八上·滕州月考）对于有理数a．b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当b＜a时，min{a，b}＝b．例如：min{1，﹣2}＝﹣2，已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则b－a的算术平方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【知识点】算术平方根；定义新运算
【解析】【解答】解： min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，
， ，
a和b为两个连续正整数，
，
，
b－a的算术平方根为 ．
故答案为：B．
【分析】先求出 ， ，再求出，最后计算求解即可。
6．（2020八上·新乡期中）如果a是 算术平方根，则 的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：由a是 算术平方根，10是100的算术平方根，则有 的算术平方根为： ；故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解.
7．（2020八上·林甸期末）下列说法正确的个数有（）
① 的算术平方根是3
②± 是 的平方根
③ =±
④ =0.2
⑤0.1是0.01的一个平方根
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】算术平方根；无理数的概念
【解析】【解答】解： ，3的算术平方根是 ，①不符合题意
的平方根是± ，②符合题意
，③不符合题意
，④不符合题意
0.1是0.01的一个平方根，⑤符合题意
故答案为B．
【分析】根据开方运算，可得一个正数的平方根，算术平方根。
8．（新华师大版数学八年级上册第十一章11.1.1平方根同步练习）有一列数如下排列 ， ， ， ， ， …，则第2015个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】解答：观察可以发现：第一个数字是 ；
第二个数字是 ；
第三个数字是 ；
第四个数字是 ；
…；
可得第2015个数即是 ，故选D．
分析：本题主要考查了数字变化，算式平方根的性质，数列规律问题，找出一般规律是解题．
二、填空题
9．（2019八上·大东期中）定义运算“ ”的运算法则为： ，则 .
【答案】6
【知识点】算术平方根；定义新运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为6.
【分析】利用新定义运算，先列式再开算术平方根。
10．（2023八上·太原月考）如图，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】算术平方根；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：S3=AB2=S1+S2=4+8=12，
∴AB=。
故答案为：.
【分析】首先根据勾股定理求得AB2=12，然后求得12的算术平方根即可得出AB的长。
11．（2022八上·临汾期末）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4.9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是 ．
【答案】16
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，
∴最小算术平方根与最大算术平方根的和是．
故答案为：16．
【分析】根据题干中的计算方法分别求出最小算术平方根是4，最大算术平方根是12，再计算即可。
12．（2021八上·紫金期末）的算术平方根是
【答案】0.3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：，
0.09的算术平方根是0.3．
故答案为：0.3．
【分析】利用算术平方根的计算方法求解即可。
13．（2021八上·海安期末）旧知回顾：在七年级学方根”时，我们会直接开方解形如 的方程（解为 ）.解题运用：方程 解为 .
【答案】 ， .
【知识点】平方根；整式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
合并同类项，得 ，
移项，得 ，
解得 ， .
故答案为： ， .
【分析】先将原方程利用多项式乘以多项式的法则去括号合并得 ，进而类比题目中解方程的方法求解即可.
三、解答题
14．（2022七下·椒江期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.
例如：-9，-4，-1这三个数， ， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”.
（1）-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
（2）若三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值.
【答案】（1）解：是.
∵ ， ， ，
∴-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）解：①当 时，
解得 ；
②当 时，
解得
综上所述，m的值为-48或-12.
【知识点】算术平方根
【解析】【分析】（1）根据阅读材料，利用“完美组合数”的定义，进行判断，可得到-18，-8，-2这三个数是“完美组合数”.
（2）利用“完美组合数”的定义，由已知三个数-3，m，-12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，分情况讨论：当 时，当 时，分别解方程求出m的值.
15．（1）计算：
= ，= ，= ．
= ，= ，= ．
（2）观察上面的计算结果，你发现什么规律？填空：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）被开方数的小数点每向左移动 位，相应的算术平方根的小数点就向 移动1位．
（4）已知 =0.837，=2.646，则= ， = ．
【答案】（1）5；50；500；0.3；3；30
（2）右；1
（3）2；左
（4）8.37；26.46
【知识点】算术平方根；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1），，，，，，
（2）通过观察发现： 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位；
故答案为：右，1；
（3）通过观察发现： 被开方数的小数点每向左移动2位，相应的算术平方根的小数点就向左移动1位；
故答案为：左，1；
（4）∵ =0.837，∴，
∵=2.646，∴.
故答案为：8.37，26.46.
【分析】（1）先根据算术平方根的定义计算各个式子；
（2）观察第一组3个式子可得结论；
（3）观察第二组3个式子，可得结论；
（4）根据开始总结的规律“算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍；反之算术平方根的被开方数缩小100倍，算术平方根缩小10倍”可得答案.
16．（2023八上·兴县期中）综合与探究
如图，在数轴上，点，，所表示的数分别为0，1，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点在数轴上表示的数为（点在点的左边）.
（1）求的值.
（2）在数轴上有两点，表示的数为，，且，求的平方根.
（3）现将点向左移动5个单位长度得到点，设点表示的数为，在数轴上是否存在一点所表示的数，使得.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由图可知，.
∵点在点的左边，∴.
∵点到点的距离与点到点的距离相等，∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，.
∵，∴
∴，∴，∴
∴，
∴的平方根为.
（3）解：存在的值为或.
理由：根据题意可知，点表示的数，∴.
分两种情况：①当点在点的左边时，.
∵，
∴，
∴，解得.
②当点在点的右边时，.
∵，∴
∴，解得，
∴存在点，的值为或.
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；实数的绝对值；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）先求出，再将其代入计算即可；
（2）利用非负数之和为0的性质求出，，再将其代入计算即可；
（3）分类讨论：①当点在点的左边时，②当点在点的右边时，再分别求解即可.
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