【培优版】北师大版数学八上2.3 立方根 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·遵化期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：
甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）.
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
2．（2022八上·秦都月考）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021八上·薛城期中）已知x为实数，且 ﹣ ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
4．（2021八上·恩阳期中）若，为实数，且，则的立方根是
A．2 B．-2 C． D．
5．（2021八上·李沧月考）如果 ≈1.333， ≈2.87，那么 约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
6．（2021八上·长安月考）有下列说法：
⑴﹣3是 的平方根；
⑵7是（﹣7）2的算术平方根；
⑶27的立方根是±3；
⑷1的平方根是±1；
⑸0没有算术平方根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·滕州月考）如图，OA＝OB＝ ，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ）
A． ﹣13 B．﹣ ﹣13 C．2 D．﹣2
8．（2020八上·咸阳月考）下列说法： 是无理数；②-3 是-24的立方根； 在两个连续整数 和 之间，那么 ； 若实数 的平方根是 和 ，则 其中正确的说法有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2017八上·邓州期中）已知a2=16， =2，且ab＜0，则 = ．
10．（2021八上·银川期末）已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2， ＝ .
11．（2021八上·石阡期末）一个正方体的木块的体积是 ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是 .
12．（2020八上·上蔡期中）有个数值转换器，原理如图所示，当输入x为27时，输出的y值是 .
13．（2020八上·鲤城期末）若 ，则m+n= ．
三、解答题
14．（2023八上·从江月考）对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根.
15．（2020八上·湛江开学考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
① ，又 ，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数．
②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ．
④195112的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：
① ．
② ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：根据题意
甲：当时，，根据开方和平方的定义，说法正确，
乙：时，，根据算术平方根的非负性，时，说法错误，
丙：当时，，根据开立方的定义，说法正确。
故答案为：B
【分析】根据算术平方根的非负性、开方和平方的定义、开立方的定义判定即可。
2．【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：根据无理数的定义可知：
①无限小数都是无理数；说法错误；
②无理数都是带根号的数；说法错误；
③负数没有立方根；负数有立方根，故说法错误；
④=8，的平方根是，故说法错误；
⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．说法正确；
正确说法有1个.
故答案为：B.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此判断①②；每一个数都有立方根，据此判断③；根据平方根的概念可判断④；根据无理数的认识以及减法法则可判断⑤.
3．【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ ﹣ ＝0，
∴ ．
∴x﹣3＝2x+1．
∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为 ．
故答案为：A．
【分析】根据立方根的性质及 ﹣ ＝0，可得x﹣3＝2x+1，求出x的值，再将x的值代入 x2＋x﹣3 ，再根据算术平方根的性质求解即可。
4．【答案】A
【知识点】立方根及开立方；二次根式的定义；有理数的减法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】截：依题意可得
解得
∴=8
故的立方根是2
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的定义可得7x+y=0、x+y-6=0，联立求出x、y的值，然后求出y-x的值，再根据立方根的概念进行解答.
5．【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ ≈1.333，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】根据立方根的计算原则，即可解答。
6．【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）-3是 的平方根，（1）符合题意；
（2）7是（-7）2的算术平方根，（2）符合题意；
（3）27的立方根是3，（3）不符合题意；
（4）1的平方根是±1，（4）符合题意；
（5）0的算术平方根是0，（5）不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案。
7．【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵OA＝OB＝ ，数轴上点A表示的数为x，
∴ ，
则x2 13＝ 5 13＝ 8，
∵ ＝ 8，
∴x2﹣13的立方根是 2．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再根据 ＝ 8，计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：① 是有理数，故错误；②-3是-27的立方根，故错误；③∵ ， 在两个连续整数 和 之间，∴ ，正确；④若实数m的平方根是3a-1和3a-11，则3a-1+3a-11=0，解得a=2，则m=(3a-1)2=(3×2-1)2=25，故错误.
所以正确的说法有1个.
故答案为：A.
【分析】分别利用无理数的定义，立方根的性质，无理数的估算，平方根的性质进行运算即可.
9．【答案】2
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：由题意可知：a=±4，b=8．∵ab＜0，∴a=﹣4，b=8，
∴ = =2．
故答案为：2．
【分析】根据平方根和立方根的定义，可求出a、b的值，再由ab＜0，确定出a、b的值，然后代入计算可求值。
10．【答案】4
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：由题意，有 ，
解得 ，
则 .
故答案为：4.
【分析】利用算术平方根，立方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值.
11．【答案】73.5cm2
【知识点】立方根及开立方；几何体的表面积
【解析】【解答】解：∵一个正方体的木块的体积是 ，
∴正方体的棱长为 =7（cm），
要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm），
∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm2）.
故答案为：73.5cm2.
【分析】由正方体的体积可得棱长，根据将它锯成8块同样大小的小正方体木块可得小正方体的棱长，可得表面积.
12．【答案】
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：当x=27时， =3，3是有理数，
当x=3时， ， 为无理数，
所以输出的值为 .
故答案为： .
【分析】根据题图给出的计算程序，把x=27代入进行计算，即可得出答案.
13．【答案】1
【知识点】立方根及开立方；代数式求值
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为：n
【分析】根据三次根式性质， ，说明3m-7和3n+4互为相反数，即 即可求解．
14．【答案】（1）解：如+=0，则8+(-8)=0，即8与-8互为相反数，
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.
（2）解：因为和互为相反数，
所以+=0，
所以8-y+2y-5=0，解得y=-3.
因为x+5的平方根是它本身，
所以x+5=0，所以x=-5，
所以x+y=-5-3=-8，
所以x+y的立方根是-2.
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】（1）例子中的被开方数最好是一个整数的立方，比如1与-1，8与-8，27与-27.
（2）根据“ 如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数 ”这一结论转化为被开方数互为相反数，求出y，平方根是它本身的数是0，可求出x，最后求x+y的立方根.
15．【答案】（1）两；8；5；58
（2）24；56
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）① ， ，
∴ ，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵ ，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而 ，
∴ ，
可得 ，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【分析】（1）①根据100<1951112<1000000，即可判断出195112的立方根的位数；②根据83=512确定立方根的个位数字；③④根据即可判断出立方根的十位数字；进而判断出这个数的立方根；
（2）仿照上面的方法，先判断立方根是几位数，再分别判断各位上的数字，最后得到结论.
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一、选择题
1．（2023八上·遵化期中）甲、乙、丙三人对平方根和立方根进行了研究，以下是他们三人的结论：
甲：当时，乙：时，丙：当时，则下列说法正确的是（ ）.
A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确
C．甲、乙、丙都正确 D．甲、乙、丙都不正确
【答案】B
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：根据题意
甲：当时，，根据开方和平方的定义，说法正确，
乙：时，，根据算术平方根的非负性，时，说法错误，
丙：当时，，根据开立方的定义，说法正确。
故答案为：B
【分析】根据算术平方根的非负性、开方和平方的定义、开立方的定义判定即可。
2．（2022八上·秦都月考）下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是带根号的数；③负数没有立方根；④的平方根是±8；⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：根据无理数的定义可知：
①无限小数都是无理数；说法错误；
②无理数都是带根号的数；说法错误；
③负数没有立方根；负数有立方根，故说法错误；
④=8，的平方根是，故说法错误；
⑤无理数减去任意一个有理数仍为无理数．说法正确；
正确说法有1个.
故答案为：B.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此判断①②；每一个数都有立方根，据此判断③；根据平方根的概念可判断④；根据无理数的认识以及减法法则可判断⑤.
3．（2021八上·薛城期中）已知x为实数，且 ﹣ ＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】A
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ ﹣ ＝0，
∴ ．
∴x﹣3＝2x+1．
∴x＝﹣4．
∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．
∴x2+x﹣3的算术平方根为 ．
故答案为：A．
【分析】根据立方根的性质及 ﹣ ＝0，可得x﹣3＝2x+1，求出x的值，再将x的值代入 x2＋x﹣3 ，再根据算术平方根的性质求解即可。
4．（2021八上·恩阳期中）若，为实数，且，则的立方根是
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【知识点】立方根及开立方；二次根式的定义；有理数的减法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】截：依题意可得
解得
∴=8
故的立方根是2
故答案为：A.
【分析】根据绝对值的非负性以及二次根式的定义可得7x+y=0、x+y-6=0，联立求出x、y的值，然后求出y-x的值，再根据立方根的概念进行解答.
5．（2021八上·李沧月考）如果 ≈1.333， ≈2.87，那么 约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
【答案】C
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵ ≈1.333，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】根据立方根的计算原则，即可解答。
6．（2021八上·长安月考）有下列说法：
⑴﹣3是 的平方根；
⑵7是（﹣7）2的算术平方根；
⑶27的立方根是±3；
⑷1的平方根是±1；
⑸0没有算术平方根．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）-3是 的平方根，（1）符合题意；
（2）7是（-7）2的算术平方根，（2）符合题意；
（3）27的立方根是3，（3）不符合题意；
（4）1的平方根是±1，（4）符合题意；
（5）0的算术平方根是0，（5）不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据平方根与立方根的定义即可求出答案。
7．（2021八上·滕州月考）如图，OA＝OB＝ ，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ）
A． ﹣13 B．﹣ ﹣13 C．2 D．﹣2
【答案】D
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵OA＝OB＝ ，数轴上点A表示的数为x，
∴ ，
则x2 13＝ 5 13＝ 8，
∵ ＝ 8，
∴x2﹣13的立方根是 2．
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再根据 ＝ 8，计算求解即可。
8．（2020八上·咸阳月考）下列说法： 是无理数；②-3 是-24的立方根； 在两个连续整数 和 之间，那么 ； 若实数 的平方根是 和 ，则 其中正确的说法有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数的估值；无理数的概念
【解析】【解答】解：① 是有理数，故错误；②-3是-27的立方根，故错误；③∵ ， 在两个连续整数 和 之间，∴ ，正确；④若实数m的平方根是3a-1和3a-11，则3a-1+3a-11=0，解得a=2，则m=(3a-1)2=(3×2-1)2=25，故错误.
所以正确的说法有1个.
故答案为：A.
【分析】分别利用无理数的定义，立方根的性质，无理数的估算，平方根的性质进行运算即可.
二、填空题
9．（2017八上·邓州期中）已知a2=16， =2，且ab＜0，则 = ．
【答案】2
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：由题意可知：a=±4，b=8．∵ab＜0，∴a=﹣4，b=8，
∴ = =2．
故答案为：2．
【分析】根据平方根和立方根的定义，可求出a、b的值，再由ab＜0，确定出a、b的值，然后代入计算可求值。
10．（2021八上·银川期末）已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2， ＝ .
【答案】4
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：由题意，有 ，
解得 ，
则 .
故答案为：4.
【分析】利用算术平方根，立方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值.
11．（2021八上·石阡期末）一个正方体的木块的体积是 ，现将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是 .
【答案】73.5cm2
【知识点】立方根及开立方；几何体的表面积
【解析】【解答】解：∵一个正方体的木块的体积是 ，
∴正方体的棱长为 =7（cm），
要将它锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体的棱长为7÷2=3.5（cm），
∴每个小正方体的表面积为6×3.52=73.5（cm2）.
故答案为：73.5cm2.
【分析】由正方体的体积可得棱长，根据将它锯成8块同样大小的小正方体木块可得小正方体的棱长，可得表面积.
12．（2020八上·上蔡期中）有个数值转换器，原理如图所示，当输入x为27时，输出的y值是 .
【答案】
【知识点】立方根及开立方；无理数的概念
【解析】【解答】解：当x=27时， =3，3是有理数，
当x=3时， ， 为无理数，
所以输出的值为 .
故答案为： .
【分析】根据题图给出的计算程序，把x=27代入进行计算，即可得出答案.
13．（2020八上·鲤城期末）若 ，则m+n= ．
【答案】1
【知识点】立方根及开立方；代数式求值
【解析】【解答】∵
∴
∴
故答案为：n
【分析】根据三次根式性质， ，说明3m-7和3n+4互为相反数，即 即可求解．
三、解答题
14．（2023八上·从江月考）对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数.”
（1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立；
（2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根.
【答案】（1）解：如+=0，则8+(-8)=0，即8与-8互为相反数，
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立.
（2）解：因为和互为相反数，
所以+=0，
所以8-y+2y-5=0，解得y=-3.
因为x+5的平方根是它本身，
所以x+5=0，所以x=-5，
所以x+y=-5-3=-8，
所以x+y的立方根是-2.
【知识点】立方根及开立方
【解析】【分析】（1）例子中的被开方数最好是一个整数的立方，比如1与-1，8与-8，27与-27.
（2）根据“ 如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数 ”这一结论转化为被开方数互为相反数，求出y，平方根是它本身的数是0，可求出x，最后求x+y的立方根.
15．（2020八上·湛江开学考）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
① ，又 ，
，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
而 ，则 ，可得 ，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是 位数．
②它的立方根的个位数是 ．
③它的立方根的十位数是 ．
④195112的立方根是 ．
（2）请直接填写结果：
① ．
② ．
【答案】（1）两；8；5；58
（2）24；56
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：（1）① ， ，
∴ ，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵ ，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
而 ，
∴ ，
可得 ，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【分析】（1）①根据100<1951112<1000000，即可判断出195112的立方根的位数；②根据83=512确定立方根的个位数字；③④根据即可判断出立方根的十位数字；进而判断出这个数的立方根；
（2）仿照上面的方法，先判断立方根是几位数，再分别判断各位上的数字，最后得到结论.
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