【提升版】北师大版数学八上2.4估算 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(2，3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（2024八上·深圳期末） 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
3．（2023八上·昌平期中）如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·玉林期末）小明利用计算器得到下表中的数据：
8 8.5 9 9.5 10
64 72.25 81 90.25 100
512 614.125 729 857.375 1000
那么在（ ）之间
A． B． C． D．
5．（2024八上·盐田期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
6．（2021八上·临漳期中）已知 ，若 ，则x的值约为（ ）
A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326
7．（2023八上·石家庄期中）学习了无理数之后，对于，下列说法正确的是（ ）
I：表示的意义是14的算术平方根； II：面积是14的正方形边长是；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间.
A．三个都正确 B．只有I与II正确
C．只有II与III正确 D．只有II不对
8．（2023八上·市中区月考）如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使如图以为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
二、填空题
9．（2019八上·北碚期末）若 +1的值在两个整数a与a+1之间，则a= ．
10．（2024八上·岳阳楼期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为 ．
11．（2021八上·岳阳期末）设表示的整数部分，表示它的小数部分，求 .
12．（2024七下·齐齐哈尔期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）．
13．（2023八上·乐山期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．
三、解答题
14．（2023八上·任丘期中）现规定：分别用和表示实数的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
（1） ， ， ， ；
（2）如果，，求的立方根．
15．（2023八上·南城期中）如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ．
（2）估计边长的值在两个相邻整数 与 之间．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，用表示它的小数部分．设边长的整数部分为，小数部分为，求的值．
16．（2023八上·萧县期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求的算术平方根．
17．（2023八上·成都月考）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，求的平方根．
18．（2023八上·李沧期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根；
（3）已知，其中是整数，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：点A的坐标为（2，3），可知OA==，3=，4=，<<，点B是以OA为半径的圆上的点，所以OB=OA，所以OB=，介于3和4之间.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理，可得OA的长度；根据圆的性质，可得OA＝OB；根据有理数大小的比较，判断B点的横坐标的大小.
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解： 大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，中正方形的面积比1大，又比5小，设为s，则有：1所以A、C、D都不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】求得算术平方根，并对其大小范围进行估算即可.
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】设被污渍覆盖住的无理数为x，由图可知：3﹤x﹤4 。
∵ -2﹤﹤-1 ，2﹤ ﹤3， 3﹤﹤4，4﹤﹤5
∴ 被污渍覆盖住的无理数为。
故选：C .
【分析】设被污渍覆盖住的无理数为x，由图可知被污渍遮住的无理数在3和4之间，估算出无理数 ，，的范围，进而解决此题。
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
∴在9.5～10之间，
故答案为：B．
【分析】根据表中的数据可知，即，由此可得的取值范围．
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数的范围可以估计无理数的大概取值范围.
6．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵68.82＝6.882×10，
∴x＝326×103＝326000，
故答案为：A．
【分析】根据68.82＝6.882×10，可得x＝326×103＝326000，即可得到答案。
7．【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：I：表示的意义是14的算术平方根，正确；
II：面积是14的正方形德边长是，正确；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间，正确.
因此三个都正确，
故答案为：A。
【分析】根据算术平方根的意义判定即可。
8．【答案】C
【知识点】无理数的估值；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OP=OB=，
∵，
∴3＜＜4.
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求得OP=OB=，然后估算的范围，即可得出点P的位置介于3和4之间。
9．【答案】5
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵ +1的值在两个整数a与a+1之间，4< <5，
∴5< +1<6，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】先找出与最接近的两个整数（4< <5），利用不等式的性质可得5< +1<6，进而可得a的值.
10．【答案】5
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的值为5，
故答案为：5.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再根据题干中的定义求出的值为5即可.
11．【答案】1
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
.
故答案为：1.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得2<<3，则x=2，y=-2，然后代入(+x)y中计算即可.
12．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
13．【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为3
∵两个小正方形拼成一个大正方形
∴最接近的整数为4
故答案为：4
【分析】本题考查无理数的估算与正方形的面积，熟知正方形的面积公式与估算方法是解题关键.根据正方形的边长可得出：小正方形的面积为9，两个小正方形可平成一个大正方形，可得出大正方形的面积为9+9=18，面积开方即为边长，也就是说大正方形的边长为，由于，所以，即可得出答案.
14．【答案】（1）1；；3；
（2）解：∵的整数部分是2，的整数部分是10，
∴，，
∴，
又∵8的立方根为2，
∴的立方根是2．
【知识点】无理数的估值；定义新运算；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1），，
，，，，
故答案为：1，，3，；
【分析】（1）根据题意进行估算无理数的大小即可求解；
（2）先根据估算无理数的大小得到，，进而结合题意根据立方根即可求解。
15．【答案】（1）13；
（2）3；4
（3）解：；的整数部分为，小数部分为，
，的值为．
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）由图可知阴影部分是正方形，其边长是直角三角形的斜边.∴正方形边长a＝，∴阴影部分正方形的面积＝，故答案是13；；
（2）∵9<13<16，∴3<<4，故答案是3；4；
（3）∵3<<4，∴由题意可得a的整数部分为x=3，小数部分为y=，
∴x-y=3-（）=6-，∴x-y的值为.
【分析】（1）由图可知阴影部分是正方形，再根据勾股定理可得出正方形边长，进而得出阴影部分的面积；
（2）根据“夹逼法”求无理数的估算方法即可得出答案；
（3）根据（2）的结论和（3）的题意解答即可.
16．【答案】（1）解：∵的平方根是，
∴，
即，
∵的立方根是2，
∴，又，
∴，
∵，c是的整数部分，
∴，
（2）解：当时，，
∴的算术平方根为
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据平方根、立方根的定义及无理数的估值求解。9的平方根是，8的立方根是2，，据此即可求解；
（2）将a、b、c的值代入求出的值，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
17．【答案】解：∵，∴，即，
，可得，，
解得：，，则．
∴的平方根为．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】先利用估算无理数大小的方法求出m、n的值，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可.
18．【答案】（1）5；
（2）（2）因为，所以的整数部分为3，即；因为，所以的整数部分为4，即．
所以，，所以，
（3）
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）估算在哪两个连续整数之间，继而求出其整数部分、小数部分；
（2）根据题意，求出a和b的值，继而由立方根的含义求出答案；
（3）确定x和y的值，代入式子求值即可。
1 / 1【提升版】北师大版数学八上2.4估算 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(2，3)，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：点A的坐标为（2，3），可知OA==，3=，4=，<<，点B是以OA为半径的圆上的点，所以OB=OA，所以OB=，介于3和4之间.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理，可得OA的长度；根据圆的性质，可得OA＝OB；根据有理数大小的比较，判断B点的横坐标的大小.
2．（2024八上·深圳期末） 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】无理数的估值；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解： 大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，中正方形的面积比1大，又比5小，设为s，则有：1所以A、C、D都不符合题意，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】求得算术平方根，并对其大小范围进行估算即可.
3．（2023八上·昌平期中）如图所示，下列选项中，被污渍覆盖住的无理数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】设被污渍覆盖住的无理数为x，由图可知：3﹤x﹤4 。
∵ -2﹤﹤-1 ，2﹤ ﹤3， 3﹤﹤4，4﹤﹤5
∴ 被污渍覆盖住的无理数为。
故选：C .
【分析】设被污渍覆盖住的无理数为x，由图可知被污渍遮住的无理数在3和4之间，估算出无理数 ，，的范围，进而解决此题。
4．（2024八上·玉林期末）小明利用计算器得到下表中的数据：
8 8.5 9 9.5 10
64 72.25 81 90.25 100
512 614.125 729 857.375 1000
那么在（ ）之间
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
，
∴，
∴在9.5～10之间，
故答案为：B．
【分析】根据表中的数据可知，即，由此可得的取值范围．
5．（2024八上·盐田期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数的范围可以估计无理数的大概取值范围.
6．（2021八上·临漳期中）已知 ，若 ，则x的值约为（ ）
A．326000 B．32600 C．3.26 D．0.326
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵68.82＝6.882×10，
∴x＝326×103＝326000，
故答案为：A．
【分析】根据68.82＝6.882×10，可得x＝326×103＝326000，即可得到答案。
7．（2023八上·石家庄期中）学习了无理数之后，对于，下列说法正确的是（ ）
I：表示的意义是14的算术平方根； II：面积是14的正方形边长是；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间.
A．三个都正确 B．只有I与II正确
C．只有II与III正确 D．只有II不对
【答案】A
【知识点】算术平方根；无理数的估值
【解析】【解答】解：I：表示的意义是14的算术平方根，正确；
II：面积是14的正方形德边长是，正确；
III：的大小界于两个连续整数3与4之间，正确.
因此三个都正确，
故答案为：A。
【分析】根据算术平方根的意义判定即可。
8．（2023八上·市中区月考）如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数的点，然后过点作，使如图以为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：OP=OB=，
∵，
∴3＜＜4.
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求得OP=OB=，然后估算的范围，即可得出点P的位置介于3和4之间。
二、填空题
9．（2019八上·北碚期末）若 +1的值在两个整数a与a+1之间，则a= ．
【答案】5
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵ +1的值在两个整数a与a+1之间，4< <5，
∴5< +1<6，
∴a=5.
故答案为：5.
【分析】先找出与最接近的两个整数（4< <5），利用不等式的性质可得5< +1<6，进而可得a的值.
10．（2024八上·岳阳楼期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，按此规定的值为 ．
【答案】5
【知识点】无理数的估值；定义新运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
∴的值为5，
故答案为：5.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再根据题干中的定义求出的值为5即可.
11．（2021八上·岳阳期末）设表示的整数部分，表示它的小数部分，求 .
【答案】1
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
.
故答案为：1.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得2<<3，则x=2，y=-2，然后代入(+x)y中计算即可.
12．（2024七下·齐齐哈尔期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 （填“A”或“B”或“C”或“D”）．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
13．（2023八上·乐山期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是 ．
【答案】4
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为3
∵两个小正方形拼成一个大正方形
∴最接近的整数为4
故答案为：4
【分析】本题考查无理数的估算与正方形的面积，熟知正方形的面积公式与估算方法是解题关键.根据正方形的边长可得出：小正方形的面积为9，两个小正方形可平成一个大正方形，可得出大正方形的面积为9+9=18，面积开方即为边长，也就是说大正方形的边长为，由于，所以，即可得出答案.
三、解答题
14．（2023八上·任丘期中）现规定：分别用和表示实数的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是，小数部分是；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即就是的小数部分，所以．
（1） ， ， ， ；
（2）如果，，求的立方根．
【答案】（1）1；；3；
（2）解：∵的整数部分是2，的整数部分是10，
∴，，
∴，
又∵8的立方根为2，
∴的立方根是2．
【知识点】无理数的估值；定义新运算；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1），，
，，，，
故答案为：1，，3，；
【分析】（1）根据题意进行估算无理数的大小即可求解；
（2）先根据估算无理数的大小得到，，进而结合题意根据立方根即可求解。
15．（2023八上·南城期中）如图，每个小正方形的边长均为1．
（1）图中阴影部分的面积是 ；阴影部分正方形的边长是 ．
（2）估计边长的值在两个相邻整数 与 之间．
（3）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，用表示它的小数部分．设边长的整数部分为，小数部分为，求的值．
【答案】（1）13；
（2）3；4
（3）解：；的整数部分为，小数部分为，
，的值为．
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）由图可知阴影部分是正方形，其边长是直角三角形的斜边.∴正方形边长a＝，∴阴影部分正方形的面积＝，故答案是13；；
（2）∵9<13<16，∴3<<4，故答案是3；4；
（3）∵3<<4，∴由题意可得a的整数部分为x=3，小数部分为y=，
∴x-y=3-（）=6-，∴x-y的值为.
【分析】（1）由图可知阴影部分是正方形，再根据勾股定理可得出正方形边长，进而得出阴影部分的面积；
（2）根据“夹逼法”求无理数的估算方法即可得出答案；
（3）根据（2）的结论和（3）的题意解答即可.
16．（2023八上·萧县期中）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵的平方根是，
∴，
即，
∵的立方根是2，
∴，又，
∴，
∵，c是的整数部分，
∴，
（2）解：当时，，
∴的算术平方根为
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据平方根、立方根的定义及无理数的估值求解。9的平方根是，8的立方根是2，，据此即可求解；
（2）将a、b、c的值代入求出的值，再根据算术平方根的定义进行计算即可．
17．（2023八上·成都月考）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，求的平方根．
【答案】解：∵，∴，即，
，可得，，
解得：，，则．
∴的平方根为．
【知识点】平方根；无理数的估值
【解析】【分析】先利用估算无理数大小的方法求出m、n的值，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可.
18．（2023八上·李沧期中）我们知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的整数部分为的整数部分为，求的立方根；
（3）已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）5；
（2）（2）因为，所以的整数部分为3，即；因为，所以的整数部分为4，即．
所以，，所以，
（3）
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）估算在哪两个连续整数之间，继而求出其整数部分、小数部分；
（2）根据题意，求出a和b的值，继而由立方根的含义求出答案；
（3）确定x和y的值，代入式子求值即可。
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