【培优版】北师大版数学八上2.4估算 同步练习
一、选择题
1．（2020八上·惠安期中）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
2．（2023八上·文山月考）估计的值（ ）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即 的值在5和6之间，
故答案为：B.
【分析】根据比较大小求解即可。
3．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）设的小数部分为a，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
=
=
=22
故答案为：A
【分析】先估算无理数的范围，可得a值，再代入代数式，结合完全平方公式及二次根式的乘法即可求出答案.
4．（2024八上·万州期末）估算的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查无理数的估算.根据题意可知：，再通过变形化简可求出答案.
5．（2023八上·南皮期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．一个无理数
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵∴的整数部分为1，则小数部分为，即m=；
∵∴的整数部分为2，则小数部分为，即n=2；
把m、n分别带入，原式==3，A正确。
故答案为：A。
【分析】找到给定根式的小数、整数部分是解题关键。可将根式与指定正整数进行比较，从而确定整数部分的取值。
6．（2023八上·六盘水期中）已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴a=3，b=，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用估算无理数大小的方法可得的整数部分为3，小数部分为，即可得到a=3，b=，再将a、b的值代入计算即可.
7．（2021八上·于洪期中）已知442＝1936，452＝2025，462＝2116，472＝2209，若n为整数且n＜ ＜n＋1，则n的值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
462＝2116，472＝2209，
若n为整数且n＜ ＜n＋1，
故答案为：C
【分析】先写出2021所在的范围，再写出的范围，即可得出n的值。
8．（2021八上·承德期末）如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∵M是BC的中点，
∴BM=1，
过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，
∴∠ABH=60°，
∴AH=，HB=1，
∴HM=2，
在Rt△AHM中，AM=，
∵2.6＜＜2.7．
故答案为：A．
【分析】过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，可求出AH=，HB=1，HM=2，在Rt△AHM中，求得AM的值，再估算出2.6＜＜2.7，即可得出答案。
二、填空题
9．（2020八上·萍乡期末）若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 ．
【答案】a＜b＜c
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
10．（2023八上·惠州开学考）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
11．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）已知．若为整数，且则 ．
【答案】12
【知识点】无理数的估值；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵n为整数且，
∴．
故答案为：12．
【分析】根据立方根的定义及估算求解。由，利用立方根定义及不等式性质可得，，结合题中条件可知，，即．
12．（2023八上·瑞昌期中）介于和之间的整数是 .
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵即，
∴介于和之间的整数是3.
故答案为：3.
【分析】用无理数的估算方法解答即可.
13．（2023八上·叙州月考）观察：观察，，，；填空：
则 ．
若，则 ．
【答案】；
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
故答案为：0.7071；
②∵，，
∴x=，
故答案为： .
【分析】①观察所给的等式，根据根号内的小数点的移动规律计算求解即可；
②观察所给的等式，根据根号内的小数点的移动规律计算求解即可。
三、解答题
14．（2023八上·南皮期中）
（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题：
①，则
②
发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：①已知 ， ；
②已知，则 ；
（3）拓展：已知，计算和的值．
【答案】（1）右；1；左；1
（2）1.732；17.32；
（3）解：，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
（1）①右，1 ②左，1
（2）①，
②由题意可知，则，所以a=-0.01
（3）
【分析】
（1）仔细观察所给例子，就能发现计算规律；
（2）掌握（1）中计算方法是解题关键，注意三次根号下，被开方数可以是负数；
（3）首先要将所给式子进行变形，然后结合运算规律进行计算。
15．（2023八上·天桥期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分.
（1）求a、b、c的值；
（2）求的平方根.
【答案】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
解得：，，
∵，
∴，
∴的整数部分是2，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值；代数式求值
【解析】【分析】（1）先利用立方根、算术平方根和估算无理数大小的方法求出a、b、c的值即可；
（2）将a、b、c的值代入计算即可.
16．（2023八上·临汾月考） 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法现请你根据小明的说法解答：
（1）的小数部分是，的整数部分是，求的值．
（2）已知，其中是一个整数，，求的值．
【答案】（1）解：，，
．
，，
，
（2）解：
，
，
．
原式．
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据估算无理数的方法得出a的值为、b的值为3，代入原式即可求解；
（2）根据已知条件得出x=9、y=-1的值，代入原式即可求解.
17．（2023八上·重庆市期中） 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且0【答案】（1）4；
（2）—1
（3）解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
∴x=2，y=-4，
∴x-y=2-+4=6-，
∴x-y 的相反数是 -6.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴的整数部分为：4，小数部分为：-4；
故第1空答案为：4；第2空答案为：-4；
（2）∵10+夹在两个整数之间， ，
∴b=a+1，
∴a-b=-1，
∴ （-1）2013=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）仿照阅读部分的推理，即可得出的整数部分为：4，小数部分为：-4；
（2）直接根据两个相邻的整数的差为1，即可得出a-b=-1，即可求得-1；
（3）根据 是整数，且0四、实践探究题
18．（2024八上·大竹期末）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴．∴．
∴，解得．∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）问题：
（1）请你依照小明的方法，估算的值（结果保留两位小数）；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、，且，估计的值（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值．
【答案】（1）解：∵，
设，
∴，
∴，
∴．
解得，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据例题设，两边同时平方得到， 舍去得到． 记得， 回代到，从而求解；
（2）设 ，两边同时平方得到， 舍去得到， 回代，从而求解；
（3）根据例题仿写计算即可求解.
1 / 1【培优版】北师大版数学八上2.4估算 同步练习
一、选择题
1．（2020八上·惠安期中）设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
2．（2023八上·文山月考）估计的值（ ）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
3．（2024八上·邯郸经济技术开发期末）设的小数部分为a，则的值为（ ）
A．22 B． C． D．
4．（2024八上·万州期末）估算的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
5．（2023八上·南皮期中）设的小数部分是的整数部分是，则的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．一个无理数
6．（2023八上·六盘水期中）已知，分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·于洪期中）已知442＝1936，452＝2025，462＝2116，472＝2209，若n为整数且n＜ ＜n＋1，则n的值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
8．（2021八上·承德期末）如图1，在中，，，M是的中点，设，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）所标四段中的（ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
二、填空题
9．（2020八上·萍乡期末）若 ， ， ，则 的大小关系用“＜”号排列为 ．
10．（2023八上·惠州开学考）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，若规定实数的整数部分记为，小数部分记为，可得，按照此规定计的值是 ．
11．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）已知．若为整数，且则 ．
12．（2023八上·瑞昌期中）介于和之间的整数是 .
13．（2023八上·叙州月考）观察：观察，，，；填空：
则 ．
若，则 ．
三、解答题
14．（2023八上·南皮期中）
（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题：
①，则
②
发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：①已知 ， ；
②已知，则 ；
（3）拓展：已知，计算和的值．
15．（2023八上·天桥期中）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分.
（1）求a、b、c的值；
（2）求的平方根.
16．（2023八上·临汾月考） 数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是，那么有谁能说出它的小数部分是多少？”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法现请你根据小明的说法解答：
（1）的小数部分是，的整数部分是，求的值．
（2）已知，其中是一个整数，，求的值．
17．（2023八上·重庆市期中） 阅读下面的文字，解答问题.
无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、等，而常用“……”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确，于是小刚用来表示的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：因为，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为，也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间。根据上述信息，请回答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）10+也是夹在两个整数之间的，可以表示为，则 ；
（3）若，其中是整数，且0四、实践探究题
18．（2024八上·大竹期末）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴．∴．
∴，解得．∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）问题：
（1）请你依照小明的方法，估算的值（结果保留两位小数）；
（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：已知非负整数a、b、，且，估计的值（用含a、b的代数式表示）；
（3）请用（2）中的结论估算的近似值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即 的值在5和6之间，
故答案为：B.
【分析】根据比较大小求解即可。
3．【答案】A
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
=
=
=22
故答案为：A
【分析】先估算无理数的范围，可得a值，再代入代数式，结合完全平方公式及二次根式的乘法即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查无理数的估算.根据题意可知：，再通过变形化简可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵∴的整数部分为1，则小数部分为，即m=；
∵∴的整数部分为2，则小数部分为，即n=2；
把m、n分别带入，原式==3，A正确。
故答案为：A。
【分析】找到给定根式的小数、整数部分是解题关键。可将根式与指定正整数进行比较，从而确定整数部分的取值。
6．【答案】D
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的整数部分为3，小数部分为，
∴a=3，b=，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用估算无理数大小的方法可得的整数部分为3，小数部分为，即可得到a=3，b=，再将a、b的值代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】
462＝2116，472＝2209，
若n为整数且n＜ ＜n＋1，
故答案为：C
【分析】先写出2021所在的范围，再写出的范围，即可得出n的值。
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，
∵M是BC的中点，
∴BM=1，
过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，
∴∠ABH=60°，
∴AH=，HB=1，
∴HM=2，
在Rt△AHM中，AM=，
∵2.6＜＜2.7．
故答案为：A．
【分析】过点A作A、HA⊥BC交CB延长线于点H，可求出AH=，HB=1，HM=2，在Rt△AHM中，求得AM的值，再估算出2.6＜＜2.7，即可得出答案。
9．【答案】a＜b＜c
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵a2=2000+2 ，b2=2000+2 ，c2=4004=2000+2×1002，
1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004．
∴a＜b＜c．
故答案为：a＜b＜c.
【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可．
10．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： 按照此规定 ，表示的 小数部分 ，因为，所以，即，所以.
故答案为：.
【分析】先确定的范围，再确定的范围，然后求出.
11．【答案】12
【知识点】无理数的估值；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵n为整数且，
∴．
故答案为：12．
【分析】根据立方根的定义及估算求解。由，利用立方根定义及不等式性质可得，，结合题中条件可知，，即．
12．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵即，
∴介于和之间的整数是3.
故答案为：3.
【分析】用无理数的估算方法解答即可.
13．【答案】；
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
故答案为：0.7071；
②∵，，
∴x=，
故答案为： .
【分析】①观察所给的等式，根据根号内的小数点的移动规律计算求解即可；
②观察所给的等式，根据根号内的小数点的移动规律计算求解即可。
14．【答案】（1）右；1；左；1
（2）1.732；17.32；
（3）解：，
．
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：
（1）①右，1 ②左，1
（2）①，
②由题意可知，则，所以a=-0.01
（3）
【分析】
（1）仔细观察所给例子，就能发现计算规律；
（2）掌握（1）中计算方法是解题关键，注意三次根号下，被开方数可以是负数；
（3）首先要将所给式子进行变形，然后结合运算规律进行计算。
15．【答案】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
解得：，，
∵，
∴，
∴的整数部分是2，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数的估值；代数式求值
【解析】【分析】（1）先利用立方根、算术平方根和估算无理数大小的方法求出a、b、c的值即可；
（2）将a、b、c的值代入计算即可.
16．【答案】（1）解：，，
．
，，
，
（2）解：
，
，
．
原式．
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】（1）根据估算无理数的方法得出a的值为、b的值为3，代入原式即可求解；
（2）根据已知条件得出x=9、y=-1的值，代入原式即可求解.
17．【答案】（1）4；
（2）—1
（3）解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴2＜-2＜3，
∴x=2，y=-4，
∴x-y=2-+4=6-，
∴x-y 的相反数是 -6.
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵16＜21＜25，
∴，
即4＜＜5，
∴的整数部分为：4，小数部分为：-4；
故第1空答案为：4；第2空答案为：-4；
（2）∵10+夹在两个整数之间， ，
∴b=a+1，
∴a-b=-1，
∴ （-1）2013=-1；
故答案为：-1；
【分析】（1）仿照阅读部分的推理，即可得出的整数部分为：4，小数部分为：-4；
（2）直接根据两个相邻的整数的差为1，即可得出a-b=-1，即可求得-1；
（3）根据 是整数，且018．【答案】（1）解：∵，
设，
∴，
∴，
∴．
解得，
∴；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
（3）解：∵，
∴．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）根据例题设，两边同时平方得到， 舍去得到． 记得， 回代到，从而求解；
（2）设 ，两边同时平方得到， 舍去得到， 回代，从而求解；
（3）根据例题仿写计算即可求解.
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