【提升版】北师大版数学八上2.6实数 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·邗江期末）如图，在数轴上表示 的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
2．（2020八上·河南月考）下列说法中，正确的个数有（ ）
①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数； ④ 是17的平方根；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023八上·渠县期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为-2，2，于点B，且.连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·从江月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．的倒数是- B．是3的算术平方根
C．面积为3的正方形的边长为 D．是无理数
5．（2019八上·重庆开学考）在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022八上·重庆市开学考）下列语句及写成式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根，即
B．的平方根是
C．1的立方根是
D．与数轴上的点一一对应的是实数
7．（2018八上·大田期中）无理数 在数轴上表示时的大概位置是（ ）
A．E点 B．F点 C．G点 D．H点
8．（2023八上·太原期中）如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度.若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·天元期末）点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有 个.
10．（2023八上·南关期中）如果的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b-＝ ．
11．（2021八上·会同期末）如图，数轴上、两点所表示的数是和点是线段的中点，则点所表示的数是 .
12．（2024八上·顺德期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为 .
13．（2023八上·沂水月考）已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|-|a+b|+|c-b|＝ ．
三、解答题
14．（2019八上·泊头期中）把下列各数填入相应的集合圈里（填序号）
⑴﹣30 ⑵ ⑶3.14 ⑷ ⑸0 ⑹+20 ⑺﹣2.6 ⑻ ⑼ ⑽ ；⑾﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2） ⑿ ⒀
15．（2023八上·黄岛期中）把下列各数写入相应的集合中：，2.5，，，0，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）．
（1）有理数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}．
16．（2022八上·仁寿月考）已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简
17．（湘教版八年级数学上册第三章 实数 单元检测卷）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
18．（湘教版八年级数学上册第三章 实数 单元检测卷）某公路规定行驶汽车速度不得超过80千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是 ，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d=32米，f=2．请你判断一下，肇事汽车当时是否超出了规定的速度？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示 的点可能是点Q.
故答案为：B.
【分析】利用无理数的估算得到3＜ ＜4，然后对各点进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；
④ 是17的平方根，正确.
故答案为：B.
【分析】无限不循环的小数就是无理数，常见的无理数包括三类：①开方开不尽的数，②π的倍数的数，③象0.101001000100001……这类有规律的数；有限小数和无限循环小数都是有理数，有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的关系；若果一个数x2=a，则x就是a的平方根，从而即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A，B表示的数分别为-2，2，
∴，
∵于点B，且.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E表示的实数是，
故答案为：B.
【分析】首先算出AB的长，根据勾股定理算出AC的长，进而根据AD=AC-CD算出AD的长，接着根据同圆的半径相等可得AE的长，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点E所表示的数.
4．【答案】A
【知识点】实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A：的倒数是，该说法是错误的，符合题意；B：是3的算术平方根，该说法是正确的，不符合题意；C：面积为3的正方形的边长为，该说法是正确的，不符合题意；D：是无理数，该说法是正确的，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义逐一分析判定即可。
5．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：在实数 ， ， ， 中 ＝2，有理数有 ， 共2个.
故答案为：B.
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：A、9是81的算术平方根，即=9，A错误；
B、a2的平方根为±=±a，B错误；
C、1的立方根是1，C错误；
D、实数与数轴上的点一一对应，D正确.
故答案为：D．
【分析】一个数x的平方等于a，这个数x就是a的平方根，用符号表示为：x=（a≥0），据此可判断B；一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的算术平方根，用符号表示为：x=（a＞0），据此可判断A；根据任何数都只有一个立方根可判断C；根据数轴与实数的关系是一一对应，即可判断D.
7．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】∵6.25＜7＜9，∴ ＜ ＜ ，∴2.5＜ ＜3，∴﹣3＜﹣ ＜﹣2.5；
故答案为：B
【分析】 在与之间，对他们开根号，得到在2.5与3之间，那么他的相反数-则在，-3和-2.5之间
8．【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：AC=3-1=2，AB=1，∠BAC=90°，
∴CB=，
∴PC=BC=，
∵点C表示的数为3，
∴点P表示的数为，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出CB的长，可得PC=BC=，再结合“点C表示的数为3”，可得点P表示的数为，从而得解.
9．【答案】6
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，，
，，
∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个，
故答案为：6
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。
10．【答案】-5
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴。
故答案为：.
【分析】根据实数的大小确定a、b的值，再代入求解。
11．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的中点
∴点C所表示的数为：
故答案为：.
【分析】根据点C为线段AB的中点可得点C表示的数为，计算即可.
12．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：，
∴，
∵B点在负半轴，
∴数轴上点B所表示的数为；
故答案为： .
【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OA的值，即得出OB的值，结合数轴即可求解.
13．【答案】c
【知识点】无理数在数轴上表示；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：根据数轴可得：a<0，a+b<0，c-b>0，
∴|a|-|a+b|+|c-b|＝-a-[-（a+b）]+（c-b）=-a+a+b+c-b=c，
故答案为：c.
【分析】先结合数轴求出a<0，a+b<0，c-b>0，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
14．【答案】解：如图所示：
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据实数的概念及分类，将序号填在相应的位置即可．
15．【答案】（1）
（2）（相邻两个5之间7的个数逐次加1）
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】（1）解：，，
有理数集合{，，，0，}．
故答案为：，，，0，．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再利用有理数的定义判定即可；
（2）根据无理数的定义判定。常见的无理数有：开不尽方的数，消不掉的数，有一定规律的无限不循环小数；
16．【答案】解：由题意可得，，
又∵，
∴，，
∴
，
，
．
【知识点】无理数在数轴上表示；整式的加减运算；实数的绝对值
【解析】【分析】利用数轴可知c＜a＜0＜b，由|a|=|b|可知a+b=0，同时可得到c-a＜0；再利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简，然后合并同类项.
17．【答案】（1）﹣i；1
（2）解：（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i
（3）解：i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）i3=i2 i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
【分析】（1）根据题目中i2=-1，将其代入两个式子即可求出正确答案。
（2）将式子去括号，将i2=-1代入，化简求值即可。
（3）将i2=-1代入式子中，根据化简后的式子得出规律，可以隔项作和，和为0，最终得出结果i。
18．【答案】解：d=32，f=2代入v=16 ，
v=16 =128（km/h）
∵128＞80，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度。
【知识点】平方根；算术平方根；实数的运算
【解析】【分析】分别将d和f的数值代入经验公式，求出行驶速度的数值，将其进行比较，得出超速或者未超速的结果。
1 / 1【提升版】北师大版数学八上2.6实数 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·邗江期末）如图，在数轴上表示 的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示 的点可能是点Q.
故答案为：B.
【分析】利用无理数的估算得到3＜ ＜4，然后对各点进行判断即可.
2．（2020八上·河南月考）下列说法中，正确的个数有（ ）
①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数； ④ 是17的平方根；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示；有理数及其分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；
④ 是17的平方根，正确.
故答案为：B.
【分析】无限不循环的小数就是无理数，常见的无理数包括三类：①开方开不尽的数，②π的倍数的数，③象0.101001000100001……这类有规律的数；有限小数和无限循环小数都是有理数，有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的关系；若果一个数x2=a，则x就是a的平方根，从而即可一一判断得出答案.
3．（2023八上·渠县期末）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为-2，2，于点B，且.连接，在上截取，以点A为圆心，的长为半径画弧，交线段于点E，则点E表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵点A，B表示的数分别为-2，2，
∴，
∵于点B，且.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E表示的实数是，
故答案为：B.
【分析】首先算出AB的长，根据勾股定理算出AC的长，进而根据AD=AC-CD算出AD的长，接着根据同圆的半径相等可得AE的长，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点E所表示的数.
4．（2023八上·从江月考）下列说法中，错误的是（ ）
A．的倒数是- B．是3的算术平方根
C．面积为3的正方形的边长为 D．是无理数
【答案】A
【知识点】实数的运算；无理数的概念
【解析】【解答】解：A：的倒数是，该说法是错误的，符合题意；B：是3的算术平方根，该说法是正确的，不符合题意；C：面积为3的正方形的边长为，该说法是正确的，不符合题意；D：是无理数，该说法是正确的，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义逐一分析判定即可。
5．（2019八上·重庆开学考）在实数 ， ， ， 中有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：在实数 ， ， ， 中 ＝2，有理数有 ， 共2个.
故答案为：B.
【分析】整数和分数统称为有理数，依此定义求解即可.
6．（2022八上·重庆市开学考）下列语句及写成式子正确的是（ ）
A．9是81的算术平方根，即
B．的平方根是
C．1的立方根是
D．与数轴上的点一一对应的是实数
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：A、9是81的算术平方根，即=9，A错误；
B、a2的平方根为±=±a，B错误；
C、1的立方根是1，C错误；
D、实数与数轴上的点一一对应，D正确.
故答案为：D．
【分析】一个数x的平方等于a，这个数x就是a的平方根，用符号表示为：x=（a≥0），据此可判断B；一个正数x的平方等于a，这个正数x就是a的算术平方根，用符号表示为：x=（a＞0），据此可判断A；根据任何数都只有一个立方根可判断C；根据数轴与实数的关系是一一对应，即可判断D.
7．（2018八上·大田期中）无理数 在数轴上表示时的大概位置是（ ）
A．E点 B．F点 C．G点 D．H点
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】∵6.25＜7＜9，∴ ＜ ＜ ，∴2.5＜ ＜3，∴﹣3＜﹣ ＜﹣2.5；
故答案为：B
【分析】 在与之间，对他们开根号，得到在2.5与3之间，那么他的相反数-则在，-3和-2.5之间
8．（2023八上·太原期中）如图的数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段于点，且长为1个单位长度.若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于0和1之间的点，则点表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：AC=3-1=2，AB=1，∠BAC=90°，
∴CB=，
∴PC=BC=，
∵点C表示的数为3，
∴点P表示的数为，
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出CB的长，可得PC=BC=，再结合“点C表示的数为3”，可得点P表示的数为，从而得解.
二、填空题
9．（2024八上·天元期末）点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数为，则A、B之间表示的整数点有 个.
【答案】6
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，，
，，
∴A、B之间表示的整数有-3，-2，-1，0，1，2，共6个，
故答案为：6
【分析】先根据题意估算无理数的大小，进而结合有理数在数轴上的表示即可求解。
10．（2023八上·南关期中）如果的小数部分为a，的小数部分为b，则a+b-＝ ．
【答案】-5
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴。
故答案为：.
【分析】根据实数的大小确定a、b的值，再代入求解。
11．（2021八上·会同期末）如图，数轴上、两点所表示的数是和点是线段的中点，则点所表示的数是 .
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；线段的中点
【解析】【解答】解：∵点C为线段AB的中点
∴点C所表示的数为：
故答案为：.
【分析】根据点C为线段AB的中点可得点C表示的数为，计算即可.
12．（2024八上·顺德期末）如图，已知，点到数轴的距离为1，那么数轴上点所表示的数为 .
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：，
∴，
∵B点在负半轴，
∴数轴上点B所表示的数为；
故答案为： .
【分析】根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得OA的值，即得出OB的值，结合数轴即可求解.
13．（2023八上·沂水月考）已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|-|a+b|+|c-b|＝ ．
【答案】c
【知识点】无理数在数轴上表示；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：根据数轴可得：a<0，a+b<0，c-b>0，
∴|a|-|a+b|+|c-b|＝-a-[-（a+b）]+（c-b）=-a+a+b+c-b=c，
故答案为：c.
【分析】先结合数轴求出a<0，a+b<0，c-b>0，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
三、解答题
14．（2019八上·泊头期中）把下列各数填入相应的集合圈里（填序号）
⑴﹣30 ⑵ ⑶3.14 ⑷ ⑸0 ⑹+20 ⑺﹣2.6 ⑻ ⑼ ⑽ ；⑾﹣0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2） ⑿ ⒀
【答案】解：如图所示：
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据实数的概念及分类，将序号填在相应的位置即可．
15．（2023八上·黄岛期中）把下列各数写入相应的集合中：，2.5，，，0，，，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）．
（1）有理数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}．
【答案】（1）
（2）（相邻两个5之间7的个数逐次加1）
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】（1）解：，，
有理数集合{，，，0，}．
故答案为：，，，0，．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再利用有理数的定义判定即可；
（2）根据无理数的定义判定。常见的无理数有：开不尽方的数，消不掉的数，有一定规律的无限不循环小数；
16．（2022八上·仁寿月考）已知实数在数轴上的位置如图所示，且，化简
【答案】解：由题意可得，，
又∵，
∴，，
∴
，
，
．
【知识点】无理数在数轴上表示；整式的加减运算；实数的绝对值
【解析】【分析】利用数轴可知c＜a＜0＜b，由|a|=|b|可知a+b=0，同时可得到c-a＜0；再利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简，然后合并同类项.
17．（湘教版八年级数学上册第三章 实数 单元检测卷）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；
（1+i）×（2﹣i）=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+（﹣1+2）i+1=3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3= ，i4= ；
（2）计算：（1+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+…+i2017．
【答案】（1）﹣i；1
（2）解：（1+i）×（3﹣4i）
=3﹣4i+3i﹣4i2
=3﹣i+4
=7﹣i
（3）解：i+i2+i3+…+i2017
=i﹣1﹣i+1+…+i
=i
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：（1）i3=i2 i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1．
故答案为：﹣i，1；
【分析】（1）根据题目中i2=-1，将其代入两个式子即可求出正确答案。
（2）将式子去括号，将i2=-1代入，化简求值即可。
（3）将i2=-1代入式子中，根据化简后的式子得出规律，可以隔项作和，和为0，最终得出结果i。
18．（湘教版八年级数学上册第三章 实数 单元检测卷）某公路规定行驶汽车速度不得超过80千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是 ，其中v表示车速（单位：千米/时），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d=32米，f=2．请你判断一下，肇事汽车当时是否超出了规定的速度？
【答案】解：d=32，f=2代入v=16 ，
v=16 =128（km/h）
∵128＞80，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度。
【知识点】平方根；算术平方根；实数的运算
【解析】【分析】分别将d和f的数值代入经验公式，求出行驶速度的数值，将其进行比较，得出超速或者未超速的结果。
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