【培优版】北师大版数学八上 2.6实数 同步练习
一、选择题
1．（2018八上·兴隆期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第二章《实数》单元测试卷）若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
3．（2021八上·高邑期中）如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
4．（2024八上·湖南期末）如图，点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·石景山期末）如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
7．（2021八上·诸暨期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1.连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B． +1 C．2 D． ﹣1
8．（2020八上·青山期中）下列说法正确的有（ ）
⑴带根号的数都是无理数；
⑵立方根等于本身的数是0和1；
⑶ 一定没有平方根；
⑷实数与数轴上的点是一一对应的；
⑸两个无理数的差还是无理数；
⑹若面积为3的正方形的边长为a，a一定是一个无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八上·青羊月考）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E，则E点表示的数为 ．
10．（2018八上·梅县期中）在实数 ， ，0.1414， ， ， ， ，0.1010010001…， ，0， 中，写出所有无理数有 个.
11．（2020八上·青岛期中）如图，在Rt 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是 ．
12．（2018八上·东台月考）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是 .
13．（2021八上·内江期中）设a，b是有理数，且满足 ，则 的值为 .
三、解答题
14．（2021八上·薛城期中）请在数轴上用尺规作出 所对应的点．（保留作图痕迹，不写做法）
15．（2020八上·成都月考）已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，请化简式子：
．
16．在数轴上点A表示的数是．
（1）若把点A向左平移2个单位得到点为B，则点B表示的数是什么？
（2）点C和（1）中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？
（3）求出线段OA，OB，OC的长度之和．
17．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是多少？（要求写出求解过程）
（2）这个图形的目的是为了说明什么？
18．（2023八上·槐荫期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的运算
【解析】【解答】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、 ＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据实数a、b、c、d在数轴上的位置及b+d＝0，可得a＜b＜0＜c＜d，|a|＞|b|＝|d|＞|c|，据此逐一分析即可.
2．【答案】B
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
3．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 对应的点是M．
故答案为：C．
【分析】根据9＜15＜16，可得3＜ ＜4，再结合数轴即可得到答案。
4．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：OB=2，OA=1，∠BOA=90°，
在Rt△ABO中，AB=，
∴AC=AB=，
∵点A表示的数是1，
∴点C表示的数是，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用数轴上两点之间的距离公式及表示方法求出点C表示的数即可.
5．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
点距离此点最近．
故答案为：B．
【分析】先估算，再求出，最后判断即可。
6．【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值；勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
7．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝ ，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝ ﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝ ﹣1，
∴点E表示的实数是 ﹣1.
故答案为：D.
【分析首先由勾股定理求出AC，根据CD=BC可得AD，根据AE=AD可得AE，据此可得点E表示的实数.
8．【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：⑴带根号的数不一定都是无理数，如 是有理数，说法不符合题意；
⑵立方根等于本身的数是0和 ，说法不符合题意；
⑶当 为非负数时， 有平方根，说法不符合题意；
⑷实数与数轴上的点是一一对应的，说法符合题意；
⑸两个无理数的差不一定还是无理数，如 ，说法不符合题意；
⑹由正方形的面积公式得： ， 是无理数，说法符合题意；
综上，说法正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义、立方根与平方根、实数与数轴的关系逐个判断即可得．
9．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而数轴结合题意即可求解。
10．【答案】5
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】无理数有： ， ， ，0.1010010001…， ；
故无理数的个数为5.
故答案为：5.
【分析】无理数即为无限不循环小数。、、是开方开不尽的数，它们是无限不循环小数，与0.1010010001…也是无限不循环小数；、是分数，0.1414是有限小数，=也是分数，0是整数，整数与分数统为有理数。
11．【答案】1﹣2
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，AC＝3﹣1＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝
∴点B1表示的数是1﹣ ．
故答案为：1﹣2 ．
【分析】先求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长，再根据数轴的特点，从点A向左AB各单位即可得出点B1所表示的数。
12．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC= = ，∵CD=CB=1，∴AD=AC-CD= -1，∴AE= -1，∴点E表示的实数是 -1.
故答案为： -1.
【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，再根据线段的和差算出AD的长，根据同圆的半径相等得出AE=AD，最后根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出答案。
13．【答案】-8
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，且a、b是有理数
∴ ，
.
故答案为：-8.
【分析】由于a、b都是有理数，比较等式左右两边的有理数部分和无理数部分，根据实数的性质可得a=3、b=-2，然后代入计算即可.
14．【答案】解：如图所示，不妨用点E来表示 ，
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【分析】根据勾股定理，作出以2和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长为 ， 再以原点为圆心，以 ， 为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求。
15．【答案】解：由数轴可得： ， ， ， ，
∴ ，
，
，
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】由数轴可得 ， ， ， ，然后进行化简即可．
16．【答案】解：（1）点B表示的数是﹣2．
（2）点C表示的数是2﹣．
（3）由题可得：A表示，B表示﹣2，C表示2﹣，
∴OA=，OB=﹣2，OC=|2﹣|=﹣2．
∴OA+OB+OC=+-2+-2=3﹣4．
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）根据左减右加进行计算；
（2）关于原点对称的两个点即为互为相反数；
（3）求其长度之和，即是求它们的绝对值的和．
17．【答案】解：（1）∵OB2=12+12=2，∴OB=，∴OA=OB=；（2）数轴上的点和实数﹣一对应关系；
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
18．【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为，
线段上有一点，且，则表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
即：，，
∵原点恰为线段的三等分点，
∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号，
①当时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点．
（3）解：或
【知识点】无理数在数轴上表示；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长GH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是
∴点H在数轴上表示的数为：
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长A是个单位长度
∴点A在数轴上表示的数为：
故答案为：，
（3）根据题意，因为、、三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当时，点与点重合，此时，
解得：；
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
③如图，连接，
∵EFGH是长方形，
∴，
∵，
∴或，
∴．
综上所述，存在这样的，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求出答案.
（2）先根据题意求出点M，N在数轴上对应的数，根据恰为线段的三等分点可得OM=2ON或ON=2OM，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）分当时，点与点重合， ，三种情况，列出等式即可求出答案.
1 / 1【培优版】北师大版数学八上 2.6实数 同步练习
一、选择题
1．（2018八上·兴隆期中）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示.若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；实数的运算
【解析】【解答】由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，
A、b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；
B、 ＜0，故B不符合题意；
C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；
D、|a|＞|b|＝|d|，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据实数a、b、c、d在数轴上的位置及b+d＝0，可得a＜b＜0＜c＜d，|a|＞|b|＝|d|＞|c|，据此逐一分析即可.
2．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第二章《实数》单元测试卷）若6－ 的整数部分为x，小数部分为y，则(2x＋ )y的值是（ ）
A．5－3 B．3 C．3 －5 D．－3
【答案】B
【知识点】无理数的估值；实数的运算
【解析】【解答】解：因为 ， 所以 ，所以 ，所以
的整数部分x=2，小数部分y= ，所以(2x＋ )y= ，故答案为：B.
【分析】由3=＜＜4=，得到2＜6-＜3，得到它的整数部分是2，小数部分是4-，再由平方差公式求出代数式的值.
3．（2021八上·高邑期中）如图，在数轴上表示实数 的点可能（ ）．
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴ 对应的点是M．
故答案为：C．
【分析】根据9＜15＜16，可得3＜ ＜4，再结合数轴即可得到答案。
4．（2024八上·湖南期末）如图，点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可得：OB=2，OA=1，∠BOA=90°，
在Rt△ABO中，AB=，
∴AC=AB=，
∵点A表示的数是1，
∴点C表示的数是，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用数轴上两点之间的距离公式及表示方法求出点C表示的数即可.
5．（2022八上·石景山期末）如图，数轴上，，，四点中，与对应的点距离最近的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
点距离此点最近．
故答案为：B．
【分析】先估算，再求出，最后判断即可。
6．（2021八上·南京期末）在 中， ， ， .下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③a是8的算术平方根；④ .其中，所有正确的说法的序号是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【知识点】算术平方根；无理数在数轴上表示；无理数的估值；勾股定理；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
① 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③a是8的算术平方根，说法正确；
④∵4＜8＜9，∴ ，即2＜a＜3，说法错误；
所以说法正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理求出a的值，根据a的值，可对①作出判断；根据实数与数轴上的点成一一对应，可对②作出判断；利用正数的算术平方根是正数，可对③作出判断；利用估算无理数的大小方法，可知，可对④作出判断，综上所述可得到正确说法的个数.
7．（2021八上·诸暨期中）如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1.连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2 B． +1 C．2 D． ﹣1
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝ ，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝ ﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝ ﹣1，
∴点E表示的实数是 ﹣1.
故答案为：D.
【分析首先由勾股定理求出AC，根据CD=BC可得AD，根据AE=AD可得AE，据此可得点E表示的实数.
8．（2020八上·青山期中）下列说法正确的有（ ）
⑴带根号的数都是无理数；
⑵立方根等于本身的数是0和1；
⑶ 一定没有平方根；
⑷实数与数轴上的点是一一对应的；
⑸两个无理数的差还是无理数；
⑹若面积为3的正方形的边长为a，a一定是一个无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平方根；立方根及开立方；无理数在数轴上表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：⑴带根号的数不一定都是无理数，如 是有理数，说法不符合题意；
⑵立方根等于本身的数是0和 ，说法不符合题意；
⑶当 为非负数时， 有平方根，说法不符合题意；
⑷实数与数轴上的点是一一对应的，说法符合题意；
⑸两个无理数的差不一定还是无理数，如 ，说法不符合题意；
⑹由正方形的面积公式得： ， 是无理数，说法符合题意；
综上，说法正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据无理数的定义、立方根与平方根、实数与数轴的关系逐个判断即可得．
二、填空题
9．（2023八上·青羊月考）如图，长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，以A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点E，则E点表示的数为 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵长方形的边长为3，长为1，在数轴上点A对应的数为，点B对应的数为2，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而数轴结合题意即可求解。
10．（2018八上·梅县期中）在实数 ， ，0.1414， ， ， ， ，0.1010010001…， ，0， 中，写出所有无理数有 个.
【答案】5
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】无理数有： ， ， ，0.1010010001…， ；
故无理数的个数为5.
故答案为：5.
【分析】无理数即为无限不循环小数。、、是开方开不尽的数，它们是无限不循环小数，与0.1010010001…也是无限不循环小数；、是分数，0.1414是有限小数，=也是分数，0是整数，整数与分数统为有理数。
11．（2020八上·青岛期中）如图，在Rt 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是 ．
【答案】1﹣2
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，AC＝3﹣1＝2，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴AB＝
∴点B1表示的数是1﹣ ．
故答案为：1﹣2 ．
【分析】先求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长，再根据数轴的特点，从点A向左AB各单位即可得出点B1所表示的数。
12．（2018八上·东台月考）如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC=1，连接AC，在AC上截取CD=BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是 .
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC= = ，∵CD=CB=1，∴AD=AC-CD= -1，∴AE= -1，∴点E表示的实数是 -1.
故答案为： -1.
【分析】首先根据勾股定理算出AC的长，再根据线段的和差算出AD的长，根据同圆的半径相等得出AE=AD，最后根据数轴上的点所表示的数的特点即可得出答案。
13．（2021八上·内江期中）设a，b是有理数，且满足 ，则 的值为 .
【答案】-8
【知识点】实数的运算
【解析】【解答】解：∵ ，且a、b是有理数
∴ ，
.
故答案为：-8.
【分析】由于a、b都是有理数，比较等式左右两边的有理数部分和无理数部分，根据实数的性质可得a=3、b=-2，然后代入计算即可.
三、解答题
14．（2021八上·薛城期中）请在数轴上用尺规作出 所对应的点．（保留作图痕迹，不写做法）
【答案】解：如图所示，不妨用点E来表示 ，
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【分析】根据勾股定理，作出以2和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长为 ， 再以原点为圆心，以 ， 为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求。
15．（2020八上·成都月考）已知 ， ， 在数轴上的位置如图所示，请化简式子：
．
【答案】解：由数轴可得： ， ， ， ，
∴ ，
，
，
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的大小比较；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】由数轴可得 ， ， ， ，然后进行化简即可．
16．在数轴上点A表示的数是．
（1）若把点A向左平移2个单位得到点为B，则点B表示的数是什么？
（2）点C和（1）中的点B所表示的数互为相反数，点C表示的数是什么？
（3）求出线段OA，OB，OC的长度之和．
【答案】解：（1）点B表示的数是﹣2．
（2）点C表示的数是2﹣．
（3）由题可得：A表示，B表示﹣2，C表示2﹣，
∴OA=，OB=﹣2，OC=|2﹣|=﹣2．
∴OA+OB+OC=+-2+-2=3﹣4．
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）根据左减右加进行计算；
（2）关于原点对称的两个点即为互为相反数；
（3）求其长度之和，即是求它们的绝对值的和．
17．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形回答下列问题：
（1）线段OA的长度是多少？（要求写出求解过程）
（2）这个图形的目的是为了说明什么？
【答案】解：（1）∵OB2=12+12=2，∴OB=，∴OA=OB=；（2）数轴上的点和实数﹣一对应关系；
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；
（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；
18．（2023八上·槐荫期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是个单位长度，长方形ABCD的长AD是个单位长度，长方形EFGH的长EH是个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E、D两点之间的距离为．
（1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ；
（2）若线段的中点为，线段上有一点N，，点M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点N以每秒3个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为秒，问当为多少时，原点恰为线段的三等分点？
（3）若线段的中点为，线段上有一点N，，长方形以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，长方形保持不动，设运动时间为秒，是否存在一个的值，使以M、N、F三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出的值；不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：由题意知，线段的中点为，则表示的数为，
线段上有一点，且，则表示的数为．
M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，以每秒3个单位长度的速度向左运动，经过秒后，点表示的数为，点表示的数为，
即：，，
∵原点恰为线段的三等分点，
∴OM=2ON或且点在线段上，即、表示的数异号，
①当时，则有，
解得或，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意．
②当时，则有，
解得，
经检验，不符合题意，舍去，符合题意；
综上所述，当或时，原点恰为线段的三等分点．
（3）解：或
【知识点】无理数在数轴上表示；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：（1）∵长方形EFGH的长GH是个单位长度，且点E在数轴上表示的数是
∴点H在数轴上表示的数为：
∵E，D两点之间的距离为，长方形ABCD的长A是个单位长度
∴点A在数轴上表示的数为：
故答案为：，
（3）根据题意，因为、、三点中点的位置不确定，所以应分类讨论，有以下三种情况：
①当时，点与点重合，此时，
解得：；
②当时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
③如图，连接，
∵EFGH是长方形，
∴，
∵，
∴或，
∴．
综上所述，存在这样的，的值为或．
【分析】（1）根据数轴上点的平移规律“左加右减”即可求出答案.
（2）先根据题意求出点M，N在数轴上对应的数，根据恰为线段的三等分点可得OM=2ON或ON=2OM，列出方程，解方程即可求出答案.
（3）分当时，点与点重合， ，三种情况，列出等式即可求出答案.
1 / 1
