【基础版】北师大版数学八上2.7二次根式 同步练习
一、选择题
1．（2023八上·石家庄期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·长春月考）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x>3 D．x<3
3．（2020八上·港南期末）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019八上·松江期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·娄底期末）已知，则的值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
6．（2023八上·洪洞月考）计算=（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
7．（湘教版八年级数学上册第五章 二次根式 单元检测卷）已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023八上·深圳期中）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（ ）
A．12cm B．(+6)cm C．cm D．9cm
二、填空题
9．（2021八上·丹江口期末）要使 有意义，则x的取值范围为 .
10．（2020八上·金山期末）化简： = ．
11．（2019八上·昌平期中）化简： =
12．（2019八上·上海月考）已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为 .
13．（2023八上·昌平期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 .
三、解答题
14．（2023八上·期中）计算
（1）；
（2）
（3）
（4）.
15．（2020八上·万州期中）已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
16．（2024八上·通道期末）已知，，分别求出代数式的值．
17．（2024八上·邵阳期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简： ．
（2）若，求a的取值范围．
18．（2024八上·靖边期末）我们知道，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
（1）化简： ， ；
（2）若，，求的值；
（3）根据以上规律计算下列式子的值：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D。
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-3≥0，解得：x≥3
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】A、 是二次根式，故此选项错误；
B、 是二次根式，故此选项错误；
C、 是二次根式，故此选项错误；
D、 不是二次根式，故此选项正确；
故答案为：D．
【分析】一般地，形如(a≥0）的式子，叫做二次根式，据此逐一判断即可.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ；
B. 不是同类二根式，不能合并，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A.根据二次根式的除法计算即可；
B. 不是同类二根式，不能合并；
C. 根据二次根式的乘法计算即可；
D根据二次根式的性质化简即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题知，
解得x=1
将x=1代入得y=-1
则==3
故答案为：B
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值为1，将x的值代入解得y的值，最后求解二次根式的值。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ = =2 ，且 是整数；
∴2 是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：D
【分析】先利用二次根式的性质化简该二次根式，再根据这是整数的条件，可知被开方数5n必须是完全平方数，即可求 最小正整数n的值。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方形的两个侧面展开，过点B作垂线交一边与点C，如下图；
根据两点之间线段最短，从点A爬到点B的路径最短时，AB在一条线上；
由题意可知，BC=3cm，AC=6+3=9cm，
根据勾股定理可知，AB==cm.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可以得到AC和BC的长；根据两点之间，线段最短，可以得出当AB在一条直线时，从点A爬到点B的路径最短；根据勾股定理，可得AB的长.
9．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可.
10．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据二次根式的化简的性质 可知：
= = = .
故答案为：
【分析】本题熟记二次根式的化简性质即可
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】直接进行分母有理化．
12．【答案】2
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】由题意得： ， ；解得 ， ；所以
所以答案为2
【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b=0 ，∴＋=b+b-a=2b-a .
故答案为：2b-a
【分析】根据数轴上a，b的范围进行化简即可。
14．【答案】（1）解：原式＝（1×1÷3×）
（2）解：原式＝＝6-7＝-1
（3）解：原式＝
（4）解：原式＝
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法和除法，再算加减法；
（3）利用多项式除以单项式的法则，结合二次根式的除法法则和加减法法则计算；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算。先算乘除法，再算加减法。
15．【答案】解：根据题意得，
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
16．【答案】解：当时，
，
=，
；
，
，
，
；
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据题意运用平方差公式，完全平方公式，二次根式分别计算代数式的值，进而即可求解。
17．【答案】（1）2
（2）解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-2≥0，a-4≤0，
∴= a-2+4-a=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据a的取值范围，可以得出a-2≥0，a-4≤0，从而化简二次根式，可得出答案；
（2）首先得出 ， 然后根据a的取值范围，分别进行化简，化简结果为10的符合条件，即可得出a的取值范围。
18．【答案】（1）解： ；解：
（2）解：∵，
，
∴，，
∴
；
（3）解：∵
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据分母有理化的方法，计算求解即可.
(2)根据分母有理化，先化简求出的值，再代入式子求解.
(3)根据分母有理化化简各式，加减相消，得出结果.
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一、选择题
1．（2023八上·石家庄期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故答案为：D。
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
2．（2023八上·长春月考）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x>3 D．x<3
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x-3≥0，解得：x≥3
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
3．（2020八上·港南期末）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的定义
【解析】【解答】A、 是二次根式，故此选项错误；
B、 是二次根式，故此选项错误；
C、 是二次根式，故此选项错误；
D、 不是二次根式，故此选项正确；
故答案为：D．
【分析】一般地，形如(a≥0）的式子，叫做二次根式，据此逐一判断即可.
4．（2019八上·松江期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A. ；
B. 不是同类二根式，不能合并，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】A.根据二次根式的除法计算即可；
B. 不是同类二根式，不能合并；
C. 根据二次根式的乘法计算即可；
D根据二次根式的性质化简即可.
5．（2024八上·娄底期末）已知，则的值为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题知，
解得x=1
将x=1代入得y=-1
则==3
故答案为：B
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值为1，将x的值代入解得y的值，最后求解二次根式的值。
6．（2023八上·洪洞月考）计算=（ ）
A．4 B．2 C．2 D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】 解：.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
7．（湘教版八年级数学上册第五章 二次根式 单元检测卷）已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵ = =2 ，且 是整数；
∴2 是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故答案为：D
【分析】先利用二次根式的性质化简该二次根式，再根据这是整数的条件，可知被开方数5n必须是完全平方数，即可求 最小正整数n的值。
8．（2023八上·深圳期中）如图，正方体的棱长为6cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点，一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径长是（ ）
A．12cm B．(+6)cm C．cm D．9cm
【答案】C
【知识点】二次根式的化简求值；勾股定理；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：将正方形的两个侧面展开，过点B作垂线交一边与点C，如下图；
根据两点之间线段最短，从点A爬到点B的路径最短时，AB在一条线上；
由题意可知，BC=3cm，AC=6+3=9cm，
根据勾股定理可知，AB==cm.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质，可以得到AC和BC的长；根据两点之间，线段最短，可以得出当AB在一条直线时，从点A爬到点B的路径最短；根据勾股定理，可得AB的长.
二、填空题
9．（2021八上·丹江口期末）要使 有意义，则x的取值范围为 .
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ，
解得x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据被开方数大于等于0列式求解即可.
10．（2020八上·金山期末）化简： = ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：根据二次根式的化简的性质 可知：
= = = .
故答案为：
【分析】本题熟记二次根式的化简性质即可
11．（2019八上·昌平期中）化简： =
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ；
故答案为： .
【分析】直接进行分母有理化．
12．（2019八上·上海月考）已知最简二次根式 与 可以合并，则 的值为 .
【答案】2
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】由题意得： ， ；解得 ， ；所以
所以答案为2
【分析】两个最简二次根式能够合并，则说明二者是同类二次根式，所以其被开方数、根指数相同，依此建立方程组求解，再进一步代入求值即可
13．（2023八上·昌平期中）已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 .
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】由数轴图示可知：a＜0 ＜b ，a-b=0 ，∴＋=b+b-a=2b-a .
故答案为：2b-a
【分析】根据数轴上a，b的范围进行化简即可。
三、解答题
14．（2023八上·期中）计算
（1）；
（2）
（3）
（4）.
【答案】（1）解：原式＝（1×1÷3×）
（2）解：原式＝＝6-7＝-1
（3）解：原式＝
（4）解：原式＝
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法计算；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算，先算乘法和除法，再算加减法；
（3）利用多项式除以单项式的法则，结合二次根式的除法法则和加减法法则计算；
（4）根据二次根式的混合运算法则计算。先算乘除法，再算加减法。
15．（2020八上·万州期中）已知 ， 两数在数轴上的表示如图所示，化简： .
【答案】解：根据题意得，
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据数轴上a、b的位置，分别判断出a+2，b-2，a+b的正负性，再根据二次根式的性质化简解题即可。
16．（2024八上·通道期末）已知，，分别求出代数式的值．
【答案】解：当时，
，
=，
；
，
，
，
；
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据题意运用平方差公式，完全平方公式，二次根式分别计算代数式的值，进而即可求解。
17．（2024八上·邵阳期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围
解：原式，
当时，原式，解得（舍去）；
当时，原式，符合条件；
当时，原式，解得（舍去）．
的取值范围是．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当时，化简： ．
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）2
（2）解：，
当时，原式，
，符合条件；
当时，原式，（舍去）；
当时，原式，
，符合条件，
∴a的取值范围是或．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴a-2≥0，a-4≤0，
∴= a-2+4-a=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据a的取值范围，可以得出a-2≥0，a-4≤0，从而化简二次根式，可得出答案；
（2）首先得出 ， 然后根据a的取值范围，分别进行化简，化简结果为10的符合条件，即可得出a的取值范围。
18．（2024八上·靖边期末）我们知道，因此将 分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 ，所以有 ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．
（1）化简： ， ；
（2）若，，求的值；
（3）根据以上规律计算下列式子的值：．
【答案】（1）解： ；解：
（2）解：∵，
，
∴，，
∴
；
（3）解：∵
∴
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)根据分母有理化的方法，计算求解即可.
(2)根据分母有理化，先化简求出的值，再代入式子求解.
(3)根据分母有理化化简各式，加减相消，得出结果.
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