【提升版】北师大版数学八上2.7二次根式 同步练习
一、选择题
1．（2020八上·福田期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A．x> B．x≥ C．x≤ D．x≤5
2．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·沿河期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2019八上·宝鸡月考）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
5．（2023八上·宁波期末）适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A．13 B．14 C．5 D．16
6．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
7．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023八上·石家庄期中） 已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·宣汉期末）的算术平方根为 ；的倒数是
10．（2023八上·太原月考）已知，，则 .
11．（2020八上·松江月考）计算 =
12．（2024八上·雨湖期末）已知，则－abx的算术平方根是 ．
13．（2017八上·深圳期中）若a、b为实数，且b= +4，则a+b的值为 ．
三、解答题
14．（2024八上·天元期末）阅读下面的文字，解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题：
（1）求出的整数部分和小数部分；
（2）已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数.
15．（2023八下·定远期中）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要接一个长为m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分），除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
16．（2023八上·邛崃月考）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分；
（1）直接写出的值；
（2）若是的小数部分，求的算术平方根．
17．（2023八上·双流月考）已知：，．
（1）化简求值：求的值；
（2）若的整数部分是，的小数部分是，求的值．
18．（2023八上·济阳期中）观察：
==
==
（1）化简：①= ；
②= ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：+++...+.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
∴x≥.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出5x-1≥0，解不等式即可求解.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
3．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知1＜a＜2，得出a 1＞0，a 2＜0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】先根据被开方数的非负性可知a+2<0，a<-2，再利用二次根式的性质化简即可.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
∴a-3≤0，解得a≤3，
∴a的正整数值为3，2，1，
∴32+22+12=14.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质"确定a的范围，再确定正整数a的值，继而求解.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
7．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
9．【答案】2；
【知识点】分母有理化；求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根为2；
的倒数是；
故答案为：2；．
【分析】根据平方根的定义和倒数的定义求解即可。
10．【答案】14.49
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】根据题意
故答案为： 14.49
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算。
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： = = ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算．
12．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求算术平方根
【解析】【解答】根据题意可得，
解得：x=2，
∴，
∴a+3=0，b-2=0，
解得：a=-3，b=2，
∴-abx=-（-3）×2×2=12，
∴－abx的算术平方根是，
故答案为：.
【分析】先利用二次根式有意义的条件求出x的值，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用算术平方根的计算方法求解即可.
13．【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵b=+4，
∴a2-10且1-a20，分母a-10，
∴a2=1且a-1 ≠ 0，
解得：a=-1，
把a=-1代入b=+4中，得b=4，
∴a+b=-1+4=3.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，共同确定出a、b的值，进而求出a+b的值即可.
14．【答案】（1）解： 的小数部分为，整数部分为3
（2）解：-（x-y）=
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；实数的相反数
【解析】【解答】解：(1)∵1＜＜2，
∴3＜+2＜4，
∴+2的整数部分是1+2=3，
+2的小数部分是﹣1；
(2)∵2＜＜3，
∴12＜10+＜13，
∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，
即x=12，y=﹣2，
∴x﹣y=12﹣(﹣2)
=12﹣+2
=14﹣，
则x﹣y的相反数是﹣14．
【分析】（1）先根据题意估算的大小，进而即可得到+2的大小，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，进而即可得到x和y，再根据二次根式的减法结合题意即可求解。
15．【答案】解：由题意可得：
=
=
∴壁布的面积为m2．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则进行运算即可求解。
16．【答案】（1）解：．
（2）解：∵，x是的小数部分，，
，的算术平方根为．
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据平方根、立方根、二次根式的性质，求出a，b，c的值；
（2）估算的值，即可得到x的值，求出式子的算术平方根。
17．【答案】（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
，，
的整数部分是，的小数部分是，，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先求得x-y、xy的值，将代数式变形为，再代入数据即可求解；
（2）根据题意，得出m、n的值，进而代入即可求解．
18．【答案】（1）；
（2）<
（3）解：+++...+.
=－1+++...+
=－1
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）①；
②，
故答案为：；；
（2）∵（-）-（-）=--+<0，
∴-<-，
故答案为：<.
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）利用作差法分析求解即可；
（3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学八上2.7二次根式 同步练习
一、选择题
1．（2020八上·福田期中）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）．
A．x> B．x≥ C．x≤ D．x≤5
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴5x-1≥0，
∴x≥.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式有意义的条件得出5x-1≥0，解不等式即可求解.
2．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
3．（2021八上·沿河期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知1＜a＜2，得出a 1＞0，a 2＜0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，即可得出答案.
4．（2019八上·宝鸡月考）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】先根据被开方数的非负性可知a+2<0，a<-2，再利用二次根式的性质化简即可.
5．（2023八上·宁波期末）适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A．13 B．14 C．5 D．16
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： ，
∴a-3≤0，解得a≤3，
∴a的正整数值为3，2，1，
∴32+22+12=14.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质"确定a的范围，再确定正整数a的值，继而求解.
6．（2022八上·龙口开学考）已知，，则代数式的值为（ ）
A．9 B． C．3 D．5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴，故C正确，A、B、D错误。
方法二、把m、n代入得，故C正确，A、B、D错误。
故答案为：C.
【分析】先计算两数和与两数积（平方差公式应用），所求二次根式被开方数配方成两数和的平方与两数积的差，把两数和与积代入求解即可。当然还可以直接代入化简求值。
7．（2023八上·河北期中）下列说法正确的个数是（ ）
①数轴上的点与有理数是——对应的；
②的倒数是；
③是最简二次根式；
④一个实数不是正实数就是负实数；
⑤绝对值小于的整数共有5个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；最简二次根式；分母有理化
【解析】【解答】解：数轴上的点与实数是一一对应的，故错误；
的倒数是，故正确；
不是最简二次根式 ，故错误；
一个实数可能是正实数，负实数，还可能是，故错误；
绝对值小于的整数有、、0、1、2，共个，故正确；
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义、实数与数轴的定义分别判断。
8．（2023八上·石家庄期中） 已知，则代数式的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 ，
=
=
=
=
故答案为：C.
【分析】把x的值代入式子，再根据二次根式的混合运算计算即可求解.
二、填空题
9．（2024八上·宣汉期末）的算术平方根为 ；的倒数是
【答案】2；
【知识点】分母有理化；求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根为2；
的倒数是；
故答案为：2；．
【分析】根据平方根的定义和倒数的定义求解即可。
10．（2023八上·太原月考）已知，，则 .
【答案】14.49
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】根据题意
故答案为： 14.49
【分析】根据二次根式的运算法则进行计算。
11．（2020八上·松江月考）计算 =
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解： = = ，
故答案为： ．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算．
12．（2024八上·雨湖期末）已知，则－abx的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；偶次方的非负性；绝对值的非负性；求算术平方根
【解析】【解答】根据题意可得，
解得：x=2，
∴，
∴a+3=0，b-2=0，
解得：a=-3，b=2，
∴-abx=-（-3）×2×2=12，
∴－abx的算术平方根是，
故答案为：.
【分析】先利用二次根式有意义的条件求出x的值，再利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，最后利用算术平方根的计算方法求解即可.
13．（2017八上·深圳期中）若a、b为实数，且b= +4，则a+b的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】∵b=+4，
∴a2-10且1-a20，分母a-10，
∴a2=1且a-1 ≠ 0，
解得：a=-1，
把a=-1代入b=+4中，得b=4，
∴a+b=-1+4=3.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，共同确定出a、b的值，进而求出a+b的值即可.
三、解答题
14．（2024八上·天元期末）阅读下面的文字，解答问题.
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题：
（1）求出的整数部分和小数部分；
（2）已知：，其中是整数，且，请你求出的相反数.
【答案】（1）解： 的小数部分为，整数部分为3
（2）解：-（x-y）=
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法；实数的相反数
【解析】【解答】解：(1)∵1＜＜2，
∴3＜+2＜4，
∴+2的整数部分是1+2=3，
+2的小数部分是﹣1；
(2)∵2＜＜3，
∴12＜10+＜13，
∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，
即x=12，y=﹣2，
∴x﹣y=12﹣(﹣2)
=12﹣+2
=14﹣，
则x﹣y的相反数是﹣14．
【分析】（1）先根据题意估算的大小，进而即可得到+2的大小，再结合题意即可求解；
（2）先根据题意得到10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，进而即可得到x和y，再根据二次根式的减法结合题意即可求解。
15．（2023八下·定远期中）小明家装修，电视背景墙长BC为m，宽AB为m，中间要接一个长为m，宽为m的大理石图案（图中阴影部分），除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面积．（结果化为最简二次根式）
【答案】解：由题意可得：
=
=
∴壁布的面积为m2．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则进行运算即可求解。
16．（2023八上·邛崃月考）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分；
（1）直接写出的值；
（2）若是的小数部分，求的算术平方根．
【答案】（1）解：．
（2）解：∵，x是的小数部分，，
，的算术平方根为．
【知识点】二次根式的性质与化简；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据平方根、立方根、二次根式的性质，求出a，b，c的值；
（2）估算的值，即可得到x的值，求出式子的算术平方根。
17．（2023八上·双流月考）已知：，．
（1）化简求值：求的值；
（2）若的整数部分是，的小数部分是，求的值．
【答案】（1）解：，，
，，
；
（2）解：，
，，
的整数部分是，的小数部分是，，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；二次根式的化简求值；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先求得x-y、xy的值，将代数式变形为，再代入数据即可求解；
（2）根据题意，得出m、n的值，进而代入即可求解．
18．（2023八上·济阳期中）观察：
==
==
（1）化简：①= ；
②= ；
（2）比较大小： ；
（3）计算：+++...+.
【答案】（1）；
（2）<
（3）解：+++...+.
=－1+++...+
=－1
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）①；
②，
故答案为：；；
（2）∵（-）-（-）=--+<0，
∴-<-，
故答案为：<.
【分析】（1）利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）利用作差法分析求解即可；
（3）先利用二次根式分母有理化的计算方法化简，再计算即可.
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