【培优版】北师大版数学八上2.7二次根式 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·沿河期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024八上·南山期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则
B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数
D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
3．（湘教版八年级数学上册第五章 二次根式 单元检测卷）下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
4．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
5．（2024八上·通道期末）已知是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019八上·宝鸡月考）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
7．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
8．（2024八上·浦江期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八上·长春月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
10．（2024八上·高邑期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 ．
11．（2022八上·秦都月考）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ．
12．（2023八上·闵行期中）a、b、c是△ABC的三条边，化简
13．（2023八上·城阳期中）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为 ．
三、解答题
14．（2023八上·太原期中）北京时间10月2日，在杭州亚运会女子撑杆跳高决赛中，李玲刷新了由个人保持的赛会纪录，以4米63夺冠，实现了个人亚运会三连冠.据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒）.若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少 （，结果保留整数）
15．（2023八上·竞秀月考）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）.
16．（2021八上·寿阳期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中 表示车速（单位：km/h）， 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）， 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 m， ，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知： ）
17．（2020八上·盐湖期末）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设 ，
易知
故 ，由
解得 ，即 ．
根据以上方法，化简
18．（2023八上·阳泉月考）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根即：若，则，反之，如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于，即：若，则．
例如：
根据平方根的定义可得：，．
根据平方根的定义也可得：是的一个平方根，．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：
（1）求下列各式中的值．
；
．
（2）求证：，．
证明：是的平方根，
，
依据，
依据，
．
填写推理依据．
依据： _▲ ．
依据：__▲__ ．
计算：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知1＜a＜2，得出a 1＞0，a 2＜0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．若有意义，则，正确，是真命题；
B．两个无理数的和不一定是无理数，如与，故原说法错误，是假命题；
C．体积为8的正方体，边长是2，故原说法错误，是假命题；
D．两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，是假命题.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件、无理数的定义、平行线的性质，逐项判断即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
4．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
5．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而即可得到，再计算即可求解。
6．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】先根据被开方数的非负性可知a+2<0，a<-2，再利用二次根式的性质化简即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
8．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的应用
9．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式与是同类二次根式 ，
∴m+1=3
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可。
10．【答案】24
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可得：
两小正方形的边长分别为：，
则大正方形边长为
∴大正方形面积为：
∴阴影部分面积为50-8-18=24
故答案为：24
【分析】根据小正方形面积可求出小正方形边长，则大正方形边长为两小正方形边长之和，再求出大正方形面积，则阴影部分面积=大正方形面积-两小正方形面积，即可求出答案.
11．【答案】直角三角形
【知识点】二次根式有意义的条件；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】根据偶次幂以及绝对值的非负性、二次根式的定义可得a-3=0、b-4=0、c-5=0，求出a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理进行判断.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知得，
，
，
，
、、是的三条边，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，三角形三边关系的应用求解。根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
13．【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AB=3，BC=5，CD=2，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=，
∴S矩形ACDE=AC×CD=×2=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用矩形的面积公式求解即可.
14．【答案】解：将，代入，得，
即.
由题意，得，
所以，
因为，所以（米/秒）
答：他起跳时的速度约为9米/秒.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】将，代入，求出，再利用开平方的计算方法求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
15．【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，化简式子即可；
（2）同理，利用规律化简即可；
（3）根据化简的规律化简即可。
16．【答案】解：超速，理由为：
由题意， = = ≈32×1.4×1.7=76.16 km/h，
∵76.16＞60，
∴该汽车超速了．
【知识点】无理数的估值；二次根式的应用
【解析】【分析】将 m， 代入可求出答案，再根据60比较大小即可。
17．【答案】解：设 ，易知
∴
∴
∴
∴
∵
∴原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】参照题干中的计算方法， 设 ，易知 ，再代入计算即可。
18．【答案】（1）解：，
，
或；
，
，
或；
（2）解：依据：积的乘方等于积中每一个因数乘方的积；
依据：平方根的定义；
②
．
【知识点】平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）①把x-1作为一个整体，它就是16的平方根；
②先两边同时除以5，再把1+x作为一个整体，它就是1.44的平方根；
（2）①积的乘方：（ab）n=anbn，平方根的定义：如果x2=a，那么；
②用①中的法则计算即可。
1 / 1【培优版】北师大版数学八上2.7二次根式 同步练习
一、选择题
1．（2021八上·沿河期末）已知实数 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式有意义的条件；实数的绝对值
【解析】【解答】由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
原式＝a 1- ＝a 1＋（a 2）＝2a 3．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知1＜a＜2，得出a 1＞0，a 2＜0，再根据绝对值的意义和二次根式的性质进行化简，即可得出答案.
2．（2024八上·南山期末）下列四个命题中，真命题是（ ）
A．若有意义，则
B．两个无理数的和还是无理数
C．体积为8的正方体，边长是无理数
D．两直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；无理数的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．若有意义，则，正确，是真命题；
B．两个无理数的和不一定是无理数，如与，故原说法错误，是假命题；
C．体积为8的正方体，边长是2，故原说法错误，是假命题；
D．两条平行线直线被第三条直线所截，内错角相等，故原说法错误，是假命题.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件、无理数的定义、平行线的性质，逐项判断即可．
3．（湘教版八年级数学上册第五章 二次根式 单元检测卷）下列各实数中最大的一个是（ ）
A．5× B． C． D． +
【答案】C
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
4．（2021八上·隆昌期中）已知实数a满足条件 ，那么 的值为
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 有意义，
∴a-2012≥0，
∴a≥2012，
∴2011-a＜0，
∴ ，
∴
∴a-2012=20112，
∴a-20112=2012.
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数为非负数可求出a≥2012，即得2011-a＜0，利用绝对值的性质原等式可化为，两边平方即可求出结论.
5．（2024八上·通道期末）已知是实数，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到，进而即可得到，再计算即可求解。
6．（2019八上·宝鸡月考）化简二次根式 的结果是（ ）
A． B．－ C． D．－
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】先根据被开方数的非负性可知a+2<0，a<-2，再利用二次根式的性质化简即可.
7．（2020八上·深圳期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于 ，设x= ，易知 > ，故x>0，由x2= = =2，解得x= ，即 。根据以上方法，化简 后的结果为（ ）
A．5+3 B．5+ C．5- D．5-3
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】设x=,易知，故x＜0，由x2==，解得x=..，=
故答案为：D
【分析】将利用平方再开方的方式化简，进行分母有理化，最后用二次根式运算法则即可求出答案。
8．（2024八上·浦江期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算；勾股定理的应用
二、填空题
9．（2023八上·长春月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：
∵最简二次根式与是同类二次根式 ，
∴m+1=3
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】先把化简，再根据同类二次根式的概念列式计算即可。
10．（2024八上·高邑期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为 ．
【答案】24
【知识点】二次根式的应用；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可得：
两小正方形的边长分别为：，
则大正方形边长为
∴大正方形面积为：
∴阴影部分面积为50-8-18=24
故答案为：24
【分析】根据小正方形面积可求出小正方形边长，则大正方形边长为两小正方形边长之和，再求出大正方形面积，则阴影部分面积=大正方形面积-两小正方形面积，即可求出答案.
11．（2022八上·秦都月考）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是 ．
【答案】直角三角形
【知识点】二次根式有意义的条件；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：，
∵，
∴三角形为直角三角形.
故答案为：直角三角形.
【分析】根据偶次幂以及绝对值的非负性、二次根式的定义可得a-3=0、b-4=0、c-5=0，求出a、b、c的值，然后结合勾股定理逆定理进行判断.
12．（2023八上·闵行期中）a、b、c是△ABC的三条边，化简
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：由已知得，
，
，
，
、、是的三条边，
原式，
故答案为：．
【分析】根据二次根式的性质，三角形三边关系的应用求解。根据已知条件，，已知、、是的三条边，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可知．
13．（2023八上·城阳期中）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．若长方体的长、宽、高分别为5，2，3，则图①中截面的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除法；勾股定理
【解析】【解答】如图所示：
根据题意可得：AB=3，BC=5，CD=2，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，AC=，
∴S矩形ACDE=AC×CD=×2=，
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用矩形的面积公式求解即可.
三、解答题
14．（2023八上·太原期中）北京时间10月2日，在杭州亚运会女子撑杆跳高决赛中，李玲刷新了由个人保持的赛会纪录，以4米63夺冠，实现了个人亚运会三连冠.据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒）.若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高4米，则其起跳时的速度应为多少 （，结果保留整数）
【答案】解：将，代入，得，
即.
由题意，得，
所以，
因为，所以（米/秒）
答：他起跳时的速度约为9米/秒.
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】将，代入，求出，再利用开平方的计算方法求出，再利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
15．（2023八上·竞秀月考）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使，，这样，，那么便有例如：化简
解：首先把化为，这里，；
由于，，即，，
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）解：；
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，化简式子即可；
（2）同理，利用规律化简即可；
（3）根据化简的规律化简即可。
16．（2021八上·寿阳期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是 ，其中 表示车速（单位：km/h）， 表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m）， 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得 m， ，该路段限速60km/h，该汽车超速了吗？请说明理由（已知： ）
【答案】解：超速，理由为：
由题意， = = ≈32×1.4×1.7=76.16 km/h，
∵76.16＞60，
∴该汽车超速了．
【知识点】无理数的估值；二次根式的应用
【解析】【分析】将 m， 代入可求出答案，再根据60比较大小即可。
17．（2020八上·盐湖期末）阅读理解
“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法： ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于
设 ，
易知
故 ，由
解得 ，即 ．
根据以上方法，化简
【答案】解：设 ，易知
∴
∴
∴
∴
∵
∴原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；定义新运算
【解析】【分析】参照题干中的计算方法， 设 ，易知 ，再代入计算即可。
18．（2023八上·阳泉月考）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根即：若，则，反之，如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于，即：若，则．
例如：
根据平方根的定义可得：，．
根据平方根的定义也可得：是的一个平方根，．
根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题：
（1）求下列各式中的值．
；
．
（2）求证：，．
证明：是的平方根，
，
依据，
依据，
．
填写推理依据．
依据： _▲ ．
依据：__▲__ ．
计算：
【答案】（1）解：，
，
或；
，
，
或；
（2）解：依据：积的乘方等于积中每一个因数乘方的积；
依据：平方根的定义；
②
．
【知识点】平方根；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；积的乘方运算
【解析】【分析】（1）①把x-1作为一个整体，它就是16的平方根；
②先两边同时除以5，再把1+x作为一个整体，它就是1.44的平方根；
（2）①积的乘方：（ab）n=anbn，平方根的定义：如果x2=a，那么；
②用①中的法则计算即可。
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