【基础版】北师大版数学八上 第二章 实数 单元测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2021八上·沈丘期末）数字 ， 中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是有理数，
是有理数，
含有π，是无理数，
开方开不尽，是无理数，
是无限循环小数，是有理数，
是有理数，
∴无理数有2个.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数、无限不循环小数、含有π的数，逐个判断即可.
2．（2019八上·洛宁期中）9的算术平方根是（ ）
A． B． C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：C．
【分析】根据一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根解答即可．
3．（2019八上·正定期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ＝2， 与 互为相反数，故本选项符合题意；
B. ＝﹣2， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
C. 不存在，无法比较，选项不符合题意；
D. ＝ ， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，对各个选项分析判断即可解答．
4．（2020八上·延庆期末）若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式 有意义，可得：
，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
5．（2020八上·峡江期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，原式计算不符合题意，故A选项不符合题意；
B、 与3不是同类二次根式，不能合并，原式计算不符合题意，故B选项不符合题意；
C、 ，原式计算符合题意，故C选项正符合题意；
D、 ，原式计算不符合题意，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类二次根式，二次根式的乘法，除法，进行计算求解即可。
6．（2024八上·雨湖期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、∵不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、∵是最简二次根式，∴C符合题意；
D、∵不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用最简二次根式的定义及条件逐项分析判断即可.
7．（2024八上·高邑期末）数轴上表示，的对应点分别为，，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点C表示的数为x
则AB=AC
即，解得：
故答案为：C
【分析】设点C表示的数为x，根据对称点的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案.
8．（2022八上·济南期中）如图，数轴上点A、B、C分别对应、、，过点作，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴点对应的数是．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AD的长，所以，再结合AO的长，求出，即可得到点M表示的数即可。
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2023八上·兴县期中）的立方根为 ．
【答案】-3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵（-3)3=27，
∴-27的立方根是：-3，
故答案为：-3.
【分析】根据立方根的概念即可求解。
10．（2023八上·宁波期末）使二次根式有意义的的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得3-x≥0，
解得x≤3.
故答案为：x≤3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
11．（2020八上·浦东月考）化简： = 。
【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的乘法法则，得出原式=，即可求解.
12．（2024八上·郫都期末）化简： ．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质进化简即可.
13．（2024八上·长沙期末）若，则的值为 ．
【答案】8
【知识点】二次根式有意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：x=2，
∴，
∴，
故答案为：8.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，最后将x、y的值代入计算即可.
三、解答题（共7题；共61分）
14．（2021八上·新乐期中）把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，＋5，，，3.24，－3.1415．
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
无理数：{ …}．
【答案】解：由题意可知：
整数包括：；
负分数包括：；
无理数包括：．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据整数、负分数和无理数的定义求解即可。
15．（2020八上·常熟月考）求下列各式中x的值.
（1）
（2）
【答案】（1）移项，得 ，
∴ ，
∴ 或
（2）∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）移项后根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答.
16．（2018八上·太原期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16 ，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得d=6m，f=1.5，求肇事汽车的车速．
【答案】解：∵d=6，f=1.5，
∴v=16 =16×3=48（千米/时），
答：肇事汽车的车速为48千米/时。
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】把 d=6m，f=1.5代入v=16 ，求v即可。
17．（2024八上·永定期末）已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
【答案】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）代入，根据二次根式的加减法和乘法法则计算即可 ；
（2）将原式变形为，代入数值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）先估算出，从而确定，，再代入进行计算即可．
18．（2023八上·渠县月考） 已知+3.
（1）求的值；
（2）求的平方根
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式有意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：（1）由题意知：a-25≥0且25-a≥0，
解得a=25，
∴b-24=0，
∴b=24.
（2）当a=25，b=24时， =252-242=49，
∴的平方根为 .
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出a值，继而得出b值；
（2）先求出的值，再求其平方根即可.
19．（2023八上·长清期中）小明在解决问题：已知，求2a2-8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a-2）2＝3，a2-4a+4＝3，
∴a2-4a＝-1，
∴2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简＝ ▲ ；
②当时，求3a2-6a-1的值．
（2）化简．
【答案】（1）解：①a＝＝＝+1；
②3a2-6a+1＝3（a2-2a+1-1）+1
＝3（a-1）2-2
＝3（+1-1）2-2
＝3×2-3
＝3，
故答案为：3；
（2）解：原式＝＝
＝
＝5．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）①利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
②先利用分母有理化化简求出a的值，再将其代入3a2-6a-1计算即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可.
20．（2024八上·衡山期末） 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点．
如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ．
（2）应用场景解决实际问题．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】（1）
（2）解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长为．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：OA=3，AB=2，∠BAO=90°，
∴OB=，
∵以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点 ，
∴OC=OB=，
∵点O表示的数是0，
∴点C表示的数是，
故答案为：.
【分析】（1）先利用勾股定理求出OB的长，再利用作图方法可得OC=OB=，再求出点C表示的数即可；
（2）设秋千绳索的长度为，则，，再利用勾股定理可得，即， 再求出x的值即可.
1 / 1【基础版】北师大版数学八上 第二章 实数 单元测试卷
一、选择题(本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2021八上·沈丘期末）数字 ， 中无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2019八上·洛宁期中）9的算术平方根是（ ）
A． B． C．3 D．-3
3．（2019八上·正定期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
4．（2020八上·延庆期末）若二次根式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020八上·峡江期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·雨湖期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·高邑期末）数轴上表示，的对应点分别为，，点关于点的对称点为，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·济南期中）如图，数轴上点A、B、C分别对应、、，过点作，以点C为圆心，长为半径画弧，交于点D，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2023八上·兴县期中）的立方根为 ．
10．（2023八上·宁波期末）使二次根式有意义的的取值范围为 ．
11．（2020八上·浦东月考）化简： = 。
12．（2024八上·郫都期末）化简： ．
13．（2024八上·长沙期末）若，则的值为 ．
三、解答题（共7题；共61分）
14．（2021八上·新乐期中）把下列各数填在相应的大括号里：，，0，，＋5，，，3.24，－3.1415．
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
无理数：{ …}．
15．（2020八上·常熟月考）求下列各式中x的值.
（1）
（2）
16．（2018八上·太原期中）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=16 ，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得d=6m，f=1.5，求肇事汽车的车速．
17．（2024八上·永定期末）已知．
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值．
18．（2023八上·渠县月考） 已知+3.
（1）求的值；
（2）求的平方根
19．（2023八上·长清期中）小明在解决问题：已知，求2a2-8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a-2）2＝3，a2-4a+4＝3，
∴a2-4a＝-1，
∴2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简＝ ▲ ；
②当时，求3a2-6a-1的值．
（2）化简．
20．（2024八上·衡山期末） 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
（1）应用场景在数轴上画出表示无理数的点．
如图，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点表示的数是 ．
（2）应用场景解决实际问题．
如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是有理数，
是有理数，
含有π，是无理数，
开方开不尽，是无理数，
是无限循环小数，是有理数，
是有理数，
∴无理数有2个.
故答案为：B.
【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数、无限不循环小数、含有π的数，逐个判断即可.
2．【答案】C
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：9的算术平方根是3，
故选：C．
【分析】根据一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根解答即可．
3．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数；立方根及开立方；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：A. ＝2， 与 互为相反数，故本选项符合题意；
B. ＝﹣2， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
C. 不存在，无法比较，选项不符合题意；
D. ＝ ， 与 相等，不是互为相反数，选项不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，对各个选项分析判断即可解答．
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由二次根式 有意义，可得：
，
∴ ；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，原式计算不符合题意，故A选项不符合题意；
B、 与3不是同类二次根式，不能合并，原式计算不符合题意，故B选项不符合题意；
C、 ，原式计算符合题意，故C选项正符合题意；
D、 ，原式计算不符合题意，故D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类二次根式，二次根式的乘法，除法，进行计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、∵不是最简二次根式，∴A不符合题意；
B、∵不是最简二次根式，∴B不符合题意；
C、∵是最简二次根式，∴C符合题意；
D、∵不是最简二次根式，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用最简二次根式的定义及条件逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：
设点C表示的数为x
则AB=AC
即，解得：
故答案为：C
【分析】设点C表示的数为x，根据对称点的性质及数轴上两点间的距离即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根据数轴可知：，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴点对应的数是．
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AD的长，所以，再结合AO的长，求出，即可得到点M表示的数即可。
9．【答案】-3
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵（-3)3=27，
∴-27的立方根是：-3，
故答案为：-3.
【分析】根据立方根的概念即可求解。
10．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得3-x≥0，
解得x≤3.
故答案为：x≤3.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
11．【答案】3
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：3.
【分析】根据二次根式的乘法法则，得出原式=，即可求解.
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：.
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质进化简即可.
13．【答案】8
【知识点】二次根式有意义的条件；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得：x=2，
∴，
∴，
故答案为：8.
【分析】先利用二次根式有意义的条件列出不等式组求出x的值，再求出y的值，最后将x、y的值代入计算即可.
14．【答案】解：由题意可知：
整数包括：；
负分数包括：；
无理数包括：．
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【分析】根据整数、负分数和无理数的定义求解即可。
15．【答案】（1）移项，得 ，
∴ ，
∴ 或
（2）∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【分析】（1）移项后根据平方根的定义解答即可；（2）根据立方根的定义解答.
16．【答案】解：∵d=6，f=1.5，
∴v=16 =16×3=48（千米/时），
答：肇事汽车的车速为48千米/时。
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】把 d=6m，f=1.5代入v=16 ，求v即可。
17．【答案】（1）解：，
，；
（2）解：由（1）得：，，
（3）解：，
，即，
，
，
的小数部分是，
，
，的整数部分是，
，
．
【知识点】无理数的估值；完全平方公式及运用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）代入，根据二次根式的加减法和乘法法则计算即可 ；
（2）将原式变形为，代入数值，根据二次根式的混合运算法则进行计算即可；
（3）先估算出，从而确定，，再代入进行计算即可．
18．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式有意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：（1）由题意知：a-25≥0且25-a≥0，
解得a=25，
∴b-24=0，
∴b=24.
（2）当a=25，b=24时， =252-242=49，
∴的平方根为 .
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出a值，继而得出b值；
（2）先求出的值，再求其平方根即可.
19．【答案】（1）解：①a＝＝＝+1；
②3a2-6a+1＝3（a2-2a+1-1）+1
＝3（a-1）2-2
＝3（+1-1）2-2
＝3×2-3
＝3，
故答案为：3；
（2）解：原式＝＝
＝
＝5．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）①利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
②先利用分母有理化化简求出a的值，再将其代入3a2-6a-1计算即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可.
20．【答案】（1）
（2）解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长为．
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：OA=3，AB=2，∠BAO=90°，
∴OB=，
∵以原点为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点 ，
∴OC=OB=，
∵点O表示的数是0，
∴点C表示的数是，
故答案为：.
【分析】（1）先利用勾股定理求出OB的长，再利用作图方法可得OC=OB=，再求出点C表示的数即可；
（2）设秋千绳索的长度为，则，，再利用勾股定理可得，即， 再求出x的值即可.
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