【提升版】北师大版数学八上 第二章 实数 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2024八上·深圳期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·临渭期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·安仁期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．1
D．
4．（2019八上·永登期中）若 的小数部分是a， 的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
5．（2023八上·娄底月考）估算的值，下列结论正确的是（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
6．（2024八上·达州期末）若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
7．（2023八上·宣化期中） 下列命题正确的有（ ）
①4的平方根是2； ②是无理数； ③的平方根是；
④的立方根是； ⑤是0. 001的一个立方根.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2024八上·绿园期末） 已知1.186，2.556，5.506，则的值是（ ）
A．0.5506 B．0.1186 C．0.2556 D．0.01186
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2024八上·成都期末）如图，数轴上的点表示的实数是 ．
10．（2020八上·临川月考） 的算术平方根是 ．
11．（2019八上·富顺月考）计算： ＝ ．
12．（2023八上·二道月考）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧，则点表示的数为 ．
13．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
三、解答题（共7题；共61分）
14．（2024八上·贵阳月考） 计算：
（1）(-9+)÷；
（2）(-3+6)(-2+).
15．（2023八上·乐平期中）根据表格解答下列问题：
x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14
x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196
（1）190.44的平方根是 .
（2）≈ ，= .
（3）若13.5＜＜13.6，求满足条件的整数n的值.
16．（2024八上·河北期末）已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”．
（1）与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由．
17．（2024八上·毕节期末） 在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
18．（2023八上·萧县期中）已知2a+5的平方根是±3，2b﹣a的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+2b﹣c的算术平方根．
19．（2016八上·景德镇期中）探究题：
=3， =0.5， =6， = ， =0．
根据以上算式，回答：
（1） 一定等于a吗？如果不是，那么 = ；
（2）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则 = ；
② = ．
（3）若a，b，c为三角形的三边长，化简： + + ．
20．（2023八上·南山期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A：
B：
C：根号里面的数不能是负数.
D：正确.
故选D.
【分析】利用算术平方根的含义和判断本题即可.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不可以加减，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、不是同类二次根式，不能合并，该选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A、D；根据二次根式的乘除法法则可判断B、C.
3．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
∴原式＝a 1-
＝a 1＋（a 2）＝2a 3.
故答案为：D.
【分析】根据点a在数轴上的位置得出1＜a＜2，从而判断出a-1与a-2的正负，进而根据绝对值的非负性及
进行化简，最后合并同类项即可得出结果.
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】∵2< <3，
∴5<3+ <6，0<3 <1
∴a=3+ 5= 2.b=3 ，
∴a+b= 2+3 =1，
故答案为：B.
【分析】求出的取值范围，由此可得到3+ 和3 的取值范围，就可得到a，b的值，然后代入求出a+b的值。
5．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵32＜13＜42，
∴，
∴3＜7-＜4.
故答案为：A.
【分析】估算出的范围，再用7减去，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：等式成立，
，
由①得，由②得，
.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质，被开方数必须非负，以及分母不能为零，列出不等式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】无理数的概念；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： ①4的平方根是2或-2，故表述错误，不符合题意；②是无理数，表述正确，符合题意 ； ③的平方根是或3，故表述错误，不符合题意；④的立方根是，表述正确，符合题意； ⑤是-0. 001的一个立方根，故表述错误，不符合题意；符合题意得有②④，
故答案为：A.
【分析】利用平方根与立方根，无理数的定义进行逐一判断即可求解.，
8．【答案】A
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】根据题意
即
故选：A
【分析】被开立方的数，小数点移动三位会引起它的近似值小数点变动一位，被开立平方的数，小数点移动二位会引起它的近似值小数点变动一位。
9．【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】由图有
点A表示的数为，
故答案为； .
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，从而求解.
10．【答案】
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： ，
2的算术平方根是 ；
故答案是 ．
【分析】先利用立方根化简，再利算术平方根的定义求解即可。
11．【答案】8
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：8．
【分析】根据开立方，可得立方根；根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
12．【答案】
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：因为正方形的面积为5，所以AB为；
因为以AB为半径的圆与数轴的交点为E，且A点表示的数为1，所以E点表示的数为1+；
故答案为：1+.
【分析】根据题意，首先由正方形的面积求出半径，结合A点表示的数和半径的长度即可得到E点表示的数。
13．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
14．【答案】（1）解：原式=(5-3--2)×=(-2)×=3-2.
（2）解：原式=(3-3+6)(-2+)
=3(-+2)(-2+)=3[-(-2)][+(-2)]
=3[-]=-18+12.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算法则进行计算即可求解；
（2）根据实数的混合运算法则进行计算即可求解.
15．【答案】（1）±13.8
（2）13.3；137
（3）解：由表格中的对应值可知，
当13.5＜＜13.6时，182.25＜n＜184.96，
∴整数n的值为183，184，
答：满足条件的整数n的值为183或184．
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）平方根有两个，且互为相反数，由表格可知， 190.44的平方根=±13.8；
（2）①∵，则
②
【分析】（1）表格中x代表了x2的算术平方根，而平方根有两个，且互为相反数，由此可算出结果；
（2）①从表格中找到与176.9相近的数字，即176.89，然后根据表格进行求解；
②将根式里面的数字进行拆分，结合表格中数字进行求解；
（3）将平方后，得到新的取值范围，进而找出满足的n值。
16．【答案】（1）；
（2），
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数.
故答案为：；.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念”
（1）利用“平衡数”的定义计算即可；
（2）利用“平衡数”的定义计算即可。
17．【答案】（1）③
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）第③步开始出错的，二次根式的减法，需要先化简，再合并同类二次根式。
故答案为：③。
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则逐步分析即可；
（2）二次根式的混合运算，先算乘除法，再算加减法。
18．【答案】（1）解：∵2a+5的平方根是±3，
∴2a+5＝9，
即a＝2，
∵2b﹣a的立方根是2，
∴2b﹣a＝8，而a＝2，
∴b＝5，
∵2＜＜3，而c是的整数部分，
∴c＝2，
答：a＝2，b＝5，c＝2；
（2）解：当a＝2，b＝5，c＝2时，
a+2b﹣c＝2+10﹣2＝10，
∴a+2b﹣c的算术平方根是．
【知识点】无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及估算无理数的大小等知识，熟悉平方根、立方根的概念是关键。（1）根据平方根、立方根的定义，得出a，b的值，估算无理数的大小，得出c值；（2）把a，b，c代入，求出算术平方根即可。
19．【答案】（1）
（2）2﹣x；π﹣3.14
（3）解：∵a+b＞c，b＜c+a，b+c＞a，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，
∴原式=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|
=a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+（b+c﹣a）
=a+b+c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1.）由题意可知： =|a|，
（2.）①当x＜2时，
∴x﹣2＜0，
∴ =|x﹣2|=﹣（x﹣2）=2﹣x，
②∵3.14﹣π＜0，
∴ =|3.14﹣π|=π﹣3.14，
故答案为：（1）|a|；（2）①2﹣x；②π﹣3.4
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
20．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式＝.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）把分子分母同时乘以，这样分母可变成有理数，分母有理化后再化简即可；
（2）将题中各式分别分母有理化的方法化简各加数，再相加化简即可.
1 / 1【提升版】北师大版数学八上 第二章 实数 单元测试卷
一、选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）
1．（2024八上·深圳期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】A：
B：
C：根号里面的数不能是负数.
D：正确.
故选D.
【分析】利用算术平方根的含义和判断本题即可.
2．（2021八上·临渭期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不可以加减，该选项错误；
B、，该选项错误；
C、，该选项正确；
D、不是同类二次根式，不能合并，该选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A、D；根据二次根式的乘除法法则可判断B、C.
3．（2021八上·安仁期末）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a 1＞0，a 2＜0，
∴原式＝a 1-
＝a 1＋（a 2）＝2a 3.
故答案为：D.
【分析】根据点a在数轴上的位置得出1＜a＜2，从而判断出a-1与a-2的正负，进而根据绝对值的非负性及
进行化简，最后合并同类项即可得出结果.
4．（2019八上·永登期中）若 的小数部分是a， 的小数部分是b，则a+b的值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【知识点】无理数的估值；代数式求值
【解析】【解答】∵2< <3，
∴5<3+ <6，0<3 <1
∴a=3+ 5= 2.b=3 ，
∴a+b= 2+3 =1，
故答案为：B.
【分析】求出的取值范围，由此可得到3+ 和3 的取值范围，就可得到a，b的值，然后代入求出a+b的值。
5．（2023八上·娄底月考）估算的值，下列结论正确的是（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵32＜13＜42，
∴，
∴3＜7-＜4.
故答案为：A.
【分析】估算出的范围，再用7减去，即可得出答案.
6．（2024八上·达州期末）若等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：等式成立，
，
由①得，由②得，
.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的性质，被开方数必须非负，以及分母不能为零，列出不等式求解即可.
7．（2023八上·宣化期中） 下列命题正确的有（ ）
①4的平方根是2； ②是无理数； ③的平方根是；
④的立方根是； ⑤是0. 001的一个立方根.
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【知识点】无理数的概念；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解： ①4的平方根是2或-2，故表述错误，不符合题意；②是无理数，表述正确，符合题意 ； ③的平方根是或3，故表述错误，不符合题意；④的立方根是，表述正确，符合题意； ⑤是-0. 001的一个立方根，故表述错误，不符合题意；符合题意得有②④，
故答案为：A.
【分析】利用平方根与立方根，无理数的定义进行逐一判断即可求解.，
8．（2024八上·绿园期末） 已知1.186，2.556，5.506，则的值是（ ）
A．0.5506 B．0.1186 C．0.2556 D．0.01186
【答案】A
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】根据题意
即
故选：A
【分析】被开立方的数，小数点移动三位会引起它的近似值小数点变动一位，被开立平方的数，小数点移动二位会引起它的近似值小数点变动一位。
二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分)
9．（2024八上·成都期末）如图，数轴上的点表示的实数是 ．
【答案】
【知识点】无理数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】由图有
点A表示的数为，
故答案为； .
【分析】利用勾股定理求出斜边的长，从而求解.
10．（2020八上·临川月考） 的算术平方根是 ．
【答案】
【知识点】算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解： ，
2的算术平方根是 ；
故答案是 ．
【分析】先利用立方根化简，再利算术平方根的定义求解即可。
11．（2019八上·富顺月考）计算： ＝ ．
【答案】8
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：8．
【分析】根据开立方，可得立方根；根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，非零的零次幂等于1，可得答案．
12．（2023八上·二道月考）如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为现以为圆心，为半径画圆，和数轴交于点在的右侧，则点表示的数为 ．
【答案】
【知识点】平方根；无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：因为正方形的面积为5，所以AB为；
因为以AB为半径的圆与数轴的交点为E，且A点表示的数为1，所以E点表示的数为1+；
故答案为：1+.
【分析】根据题意，首先由正方形的面积求出半径，结合A点表示的数和半径的长度即可得到E点表示的数。
13．（2023八上·金山期中）如果，则 ．
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的分母有理化可得的值，从而可得，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可．
三、解答题（共7题；共61分）
14．（2024八上·贵阳月考） 计算：
（1）(-9+)÷；
（2）(-3+6)(-2+).
【答案】（1）解：原式=(5-3--2)×=(-2)×=3-2.
（2）解：原式=(3-3+6)(-2+)
=3(-+2)(-2+)=3[-(-2)][+(-2)]
=3[-]=-18+12.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据实数的混合运算法则进行计算即可求解；
（2）根据实数的混合运算法则进行计算即可求解.
15．（2023八上·乐平期中）根据表格解答下列问题：
x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14
x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196
（1）190.44的平方根是 .
（2）≈ ，= .
（3）若13.5＜＜13.6，求满足条件的整数n的值.
【答案】（1）±13.8
（2）13.3；137
（3）解：由表格中的对应值可知，
当13.5＜＜13.6时，182.25＜n＜184.96，
∴整数n的值为183，184，
答：满足条件的整数n的值为183或184．
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）平方根有两个，且互为相反数，由表格可知， 190.44的平方根=±13.8；
（2）①∵，则
②
【分析】（1）表格中x代表了x2的算术平方根，而平方根有两个，且互为相反数，由此可算出结果；
（2）①从表格中找到与176.9相近的数字，即176.89，然后根据表格进行求解；
②将根式里面的数字进行拆分，结合表格中数字进行求解；
（3）将平方后，得到新的取值范围，进而找出满足的n值。
16．（2024八上·河北期末）已知，，都是实数，若，则称与是关于的“平衡数”．
（1）与 是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数”；
（2）若，判断与是否是关于的“平衡数”，并说明理由．
【答案】（1）；
（2），
整理得：，
解得：，
则，不是关于的“平衡数”
【知识点】二次根式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：(1) 2-4=-2，， 所以与-2是关于的“平衡数”，与 是关于的“平衡数.
故答案为：；.【分析】掌握二次根式的加减运算，并理解题述“平衡数的概念”
（1）利用“平衡数”的定义计算即可；
（2）利用“平衡数”的定义计算即可。
17．（2024八上·毕节期末） 在计算时，小明的解题过程如下：
解：原式
（1）老师认为小明的解法有错，请你指出小明从第 步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
【答案】（1）③
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）第③步开始出错的，二次根式的减法，需要先化简，再合并同类二次根式。
故答案为：③。
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则逐步分析即可；
（2）二次根式的混合运算，先算乘除法，再算加减法。
18．（2023八上·萧县期中）已知2a+5的平方根是±3，2b﹣a的立方根是2，c是的整数部分．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+2b﹣c的算术平方根．
【答案】（1）解：∵2a+5的平方根是±3，
∴2a+5＝9，
即a＝2，
∵2b﹣a的立方根是2，
∴2b﹣a＝8，而a＝2，
∴b＝5，
∵2＜＜3，而c是的整数部分，
∴c＝2，
答：a＝2，b＝5，c＝2；
（2）解：当a＝2，b＝5，c＝2时，
a+2b﹣c＝2+10﹣2＝10，
∴a+2b﹣c的算术平方根是．
【知识点】无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根及估算无理数的大小等知识，熟悉平方根、立方根的概念是关键。（1）根据平方根、立方根的定义，得出a，b的值，估算无理数的大小，得出c值；（2）把a，b，c代入，求出算术平方根即可。
19．（2016八上·景德镇期中）探究题：
=3， =0.5， =6， = ， =0．
根据以上算式，回答：
（1） 一定等于a吗？如果不是，那么 = ；
（2）利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则 = ；
② = ．
（3）若a，b，c为三角形的三边长，化简： + + ．
【答案】（1）
（2）2﹣x；π﹣3.14
（3）解：∵a+b＞c，b＜c+a，b+c＞a，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，
∴原式=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|
=a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）+（b+c﹣a）
=a+b+c
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1.）由题意可知： =|a|，
（2.）①当x＜2时，
∴x﹣2＜0，
∴ =|x﹣2|=﹣（x﹣2）=2﹣x，
②∵3.14﹣π＜0，
∴ =|3.14﹣π|=π﹣3.14，
故答案为：（1）|a|；（2）①2﹣x；②π﹣3.4
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
20．（2023八上·南山期中）阅读下面问题：
；
；
．
（1）求的值；
（2）计算：.
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式＝.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）把分子分母同时乘以，这样分母可变成有理数，分母有理化后再化简即可；
（2）将题中各式分别分母有理化的方法化简各加数，再相加化简即可.
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